Алгебралық ТҮрлендірулер

2 Түбірлерді түрлендіу....................................................

3. Квадраттық теңдеулер ..............................................

4. Рационал теңдеулер....................................................

5. Параметрлі теңдеулер.................................................

6. Қорытынды ...................................................................

7. Пайдаланылған әдебиеттер..........................................

1. Қысқаша көбейту формуласы

Түрлендіру математиканың негізгі саласы. Геометрияда тепе - тең түрлендіруге центрлік, осьтік симметриялар, бұрулар, параллель көшірулер жатса, ұқсас түрлендіруге гомотетия және т.б. жатады. Ал алгебрада өрнектерді ықшамдап, мәнін табу; тепе - тендіктерді дәлелдеу; теңдеулерді шешу түрлендірусіз мүмкін емес. Ол үшін қысқаша көбейту формуласын пайдалану тәсілдерін білудің маңызы зор. Мысалдар:

№1

(а³ - в³)= (а-в) (а²+ав+в²)

Бұдан өрнегі 73- ке бөлінетіні шығады.

№2 Есепте:

А) 41*39=(40+1) (40-1)=40²-1²=1600-1=1559

Б)

№3. Өрнекті ықшамда

Түбірлерді түрлендіру көбейтіндіні, бөлшекті, дәрежені түбірден шығару, керісінше түбір астына алу туралы тұжырымдардан бастау алады. Ал бұлардан өзге арнаулы тәсілдері де бар. Бірақ олар біраз машықтанып, дағдылануды қажет етеді.

1. 
   Бөлшектің бөліміндегі иррационалдықты жою.
   

Бұлай есептеу едәуір қиындық келтіреді. Сондықтан бөлшектің алымы мен бөлімін – ге көбейтіп түрлендірсек,

№2 =

(алымы мен бөлімін –ке көбейтіп түрлендіру жасадым )

№3

(түрлендіру үшін қысқаша көбейту формуласын пайдаландым )

№4

(бөліміндегі иррационалдықтан құтылу үшін, бөлшектің бөлімі мен алымын бөліміне көбейтіп қана койғамыз жоқ (1-а)-ны көбейткіштерге жіктеп, қысқарттым )

№5


Түбірлерді түрлендірудің аса қызықты екінші бір тәсілі күрделі түбір формуласын пайдалану.

;

Дәлелдеу үшін теңдіктің екі жағын да квадраттаймыз.

Егер а²-в өрнегі толық квадрат болса, ол түрлендіру мен есептеуді оңайлатары рас.

Мысалы: ;

Кейде а²-в өрнегі толық квадрат болмағанның өзінде де күрделі түбір формуласы пайдалы.

Мысалы:

Сонда,

Теңдеулерді шешуде де түрлендіруді тиімді пайдаланудың маңызыз зор. Егер теңдеу шешудің барынша ұтымды тәсілдерін қолдансақ, соншалықты ұзақ, тауқыметі түрлендіруге бармай-ақ бұл теңдеулерді шешуге болады.

3. Квадраттық теңдеулер

Квадраттық теңдеулерге және оларды шешу жолдарының әр түрі әдістеріне негізделіп отыр. Яғни біз осы квадраттық теңдеулерді түрлендіре отырып есептеп шығарамыз.

«Квадратық теңдеулер » мектептегі алгебра курсының маңызды тақырыптарының бірі. Көптеген табиғи үдірістер мен құбылыстар , с.с мазмұнды есептерің шығарылуы квадрват теңдеулерді шешуге келіп тіреледі. Теңсіздіктерді шешу, фукцияларды зерттеу (Функцияның нөлдерін, экстремум нүктелерін, өсу және кему аралықтарын табу), ең үлкен және ең кіші мәндерді табу есептерін шығару және т.б. жағдайарда квадрат теңдеулерді шеше білу қажеттігі туындайды. «Квадрат теңдеулерді» шешу жолдарының тоғыз түрлі әдісімен таныстыруға мүмкіндік бар екендігі анықталған. Атап айтқанда, олар төмендегідей болып табылады.:

1-әдіс. Теңдеудің сол жақ бөлігін көбейткіштерге жіктеу

2-әдіс. Толық квадратқа келтіру әдісі

3-әдіс. Квадраттық теңдеулерді формула арқылы шешу

4-әдіс. Виет теоремасын пайдаланып теңдеулерді шешу

5-әдіс. Теңдеуді «асыра лақтыру» әдісімен шешу

6-әдіс. Квадрат теңдеулердің коэффициенттерінің қасиеттерін қолдану

7-әдіс. Квадрат теңдеуді циркуль және сызғыш көмегімен шешу

8-әдіс. Квадрат теңдеуді номограмма көмегімен шешу

9-әдіс. Квадрат теңдеулерді геометриялық әдіспен шешу

Осы қарастырылған 9 әдіс де «Квадрат теңдеулер» тақырыбын терең меңгеруге жол ашады. .

Бұл әдістерде де түрлендірудің тиімді әдістерін пайдалану жөн..

4. Рационал және иррационал теңдеулер.

Енді рационал теңдеуге тоқталамыз. Рационал теңдеуді шешкен кезде біріншіден екі бөшекке бірдей ортақ өлім беріп түрендіріп нөлге теңестіреміз сонда сызықтық теңдеуге келеді, одан кейін мәнін тауып теңдеу шешіледі.

Ал иррационал теңдеулер алымымен бөлімін түйіндесіне көбейтіп бөлімін түбірден босатып , әрі қарай ілгері есептейміз.

№2 Иррационал теңдеу:

у>0 болғанда у=3

Ж: 2;1;

x>0 болу керек сондықтан х=4

Ж: 4

y>0

y>0 болғандықтан y=6

Ж: 3; -4,5;

Теңдеуді жаңа айнымалыны енгізу арқылы түрлендірдім.

№2

Ж: 4; -2; 0;

№3 Иррационал теңдеу

y>0


x>0 болу керек сондықтан х=4

Ж: 4

Теңдеуді қанағаттандыратын әрбір х және а сандарының жиының табу керек. Онда теңдеу екі айнымалысы бар теңдеу болады.

А санының (параметрінің ) әрбір мәнінде теңдеуді қанағаттандыратын х-тің барлық мәндерін аңықтау керек.

Немесе, кейде а параметрінің өзгеру облысы алдын ала белгілі болады. Сонда біздің мақсат А жиынында өзгеретін а санының әрбір мәнінде теңдеудің х-ке қатысты барлық түбірлерін табу керек болады. Бұл жағдайда бір айнымалысы бар (х айнымалы ) параметрлі теңдеу деп атаймыз.

Оған мысалдар қарастырсақ:

№1

теңдеуін х-ке қатысты шешу керек.

Шешуі:

Есептің мағынасы бойынша m теңі емес 1-ге, х тең емес -3-ке, Теңдеудің екі жағын да ≠0 өрнегіне көбейтіп теңдеуін аламыз. Бұдан , мұнда дедік, ендеше х=-3 болғанда m-нің мәні неге тең болатынын тексеру қажет:. Сонымен, m≠1, m≠2,25, m≠-0,4 шарттары орындалғанда теңдеудің шешімі болады (m= 2,25, m= -0,4 болғанда теңдеудің шешімі жоқ, m=1 болғанда теңдеудің мағынасы жоқ )

Шешуі:Өрнекті мағынасы болу үшін болуы керек. Түбірдің арифметикалық мәні алынатындықтан,

Сонда: ; бұдан а<х<1,5а. Теңдеудің екі жағын квадраттасақ, , яғни ; оны шешсек,

а>0 болғанда түбірі а<х<1,5а шартын қанағаттандырмайды,

6. Қорытынды

Жалпы менің жобамның тақырбы алгебралық түрлендірулер . Яғни біз алгебралық есептің басым бөлігі осы түрлендіру, ықшамдаулар арқылы шығарамыз. Мысалдар қарастырсақ теңдеулерде, функцияда, тригонометрияда, қысқаша көбейту формулаларда, түбірлерді түрндіруге арналған есептерді шығарған кезде оны бірінші ықшамдап, есепті шешеміз. Осы алгебралық түрлендірулерді жүйелі оқып- үйрену болашақта жастар бойында оның жан-жақты дамуына ықпал ететін мынандай қасиеттерді қалыптастырады.

• 
  жасаған тұжырымды дәлелдей білу
  
• 
  құбылыстың болу себебін анықтай білу және оған қорытынды жасау
  
• 
  өз ойын қысқаша және нақты айта білу
  
• 
  зерттеу қабілеттерін, оның ішінде дұрыс жалпылама тұжырым жасау мен қате тұжырымдар және негізгі қорытындыларды анықтай білу, шығармашылықпен ойлау
  
• 
  көздеген мақсатқа жету жолында табанды болу
  

7. Пайдаланылған әдебиетер

1. Фарков А.А. «Мектепшілік математикалық олимпиядалар »

2. Бабинская И. Л.И. «Математикалық олимпияда есептері »

3. Виленкин Н.Я. «Комбинаторика »

4. Цыпкин П.А,. «Орта оу мекемелеріне арналған математикалық анықтама »

5. Ларичев. П. А. Алгебра есептерінің жинағы 6-8 кл арналған Алматы 1963 жылы

6. Математика, информатика, физика журналы.

7. 8 сынып алгера кітабы А. Әбілқасымова . И. Бекбоев. А. Абдиев. З. Жұмағұлова .-Алматы мектеп баспаасы 5-74 бет

8. 8 сынып алгебра кітабы Шыныеков Ә. Н. – Алматы: Атамұра 2004 жылы 230 бет

9. Журнал «Квант »

Егоров А.А. Васильев Н. Б. Задачи всемирных математических олимпияда Москва, Наука 1988 жылы

10. Задачи зарубежных математическх олимпияд. Сергеева К.В, Мосвка

11. Республикалық ғылыми әдістемелік журнал «Математика » №3,2,6 2008 жылы