Аныљталма’ан интеграл о›у-Щдістемелік ›±рал кЇндізгі о›у формасында"ы техникалы› жЩне экономикалы› маманды›тар студенттерге арнал"ан Павлодар

• АНЫљТАЛМА’АН

• ИНТЕГРАЛ

О›у-Щдістемелік ›±рал кЇндізгі о›у формасында“ы

техникалы› жЩне экономикалы› маманды›тар студенттерге арнал“ан

Павлодар

ББК 22.161.1

Физика математика “ылымдарыныЈ кандидаты, профессор М.Х.Хамитов

Физика математика “ылымдарыныЈ кандидаты, профессор С.Т.Сабиров

Ф.К. Баяхметова, Т.М. Бергузинова, Ж. Хырхынбай

«АНЫљТАЛМА’АН ИНТЕГРАЛ».О›у -Щдістемелік ›±рал-Павлодар, 2005ж.

Осы Щдістемелік ›±рал“а мемклекеттік тілде о›итын студенттерге арнал“ан «Аны›талма“ан интеграл» та›ырыбына жатты“у ж±мыстары жЩне олар“а Щдістемелік н±с›аулар еЈгізілген. СтуденттердіЈ йз бетімен білім меЈгеруіне арнал“ан тесттілік ж±мыстар берілген.

• Ал“ысйз

Аны›талма“ан интегралды есептеудіЈ тЩжірбиеде ыЈ“айлы жалпы ЩдістерініЈ жо›ты“ына байланысты жЩне есептеудіЈ о›ушылар Їшін жеткілікті деЈгейде кЇрделілігіне байланысты Щр дайым есептеуде жиі кездесетін функциялардыЈ кейбір дербес кластарыныЈ интегралдау Щдістерін ›арастыру“а тура келеді.

Осы Щдістемелік ›±рал атал“ан дербес жа“дайлардыЈ бЩрін ›амты“ан. Шрбір функциялар класына мысалдар ›арастырылып, олардыЈ шешу Щдістері толы› жазыл“ан, я“ни ›±рал Їйретуді алдына ма›сат етіп ›ояды. Сонымен ›атар, жауаптарымен бірге йз бетімен шы“аруларына да жеткілікті мысалдар берілген. љ±ралдыЈ соЈында интегралды есептеуге тестілік тапсырмалар да бар.

Б±л жина› студенттерге, Щрі тЩжірбиелік саба›тар жЇргізу Їшін о›ытушылар“а да арнал“ан. љ±рал мемлекеттік тілде о›итын студенттерге бірден бір ›ажетті деп есептеледі.

1. 1 Аны›талма“ан интеграл

Ал“аш›ы функцияныЈ аны›тамасы бойынша бол“анды›тан,

кезкелген ал“аш›ы функциялары болса, онда берілген интервалда теЈдігі орындалады, м±нда С- ›айсы бір т±ра›ты. Демек, бір функцияныЈ кезкелген ал“аш›ы функциялары тек т±ра›ты шама“а “ана айры›шаланады.

Алдында“ы кйрсетілген есепте ал“аш›ы функциялары деп мына функцияларды алу“а болады.
. Немесе жалпы тЇрде , м±нда С-

кезкелген т±ра›ты, ййткені .

Мына белгілеуде -интеграл белгісі, - интеграл астында“ы йрнек, - интеграл астында“ы функция, -интегралдау айнымалысы.

Егер функциясы функциясыныЈ бір ал“аш›ы функциясы болса, я“ни, , онда , м±нда С-кезкелген т±ра›ты (1)

Интеграл астында“ы йрнек (1) теЈдіктіЈ оЈ жа›та“ы кез келген ал“аш›ы функцияларыныЈ дифференциалы болады.

Берілген интеграл астында“ы функция бойынша аны›талма“ан интегралды табу интегралдау амалы деп аталады. Дифференциалдау амалына ›ара“анда интегралдау ›арама-›арсы амал. (1) Аны›талма“ан интегралдыЈ геометриялы› мЩні: , С- параметр, ›исы›тар жиыны. Осы жиын“а жататын ›исы›тар интегралдау ›исы›тары деп аталады. Осы жиынныЈ кез келген ›исы“ын Оу осініЈ бойымен параллель жылжытып алу“а болады.
2 Аны›талма“ан интегралдыЈ ›асиеттері
2.1 Аны›талма“ан интегралдыЈ туындысы интеграл астында“ы функция“а теЈ болады, я“ни

2.2 Аны›талма“ан интегралдыЈ дифференциалы интеграл астында“ы йрнекке теЈ болады.

2.3 љайсы бір функция дифференциалыныЈ аны›талма“ан интегралы осы функция жЩне кез келген С т±ра›тысыныЈ ›осындысына теЈ болады, я“ни

2.4 Нйлге теЈ емес т±ра›ты кйбейткішті интеграл символыныЈ алдына шы“ару“а болады, я“ни

2.5 Бірнеше функцияныЈ алгебралы› ›осындысыныЈ аны›талма“ан интегралы Щрбір функцияныЈ аны›талма“ан интегралыныЈ алгебралы› ›осындысына теЈ болады, я“ни

3 Негізгі интегралдар кестесі
1) м±нда

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)
Шрбір кестелік интегралды аны›талма“ан интеграл аны›тамасы (бойынша) жЩне дифференциалдау амалы бойынша тексеруге болады.
4 Тікелей интегралдау
Негізгі интегралдар кестесін ›олданып, аны›талма“ан интегралдар ›асиеттерін пайдаланып интеграл астында“ы йрнекті тЇрлендіріп интегралда“анды тікелей интегралдау деп атайды.

№1 Интегралдарды табу керек.

в) г)

г) д) е)

ж) з)
№4 а) б) в)

г) д) , е)

Егер таблицалы› интеграл болмаса жЩне тікелей интегралдау Щдісі бойынша табылмаса, онда кйп жа“дайларда жаЈа айнымалыны кіргізіп берілген интегралды кестелік интеграл“а келтіруге болады. Алмастыру ЩдісініЈ ма“ынасы осы болады.

г) , д)

б) Берілген интегралды кестелік интеграл“а келтіру Їшін деп алып, онда жЩне . (2) формуланы ›олданып есептейміз.

№12 , ,

• 6 Бйліктеп интегралдау Щдісі

Егер u(x) жЩне v(x) ›айсы бір аралы›та Їздіксіз, аралы›тыЈ Щрбір ішкі нЇктесінде дифференциалданатын функциялар болып жЩне осы аралы›та бар болса, онда бар болады,

Егер берілген интеграл“а ›ара“анда Щлде›айда ›арапайым интеграл болса, (3) формуланы бйліктеп интегралдау формуласы деп атайды. Осы формуланы ›олдану“а болады,.

б) u=x жЩне dv=Cosxdx деп аламыз. Онда

(3) формуланы ›олдан“анда, u жЩне dv д±рыс таЈдап алу керек. Интеграл астында“ы йрнекті u жЩне dv кйбейткіштерге бйліктейтін жалпы ереже жо›. Біра› кейбір дербес н±с›ауларды ›олдану“а болады.

функцияныЈ, не болмаса кйпмЇшелік пен тригонометриялы› функцияныЈ кйбейтіндісі болса,онда u деп кйпмЇшелікті белгілейміз.

функция, не болмаса кйпмЇшелік пен кері тригонометриялы› функцияныЈ кйбейтіндісі болса, онда u деп логарифдік функцияны, не болмаса кері тригонометриялы› функцияны алу керек.

Онда . Бйлшектеп интегралдау ЩдісініЈ формуласын ›олданып, интегралды мына тЇрге келтіреміз.

интегралдау ЩдісініЈ формуласын ›олданып,

Кейбір жа“дайларда бйліктеп интегралдау формуласын бірнеше рет ›олдан“анда ізделінетін интеграл“а ›атысты теЈдеу шы“ады. М±ндай интегралдар“а мына интегралдар жатады.

№17 интегралды табу керек.

(*) алын“ан интегралдыЈ оЈ жа“ын бйліктеп интегралдау Щдісімен интегралдаймыз.

Айталы› жЩне , онда , жЩне

(**)

(**)- ны (*)-“а ›ойса› ізделінді интеграл“а ›атысты формуланы аламыз.

Бйліктеп интегралдау формуласын ›олданып табамыз.

Айталы› жЩне dv=dx деп алса›

v=x жЩне . Сонымен

, б±дан


№19 Интегралды тап
Шешуі
Иррационалды›ты бйліміне жЩне берілген интегралды екі интегралдыЈ ›осындысы тЇріне келтіреміз.

Бірінші интеграл (13) кестелік интеграл болып табылады, ал екінші интегралды бйліктеп интегралдаймыз.
. десек , онда , жЩне

Сонымен,

жЩне осыдан


№20 Интегралдарды есептеЈдер

, ,
№21 Интеграл“а рекурренттік формуласын еЈгіземіз.

Шешуі
(*)
(*) алын“ан интегралды бйліктеп интегралдау формуласын пайдаланып есептейміз. жЩне десек, онда ,

Сонымен,

немесе (4)

1. 7 жЩне тЇрдегі интегралдар

Берілген квадратты› ЇшмЇше бол“ан жа“дайда на›ты жЩне Щр тЇрлі тЇбірлері болады; D=0 бол“ан жа“дайда еселі тЇбірлері болады; D<0 комплекс тЇбірлері болады. Бірінші жа“дайда квадратты› ЇшмЇшені екі квадраттыЈ айырмасы ретінде алу“а болады, екінші жа“дайда ЇшмЇше толы› квадрат болып табылады, ал Їшінші жа“дайда ол екі квадраттыЈ ›осындысы ретінде кйрсетіледі. Сонымен, егер D>0 болса (А) тЇрдегі интеграл (11) кестелік интеграл“а келеді, егер D<0 болса, (10) кестелік интеграл“а келеді, егер D=0 болса, (1) кестелік интеграл“а келеді.

Сонымен (А) тЇрдегі интегралдарды табу Їшін квадратты› ЇшмЇшелікті тЇрлендіріп (толы› квадратты бйліп алу) жЩне (10), (11), (1) кестелік интегралдарды ›олдану керек.
№22 Интегралдарды табыЈдар
, ,
Шешуі
а)
(10) формуланы ›олданып


, сонымен

(11) формуланы пайдаланып,

№23 Интегралдарды есептеЈдер

Егер йрнек бйлімініЈ туындысы болмаса, онда йрнекті бйлімініЈ туындысы болатындай етіп тЇрлендіру керек. Содан кейін (В) интегралын екі интегралдыЈ ›осындысы ретінде жазамыз, оныЈ біріншісі тікелей алынады ал, екіншісі (А) интеграл тЇріне келеді.

Конец формы

(С) интегралы егер бол“ан жа“дайда, (13) кестелік интеграл“а келеді жЩне егер болса, онда (9) кестелік интеграл“а келеді.

№29

№30

№31

(1) кйпмЇшелігі тЇрдегі сызы›ты› жЩне тЇрдегі квадратты› кйпмЇшелікке “ана жіктеле алатыны белгілі, м±нда“ы -кйпмЇшеліктіЈ на›ты тЇбірі, ал квадратты› ЇшмЇшеліктіЈ на›ты тЇбірі жо›, бас›аша айтса› .

Берілген кйпмЇшелік жіктелетін кейбір кйбейткіштер, оныЈ жіктелуіне бірнеше рет кіруі мЇмкін . (1) кйпмЇшелігініЈ жіктелуін жалпы мына тЇрде жазу“а болады. (2)

м±нда (1) кйпмЇшеліктіЈ на›ты тЇбірі, еселіктері, ал натурал сандар кйпмЇшеліктіЈ Щрбір ›ос тЇйіндесі.

Осыдан мынадай теЈдік шы“ады.

Рационал кйпмЇшелік деп дербес екі кйпмЇшеліктен т±ратын жЩне йз аргументтерінен т±ратын кйпмЇшелікті айтамыз.

Кез келген д±рыс рационал бйлшек , бйлімі - (2) мен жіктелетін болады. Элементар бйлшектердіЈ ›осындысынан т±ратын бір “ана а›ырлы бйлшекті келесі тЇріде кйрсете аламыз.

коэффициенттерді аны›тау Їшін (*) былай жасаймыз: (3) теЈдіктіЈ оЈ жа“ында“ы бйлшектер -терді орта› бйлімге келтіріп, содан кейін алымында пайда бол“ан -кйпмЇшеліктерді теЈестіреміз. Алын“ан теЈдеулердіЈ екі жа“ы теЈ болады. х- тіЈ дЩрежесі бойынша теЈдеудіЈ екі жа“ында“ы коэффициентерді теЈестіреміз де, шы››ан жЇйені шешіп, (*) белгісіз коэффициентерін табамыз.

№36 - мына рационал бйлшекті жай бйлшектерге жікте.

Шешуі

Берілген бйлшек д±рыс бйлшек бол“анды›тан, оны (3) формула мен жіктейміз. Элементар бйлшекті орта› бйлімге келтіріп, орта› бйлімінен ›±тылып, екі жа“ын теЈестірейік.

(**) – оЈ жа“ында“ы жа›шаларды ашып жЩне х- аргументтіЈ дЩрежесініЈ тймендеу ретімен жазайы›.

Мысалы x=3 болса, онда 25=5B, немесе B=5

x=-2 болса, онда –25=25C, осыдан C=-1

x=0 болса, онда -11=-6A+2B+9C немесе -11=-6A+10-9 осыдан A=2.

БйлшектіЈ бйлімі, я“ни, -тіЈ на›ты тЇбірлері болса, онда бізге екінші тЩсілді ›олдан“анымыз ыЈ“айлы.

№37 бйлшекті жай бйлшектерге жікте.

жазамыз. Ал (3) формуламен элементар бйлшектердіЈ ›осындысына жіктейік.

№38 Кйрсетілген бйлшектерді элементар бйлшектердіЈ ›осындысы тЇрінде жазыЈдар.

Егер ›арастырып отыр“ан бйлшек б±рыс бйлшек болса, онда осы бйлшектіЈ бйліндісі кйпмЇшелігі мен ›алды“ы ар›ылы жазу“а болады, м±нда кйпмЇшеліктіЈ дЩрежесі -тіЈ дЩрежесінен кіші болу керек. Осы жа“дайда (1)

(1) теЈдеудегі бйлшек д±рыс болса онда оны (3) формуласымен жіктеуге болады. кйпмЇшелігінен жЩне элементар бйлшектерден алынатын интеграл элементар функциялар ар›ылы йрнектелетін бол“анды›тан, кез келген рационал бйлшектіЈ (бйлшек рационал функция) интегралы элементар функция болады деген ›орытынды“а келеміз.

№39 Интегралды тап.

Интеграл таЈбасы астында“ы бйлшек рационал бйлшек. Б±л бйлшекті элементар бйлшектердіЈ ›осындысы ретінде жазайы›.

Онда

№40 Интегралды тап

2. Шешуі

Интеграл таЈбасы астында“ы бйлшек б±рыс бйлшек. Д±рыс бйлшек бйліп алу Їшін алымын бйліміне бйлеміз.

Берілген интеграл астында“ы функция 37 есепте элементар бйлшектер ›осындысы ретінде берілген.

№42 Интегралдарды табыЈдар

Алдымен бЇтін дЩрежелі тригонометриялы› функцияларды, я“ни, мына тЇрде берілген функцияларды ›арастырайы›

1. Н±с›ау 1

(А) интегралды табу Їшін жЩне -сандардыЈ біреуі та› жЩне оЈ болу керек. Сонда егер - та› жЩне оЈ болса жЩне егер де -та›, оЈ болса,

1. Шешуі

Біз айт›андай, функцияныЈ дЩрежесі та›, бЇтін оЈ сан, онда деп еЈгіземіз, сонда болады. Ендеше

1. Н±с›ау 2

(А) интегралды есептегенде кйрсеткіш жЩне -сандары ж±п жЩне оЈ (дербес жа“дай: біреуі нольге теЈ ) болса, онда функцияны тЇрлендіру Їшін мына белгілі формулаларды ›олдану жеткілікті.

№48 Интегралдарды есепте

№56

Интегралды тап

Алын“ан жауапты айнымалы х- пен йрнектесек ,

1. Шешуі

Алын“ан жауапты берілген х-айнымалысымен йрнектесек

Сонымен,

Егер интеграл астында“ы рационал функция х-айнымалыдан тЩуелді жЩне бйлшек дЩрежелі болса, онда , м±нда -кйрсеткіштіЈ еЈ кіші еселігі, алмастыру еЈгізсек, интеграл астында“ы йрнек жаЈа -айнымалысы бар рационал йрнекке айналады.

ТЇбір кйрсеткішініЈ еЈ кіші еселігі 6. алмастыру еЈгізсек, онда

болады.

Сонымен,

Ата›ты орыс математигі П.Л. Чебышев дифференциалы биномиалды дифференциал екенін дЩлелдеген, жЩне сонымен ›атар б±л йрнектен алынатын интеграл ›арапайым Їш тЇрлі функциялармен йрнектеледі.

14.1 -бЇтін сан немесе нйлге теЈ;

14.2 - бЇтін сан немесе нйлге теЈ;

14.3 - бЇтін сан немесе нйлге теЈ;

Бірінші жа“дайда -бЇтін оЈ, онда интеграл тікелей интегралданады. Ол Їшін биномды Ньютон формуласымен жіктеу жеткілікті. Егер -бЇтін теріс сан болса, онда алмастыруды еЈгіземіз, м±нда -саны жЩне сандарыныЈ еЈ кіші еселігі .

Екінші жа“дайда бЇтін сан болса, онда алмастыруды пайдаланамыз, м±нда бйлшектіЈ бйлімі.

®шінші жа“дайда бЇтін сан болса, алмастыруды пайдаланамыз, м±нда , -бйлшектіЈ бйлімі.

Сонымен мына алмастыруды ›олданайы› (*)

Онда жЩне


Алын“ан жауапты айнымалы х-пен йрнектесек (*) теЈдіктен мынаны
табамыз. Ендеше,
№66 Интегралды тап

Шешуі

екінші жа“дайда . деп ›ойса›, онда жЩне

Осыдан

м±нда

љолданса›, онда біз жЩне табамыз.

(*) алмастырудан

1. Жауаптары

№3 ;

b) ; г)

;

; з)
№ 4 а) ; б)

в) ; г)

д) ; е)
№7 а) ; б)

в) ; г)

д) ; е)
№8 а) ; б)

в) ; г)

д) ; е)
№9 а) ; б)

в) ; г)

д) ; е)
№10 а) ; б)

в) ; г)
№11 а) ; б)

в) ; г)

д) ; е)
№12 а) ; б)

в) ; г) ;

д)
№15 а) ; б)

в) ; г)

д) ; е)

№16 а) ; б)

№32 а) ; б)

№35 а) ; б)

№38 а) ; б)

№42 а) ; б)

№44 а) ;

№51 а) ; б)

№54 а) ; б)

№57 а) ; б)

№69 а) ;

№70 а) ; б) , м±нда

E)

2.
A) ; B) ; C) ; D)

E)

E)

E)

A) ; B) ; C) ;

D) ; E)
7.
A) ; B) ; C) ; D) ;

E)

D) ; E)

E)

E)

E)

D) ; E)

D) ; E)

15.
A) ; B) ; C) ;

D) ; E)

E)

E)

19.

E)

E)

D) ; E)

D) ; E)

E)

E)

E)

1. Мазм±ны

Ал“ысйз 3

1 Аны›талма“ан интеграл 4

2 Аны›талама“ан интегралдыЈ ›асиеттері 5

3 Негізгі интегралдар кестесі 5

4 Тікелей интегралдау 6

5 Айнымалыны ауыстырып интегралдау ( алмастыру Щдісі) 9

6 Бйліктеп интегралдау Щдісі 12

7 жЩне тЇрдегі интегралдар 17

8 ИнтегралдардыЈ та“ы бір тЇрлері жЩне

9 Рационал бйлшектерді ›арапайым бйлшектерге жіктеу 22

10 Рационал бйлшек функцияларды интегралдау 26

11 Тригонометриялы› функциялардан рационал тЇрде тЩуелді

болатын функцияларды интегралдау 29

12 тЇрдегі

интегралдар 34

13 љарапайым иррационал йрнектерді интегралдау 37

14 Биномиалды› дифференциалдарды интегралдау 38

15 Жауаптары 42

16 изін йзі тексеру тесті 46

Шдебиеттер 52