7 классический метод расчёта пп
жүктеу/скачать 0.66 Mb.
|
|
7. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ (ПП) В ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ 7.1. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЁТА ПП 7.1.1. Общие положения Если электрическая цепь достаточно долго сохраняла неизменный вид, то в ней создаётся так называемый установившийся (принуждённый) режим. Последнему соответствуют определённые законы изменения энергии элект-рических полей конденсаторов и магнитных полей индуктивностей цепи. В случае изменения схемы при переключениях, которые будем называть коммутациями, энергия полей должна измениться, а для этого требуется некоторое время. Процесс, возникающий в электрической цепи при переходе от одного установившегося режима к другому, называется переходным. На протяжении ПП электрическая цепь может быть описана системой динамических уравнений, которая может быть сведена относительно одной электрической величины (тока или напряжения) к дифференциальному уравнению n-го порядка, причём его порядок определяется количеством накопителей энергии (к ним относятся индуктивности и ёмкости). Возникающее дифференциальное уравнение является линейным, неоднородным, с постоянными коэффициентами (см. задачу 7.1). Общее решение полученного неоднородного линейного дифуравнения представляет собой сумму двух величин: частного решения неоднородного уравнения, выражающего принуждённый режим, задаваемый источниками, и решения соответствующего однородного дифуравнения, выражающего свободный режим. В соответствии с этим для любого тока или напряжения можно записать: i = iпр + iсв, u = uпр + uсв, где iпр, uпр – принуждённые составляющие тока и напряжения; iсв, uсв – свободные составляющие тока и напряжения. Метод нахождения электрических величин в виде суммы двух рассмотренных составляющих называется классическим. Принуждённые составляющие рассчитываются любыми ранее изученными методами, а вид свободных составляющих зависит от числа и вида корней характеристического уравнения. Существует несколько способов составления характеристического уравнения. 1 способ. По имеющемуся дифференциальному уравнению: Kn· + Kn-1· + … + K1· + K0·i = f(t). n-я производная заменяется на pn; . . . ; первая производная на p; сама величина – 1; правая часть – 0, то есть Kn·pn + Kn-1·pn-1 + . . . + K1·p + K0 = 0. 2 способ. Путём записи входного сопротивления в операторной форме: Источники заменяются их внутренними сопротивлениями, а ключ показывается в послекоммутационном состоянии. Цепь размыкается в любом месте. Рекомендуется разрывать в ветви с конденсатором, а при его отсутствии – в ветви с индуктивностью. Относительно полученных зажимов записывается входное сопротивле-ние в комплексной форме Z(j) (индуктивное сопротивление – jL, а ёмкостное – 1/(jС)). Производится замена j = p. Получаем входное сопротивление Z(p) в операторной форме. Полученное сопротивление приравниваем к нулю, т.е. Z(p) = 0. Это и есть характеристическое уравнение. 3 способ. Используя систему динамических уравнений цепи: Составляется система динамических уравнений по законам Кирхгофа для послекоммутационного состояния цепи. Полученная система алгебраизируется (из дифференциальных уравнения превращаются в алгебраические в операторной форме). Определитель системы приравнивается к нулю и получается характеристическое уравнение. Если корень характеристического уравнения один (обязательно отрицательный), свободная составляющая имеет вид: iсв(t) = A·ept, где A – постоянная интегрирования; Если корней два, оба действительные, отрицательные, разные, причём |p1| < |p2|, то iсв(t) = A1· + A2· . Если корней два – действительные, отрицательные, равные (p1 = р2 = р), то iсв(t) = A1·ept + A2·t·ept, где A1 и A2 – две постоянные интегрирования; Если корней два – комплексные, сопряжённые, т.е. p1,2 = -b j0, то iсв(t) = A·e-bt·sin(0t + ), где A и – постоянные интегрирования. Количество корней характеристического уравнения определяет число постоянных интегрирования и равно количеству накопителей энергии в цепи после коммутации. Постоянные интегрирования находятся из начальных условий (значения электрических величин и их производных в начальный момент после коммутации), которые делятся на независимые и зависимые. К независимым относятся значения в момент коммутации потокосцепления и тока индуктивности, заряда и напряжения конденсатора. Остальные начальные условия считаются зависимыми. Высказанные выше положения о том, что запас энергии магнитного или электрического поля может изменяться только плавно, без скачков, выра-жают принцип непрерывности во времени потокосцепления индуктивности и электрического заряда ёмкости и называются законами коммутации. Первый закон коммутации: в индуктивном элементе ток и магнитный поток непосредственно после коммутации сохраняют значения, которые они имели непосредственно перед коммутацией, и дальше начинают изменяться именно с этих значений: (0+) = (0-), iL(0+) = iL(0-), где t = 0+ – момент сразу после коммутации, t = 0- – момент непосредственно перед коммутацией. Второй закон коммутации: на ёмкостном элементе напряжение и заряд сохраняют в момент коммутации те значения, которые они имели непосредственно перед коммутацией, и в дальнейшем изменяются, начиная с этих значений: q(0+) = q(0-), uC(0+) = uC(0-). При нулевых начальных условиях (iL(0-) = 0, uC(0-) = 0) индуктивность в начальный момент после коммутации равносильна разрыву цепи, а ёмкость – короткому замыканию. В случае ненулевых начальных условий (iL(0-) 0, uC(0-) 0) индуктивность в момент t = 0+ равносильна источнику тока, а ёмкость – источнику ЭДС. В зависимости от порядка дифуравнений различают цепи первого, второго и более высокого порядка. Сущность классического метода анализа ПП показана на примере зада-чи 7.1. Однако применен нерациональный порядок расчёта. Рекомендуется следующий порядок расчёта ПП: Анализом цепи до коммутации определение независимых начальных условий. Запись искомых электрических величин (токов и напряжений) в виде суммы двух составляющих – принуждённой и свободной. Расчёт принуждённых составляющих. Вид свободных составляющих зависит от числа и вида корней характеристического уравнения. Поэтому тем или иным способом составляется и решается характеристическое уравнение. Запись свободных составляющих с учётом вида корней. Определение тем или иным способом необходимых начальных условий. Нахождение постоянных интегрирования из начальных условий. Запись искомых величин в окончательной форме. жүктеу/скачать 0.66 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|