Ақмола облысы Зеренді ауданы «Ақкөл орта мектебі» кмм

Маштиева Б.З.

математика пәні мұғалімі

Қазіргі кезде ғылым мен техниканың даму деңгейі әрбір адамды сапалы және терең білім мен іскерліктің болуын, ойлау қабілетінің жоғары, шығармашылықпен жұмыс істеуін талап етеді. Оқушылардың математика-лық білімін жоғары деңгейде оқыту, яғни тереңдету әр ұстаздың алдындағы міндет.

Мұғалім шеберлігінің негізгі көрсеткіштерінің бірі-әдістеме саласындағы ғылыми жаңалықтар мен озық тәжірибені жетік игеру.

Оқушылардың білімділік және тәрбиелік деңгейі шешуші дәрежеде мұға-лімге байланысты, яғни мұғалім ізденісін қажет етеді. Дарынды балалардың қабілетін дамытудың жолдары көп. Соның ішінде олимпиадалардың ролі ерекше. Оқушылардың пәнге қызығушылығын оятатын, олардың математи-калық ой-өрісінің, шығармашылық қабілетінің дамуына дәнекер болатын қосымша тақырыптар көп әсерін тигізеді. Атап айтқанда,«Математикалық индукция әдісі», «Диофант теңдеулері», «Параметрлі теңдеулер мен теңсіз-діктер», «Комбинаторика», «Тригонометриялық өрнектерді түрлендіру», «Теңсіздіктерді дәлелдеу» және тағы да басқа тақырыптарды айтуға болады. Бұндай тақырыптар математикалық пән олимпиадаларында өз үлесін қосары сөзсіз.

Олимпиадаға дайындалу кезінде әрбір тараудың есептерін шешудің бірне-ше тәсілдерін қарастырамыз. Олимпиадалық есептерді алып қарайтын болсақ, қиындығы өте жоғары. Мұндай есептерді шығару оқушылардан терең ізденуді, терең ойлануды, еңбекқорлықты, шыдамдылықты талап етеді және соған тәрбиелейді. Олимпиадада кездесетін есептер мектеп көлемінде нақты оқылмайды, сондықтан оған қосымша ізденіп, еңбектену керек.

Қарастырғалы отырған тақырыптар: «Теңсіздіктерді дәлелдеу» және «Математикалық индукция әдісі» . Теңсіздіктерді дәлелдеу кезінде матема-тикалық индукция әдісін қолдануға болады. Математикалық индукция әдісін пайдаланып натурал сан немесе натурал санға байланысты ұғымдары бар математикалық негіздеуді қажет ететін сөйлемдер дәлелденеді. Теңбе-теңдік-терді дәлелдеуге, шектеулі қосындыларды есептеуге және теңсіздіктерді шешуге көптеген дәлелдеу жолымен көз жеткізуге болады. Математикалық индукция әдісіне және теңсіздіктерді дәлелдеу тақырыптарына қысқаша ғана тоқталып, мектепаралық, аудандық, облыстық, республикалық, халықаралық олимпиадаларда осы тақырыптар бойынша шығарылған қиын есептерге тоқталмақпын.

Математика индукция әдісі

Математикалық индукция принципінің мәнісі төмендегідей : егер қайсыбір тұжырым (формула) n=1 болғанда (немесе бұл ұйғарымның мағынасы бар n-нің басқа мәндерінде ) ақиқат болса және n=k қандай бір натурал мәні үшін ақиқат деп ұйғарылуынан келесі натурал n=k+1 үшін де тұжырымның ақиқаттығы шығатын болса, онда тұжырым n-нің барлық натурал мәнінде ақиқат. Математикалық индукция принципін қолдануға негізделген дәлелдеу әдісі математикалық индукция әдісі деп аталады.

Математикалық индукция әдісімен дәледеу тәсілі төмендегі келесі кезеңдерден тұрады:1) n=1 болғанда тұжырымның (формуланың) ақиқаттағы тікелей тексеріледі немесе дәлелденеді; 2) қайсыбір натурал n=k үшін тұжырым ақиқат, тура деп ұйғарылып, тұжырымның ақиқаттағы n=k+1 үшін дәлелденеді. Математикалық индукция әдісін , натурал n-ге тәуелді тұжырымдарды дәлелдеуге ғана қолдануға болатыны айқын. Негізінен ол есептің екі түрін шешуге қолданылады: 1)жекелеген бақылаулардан ой түйіп , кейбір заңдылықты тағайындайды және одан кейін оның дұрыстығын математикалық индукция әдісімен дәлелдейді; 2) кейбір формулалардың ақиқаттығын математикалық индукция әдісімен дәлелдейді.

Жалпы орта білім беретін мектептің 9- сыныбына арналған алгебра оқулы- ғында «математикалық индукция әдісі» қарастырылған. Оқулық авторлары: А.Е. Әбілқасымова , Н.П. Майкотов, Қ.И. Қаңлыбаев ,

Ә.С. Кенеш. Осы оқулықтың 162 бетіндегі қиынырақ есептерді мектепішілік олимпиадаларға алуға болады. Сол есептердің шығарылуына тоқталып өтейін.

№1 есеп. қосындысын табыңдар.

Шешуі:













.

Жауабы: .

№2 есеп.

қосындысын табыңдар.

Шешуі:

Жауабы: .

№3 есеп.

Шешуі: .

Сонда

Жауабы: .

№4 есеп.

қосындысын табыңдар.

Шешуі:

Жауабы: .

№1.Кез-келген n натурал саны үшін n(n²-1)(5n+2) өрнегінің 24-ке бөлінетіндігін дәлелдеңдер.

Дәлелдеуі: 5n+2=(5n+10)-8 теңдігін ескеріп өрнекті түрлендіріп жазайық:

n(n²-1)(5n+2)=5n(n²-1)(n+2)-8n(n²-1)= 5(n-1)n * (n+1)(n+2) -8 (n-1)n(n+1). (n-1)n(n+1)(n+2) өрнегі төрт тізбектес натурал санның көбейтіндісі болғандықтан , әрі 3-ке бөлінеді, әрі 8-ге бөлінеді. 8 бен 3 өзара жай сан болғандықтан бұл өрнек 24-ке бөлінеді.

8(n-1)n(n+1) өрнегі де 24-ке бөлінеді , себебі (n-1)n(n+1) көбейтіндісі 3-ке бөлінеді.

Дирихле тәсілі.

Теорияның негізі : Егер n-торда m- қоян болса және m>n,онда 1 торда 2 қоян болуы мүмкін.

Мысал : Сыныпта 37 оқушы бар. Кем дегенде 4 оқушының туған күні 1 айда болуын дәлелде.

n-12 ай , m-37 оқушы ,-37 оқушы , 37>12

3712*3+1

Инвариантар: санның жұп,тақ белгісі немесе бөлудің қалдықтарына байланысты есептер.

Мысал : 101 ат 15 атқораға орналастырғанда бір қора тақ саны ат болатынын дәлелде.

Дәлелдеуді кері жору мен дәлелдейік. 101 саның қосылғыштары жұп сандар болсын . Ал біз білеміз жұп сандардың қосындысы жұп сан . Сондықтан бір қосылғыш тақ сан болады.

Теңдеулердің бүтін шешімін табу:

Мысал:

7x+16y=2

7=2*3+1; 1=7-2*3

1=7-(16-7*2)*3

1=7-16*3+7*6

1=7*7-16*3 |*2

2=2*7*7-2*16*3

2=7*14+16(-6); x₀=14 ;y₀=-6

X=14-16*k,

Y= -6+7*k, kZ

Арифметикалық есептер:

13+13² +13³ +13⁴+...+13²⁰¹² +13²⁰¹³ +13²⁰¹⁴ осы санды өрнек 7-ге қалдықсыз бөлінетінін дәлелдеңдер.

13(1+13) +13³(1+13)+…+13²⁰¹³(1+13)= (1+13)(13+13³+…+13²⁰¹³)=14(13+13³+…+13²⁰¹³)

14:7=2

(х+1)(х+2)(х+3)(х+4)=3 ( 1мен 4 және 2 мен 3 көбейткіштерді бір-біріне көбейтеміз)

(x²+5x+4)(x²+5x+6)=3

t= x²+5x

(t+4)(t+6)-3=0

t+10t+21=0

t=-3; t=-7

x²+5x=-3

x²+5x+3=0

x²+5x+7 =0- шешімі жоқ

Жауабы:

Мәтінді есептер:

Мысал: Аулада үректер мен иттер жүр. Егер үйректер мен иттердің аяқтарының саны 44 , ал бастары 17-ге тең екені белгілі болса, онда неше үйрек ,неше ит бар?

Теңдеулер жүйесін құру арқылы шешу тәсілін қолданамыз.

Геометриялық есептер:

ACEВD жұлдыздың А,В ,Е,С төбелеріндегі бұрыштары тең , АС ,ВЕ кесінділері тең болса , АД мен ВД тең екенін дәлелде.

К

Е Д

Сондықтан бұрыштар AKC=BME және AK=BM

Онда бұрыштар MKD=KMD өзара тең

KMD теңбүйірлі үшбұрыш.

KD=MD

AK+KD=BM+MD

Асханада І тағам – борщ ,рассольник, ІІ – гуляш,котлет,палау

ІІІ – шай мен сусын . Неше тәсілмен ас мәзірін дайындауға болады?

Б-Г-С ,Б-Г-Ш

Б-К-Ш, Б-К-С

Р-П-С, Р-П-Ш

Р-Г-С ,Р-Г-Ш

Р-К-Ш, Р-К-С

Р-П-С, Р-П-Ш, 12 тәсіл

Комбинаторика есептері:(орналастыру, алмастыру,теру)

Би үйірмесіне 6 ұл бала және 6 қыз бала қатысады. Оларды қанша әдіспен ұл-қыз жұптарына бөлуге болады?

Бірінші ұл 6 кез келген қызбен билейді, екінші ұл қалған 5 қызбен т.с.с.

Сондықтан (алмастыру)Р₆=6!=1*2*3*4*5*6=720

Мектеп көлемінде қарапайым теңсіздіктер дәлелденеді, сол теңсіздіктер арқылы күрделі теңсіздіктерде дәлелденеді.

№1 а² + b² ≥ 2ab.

Дәлелдеуі:

a²+ b² - 2аb = (а – b)² ≥ 0.

№2

кез келген a және b үшін.

Дәлелдеуі:

Берілген теңсіздіктен , біз мына теңсіздікті аламыз бұдан немесе соны мына түрде жазамыз бұдан

Бұл әдісті неміс математигі Р.Штурм ұсынған. Бұл әдістің көмегімен бірнеше теңсіздікті дәлелдейік:

№3 Егер қосындысы 1-ге тең болса, онда дәлелдеу керек

Дәлелдеуі:

Егер онда .

Қаралатын сандардың ішінде ең болмағанда екі сан бір-біріне тең болмаса, онда сандардың ішінен екі сан табылады, сонын біреуі - нан үлкен болады, ал екіншісі кіші болады. Осы сандар болсын, және де болсын, онда - ді -ні - мен алмастырып, мынандай теңсіздік аламыз және олардың қосындысы 1-ге тең.

Осы амалды бірнеше рет қайталап, шыққан тізбектің кез келген мүшесі -ге тең, ал олардың квадраттарының қосындысы берілген сандардың квадраттарының қосындысынан кіші болады.

Кейбір теңсіздіктерді дәлелдегенде, оң a және b сандары үшін арифметикалық, геометриялық, квадраттық, гармониялық орталардың ара қатынасын қолданады: .

Мына өрнекте гармониялық орта,

– геометриялық орта,

– арифметикалық орта,

– квадраттық орта.

Бұл теңсіздікті дәлелдеу әдісі күрделі теңсіздіктерді дәлелдеуде көп қолданылады.

№4 теңсіздікті дәлелде , мұндағы

Дәлелдеуі: егер , онда - ны қолданып,

(1) және (2) қосып аламыз.

Коши-Буняковский әдісін бірінші сандар үшін дәлелдейміз. және векторлары берілсін, мектеп көлемінде белгілі

немесе

Бұл Коши-Буняковскийдің теңсіздігі сандары үшін орындалатын дербес жағдайы болады.

Коши-Буняковскийдің теңсіздігі сандары үшін келесі жалпы түрде жазылады:

№5. Дәлелдеу керек :

Дәлелдеуі:

Кейбір теңсіздіктерді дәлелдеу үшін жаңа айнымалы енгізу арқылы мақсатқа жетуге болады.

№6. Теңсіздікті дәлелде

Дәлелдеуі:

Теңсіздіктің сол бөлігін түрлендірейік:

≥3+2+2+2=9 (себебі әр жақшаның ішіндегі қосынды 2-ге тең немесе одан үлкен).

№2.Теңсіздікті шеш:

>0

Теңсіздіктің сол жағын ортақ бөлімге келтіріп ықшамдап жазайық.

Сонда берілген теңсіздікке мәндес теңсіздік >0 болады.

-7 -5 0 5 7

Қорытындылай келе, қазіргі уақытта білім беру қызметкерлерінің алдында тұрған басты мақсат- еліміздегі білім беруді халықаралық деңгейге көтеру және білім сапасын көтеру, жеке тұлғаны қалыптастыру, қоғам қажеттілігін өтеу, оны әлемдік білім кеңістігіне кіріктіру болмақ. Сондықтан, математика пәнінен деңгейі жоғары оқушылармен олимпиадалық есептерді дайындық ретінде қарастыруға болады деп ойлаймын.

Пайдаланылған әдебиеттер.

1.Алгебра оқулығы 9-кл. А.Е. Әбілқасымова, Н.Р.Майкотов , Қ.И.Қаңлыбаев.

2. Т.Т.Абылайханов , Т.Т. Абылайханов «Математика есептері»

3. «Математика в школе» №3; 1991

4.Математика,физика №2; 2003