Аксиоматический метод
Аксиоматика и математические конструкции
жүктеу/скачать 111 Kb.
|
| Аксиоматика и математические конструкции. Хотя формально аксиоматические теории строятся независимо от того предметного содержания, которое вкладывается в их понятия и отношения, на самом деле жизненны лишь аксиоматики, правильно отражающие те или иные черты реального мира. Как пишет А. Д. Александров: «Современные формалисты полагают наиболее целесообразным излагать и даже развивать теории, исходя из аксиом, не предваренных никаким разбором того реального содержания, которое они должны суммировать. Но аксиомы сами по себе нуждаются в содержательном обосновании; они лишь суммируют другой материал и дают основание логическому построению теории».
Другую яркую характеристику взаимоотношения аксиоматики с содержанием математической науки дал известный немецкий математик Г. Вейль: «...все эти прелестные общие понятия не падают к нам в руки сами. Определенные конкретные проблемы были вначале завоеваны в их нераздельной сложности, побеждены, так сказать, грубой силой. Только потом пришли аксиоматисты и сказали: «Вместо того чтобы ломиться в дверь со всей силой и обламывать себе руки, вы должны были изготовить себе такой-то и такой-то специальный ключ и тогда вы смогли бы открывать дверь совершенно легко и спокойно». Но они могут сделать этот ключ только потому, что, после того как дверь взломана, оказалось возможным исследовать замок с обеих сторон, снаружи и изнутри. Прежде чем вы можете обобщать, формализовать и аксиоматизировать, вы должны иметь математическую субстанцию». Но не только для того, чтобы формулировать аксиомы, нужна реальная математическая субстанция. Не вводя других понятий, кроме содержащихся в аксиомах, можно сформулировать лишь весьма ограниченное число интересных теорем. Поэтому нужно, опираясь на первоначальные понятия и связывающие их аксиомы, вводить новые понятия и отыскивать касающиеся их теоремы, обладающие большой общностью. Этот отбор новых понятий и поиск новых теорем ведется обычно не путем прямого использования данной аксиоматики, а иным путем, в котором большую роль играют интуиция математика, понимание им связи изучаемых вопросов с иными проблемами, направленными на познание реального мира. Истинная наука никогда не сводится к чисто логическим понятиям, за которыми не стоят те или иные концепции. За словами и понятиями всегда должна скрываться сама реальность. Как отмечает один из основателей советской школы теории множеств Н. Н. Лузин: «Концепция интуитивного или экспериментального характера обычно всегда имеет действенный интерес, даже в том случае, если она не очень хорошо поддается логическому определению, причем обычно имеет большую важность ее всестороннее изучение, и, напротив, огромное большинство чисто логических сущностей и понятий, встреченных на путях логического порядка, обычно бесплодны и не могут оказать никакого влияния на прогресс науки. Именно в полной мере является справедливым то давно уже сделанное замечание, что на логических путях исследования как раз не встречают тех понятий, которые наиболее ценны, и если бы мы ограничились лишь исследованиями чисто логического характера, мы никогда бы их не имели». Поэтому можно сказать, что ценность аксиоматической системы проявляется в ее моделях, которые служат, с одной стороны, источником данной системы аксиом, а с другой стороны, полем ее приложений. Таким образом, мнение, что целью математики являются последовательное абстрагирование, логически строгая математическая дедукция и последующее еще более широкое обобщение, следует признать лишь односторонним изображением действительности. При таком подходе на первый план выходит осознание и упорядочивание математического содержания и вскрытие его структуры, а конструктивным элементам, индукции, воображению, интуиции отводится лишь второстепенная роль. И хотя дедуктивный метод, отправляющийся от аксиом, позволяет быстро овладевать обширными областями математики, конструктивный метод, идущий от частного к общему и избегающий излишней догматизации, прокладывает для творческой мысли математика несравненно более надежный путь. Полет в область абстракции должен исходить из конкретного и частного и завершаться конкретным и частным. Общие теории, которые не служат для разъяснения и систематизации более узких частных вопросов, обычно малосодержательны и, как правило, бесполезны. Тем или иным путем, в открытой или скрытой форме, даже прикрытая самым безупречным аксиоматическим одеянием, конструктивная интуиция всегда остается самым жизненным элементом в математике. В ходе изучения некоторого вопроса математики чаще всего сначала появляются некоторые конкретные математические объекты и изучаются их свойства. Это позволяет усмотреть общие черты различных объектов и сформулировать эти черты в виде аксиом. После этого возникает вопрос об описании всех объектов, удовлетворяющих данным аксиомам, перечислении этих объектов и установлении их связи с ранее изученными понятиями. Во многих случаях оказывается, что данной системе аксиом удовлетворяет или единственный объект (если эта система аксиом категорична), или несколько объектов или серий объектов. Это позволяет решить вопрос о классификации данного рода математических объектов. В других случаях классифицировать удается не всю совокупность объектов данной аксиоматики, а лишь более или менее широкие части этой совокупности. Приведем некоторые примеры взаимодействия аксиоматического и конструктивного направлений в математике, позволяющие понять диалектическую взаимосвязь аксиоматического подхода к математике с конструктивным подходом. Множество Z целых чисел с обычными операциями сложения, вычитания и умножения можно определить как наименьшее кольцо, содержащее полукольцо N натуральных чисел. Это — аксиоматическое определение множества Z. Другие определения множества Z имеют конструктивный характер. Например, Z можно определить как объединение множеств N+, N- и {0}, где N+ состоит из пар вида (+, п), n€ N, N- — из пар вида (—, п), п € N, а операции над этими парами и нулем определяются обычным образом (например, (+, 5)+(—, 3) = (+, 2) и т. д.). Можно определить Z и как множество классов эквивалентных пар (т, п) натуральных чисел . Оба подхода к понятию целого числа (аксиоматический и конструктивный) эквивалентны. При этом аксиоматический подход вскрывает то общее, что кроется за различными конструкциями множества Z. В свою очередь, конструкции показывают, что лежащие в основе понятия целого числа аксиомы непротиворечивы, т. е. что целые числа существуют. Заметим, что для этого достаточно построить хотя бы одну модель данной системы аксиом. Аналогично обстоит дело с понятием действительного числа. Существуют различные аксиоматические определения этого понятия. Например, можно определить множество R действительных чисел с обычными отношениями порядка и алгебраическими операциями как полное архимедовски упорядоченное поле. В этом определении вскрыты основные свойства множества R, на которых в дальнейшем строится весь математический анализ. Но наряду с этим определением существует ряд конструктивных определений множества R. Элементы этого множества можно определить как бесконечные десятичные дроби, бесконечные двоичные дроби, бесконечные троичные дроби и т. д. Можно определить действительные числа и как дедекиндовы сечения в множестве Q рациональных чисел, как совокупность классов эквивалентности в множестве фундаментальных последовательностей рациональных чисел, с помощью бесконечных непрерывных дробей и т. д. И в этом случае аксиоматика вскрывает общее содержание всех этих конструкций, а любая из конструкций доказывает непротиворечивость аксиоматики. Заметим, что для математических понятий обычно существует не одна, а несколько аксиоматик. В связи с этим возникает вопрос об . их эквивалентности. При переходе от одной аксиоматики данного понятия к другой некоторые теоремы первой аксиоматики становятся аксиомами второй, а аксиомы первой — теоремами второй. Это вызывает известные методические трудности при таких переходах. Опишем вкратце некоторые методы, с помощью которых в математике конструируют новые математические понятия на основе уже известных. а) Пусть заданы некоторое множество X ив нем отношение эквивалентности ~. Тогда множество X распадается на классы эквивалентности. Рассмотрим множество Х/~, элементами которого являются эти классы. Мы получаем новые математические объекты — сами классы эквивалентности и множество этих классов. б) Другим мощным методом построения математических понятий является введение различных отношений между элементами множества и отображений одного множества в другое. Если задано преобразование множества X, то возникает понятие инварианта, т. е. отношения в X, не меняющегося при данном отображении. в) Полезным методом конструирования новых математических понятий является метод идеальных элементов. При построении идеальных элементов часто реализуют их как некоторые подмножества множества исходных элементов. Например, бесконечно удаленная точка на проективной плоскости может быть определена как совокупность попарно параллельных прямых. жүктеу/скачать 111 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|