Аннотация О›ушыныЈ аты

№86 жалпы білім беретін орта мектептіЈ 11-сынып о›ушысы.

’ылыми жобаныЈ та›ырыбы: Тригонометриялы› теЈдеулер

’ылыми жобаныЈ ма›саты:

• 
  тригонометриялы› теЈдеулердіЈ тЇрлерін зерттеп, бірнеше тЩсілдерін ›арастыру.
  

• 
  та›ырыпты негіздеу, ма›саттары мен міндеттерін ай›ындау;
  
• 
  та›ырып›а байланысты теориялы› жады“аттар жина›тау, Щдебиеттерге шолу жасау, талдау;
  
• 
  тригонометриялы› теЈдеулердіЈ тЇрлерін ›арастыру;
  
• 
  тригонометриялы› теЈдеулер жЇйесін шешу жолдарын ›арастыру;
  
• 
  кері тригонометриялы› теЈдеулерді ›арастыру;
  
• 
  алын“ан нЩтижелер бойынша есептер жина“ын ›±ру, жина›тау;
  
• 
  ж±мысты ›орытындылау.
  

љарапайым тригонометриялы› теЈдеулерді пайдаланып теЈдеулер жЇйесін жЩне кері тригонометриялы› теЈдеулерді жЩне параметрі бар теЈдеулерді шешу жолдары кйрсетілді.

Жина›тал“ан мЩліметтер мен алын“ан нЩтижелер бойынша тригонометриялы› теЈдеулердіЈ кейбір есептерініЈ моделі жасалынып,

Тригонометрия элементтерін адамзат ежелгі замандардан бастап, б±рыштарды йлшеу м±›тажды›тары барысында ›олдана баста“ан. Тригонометриялы› функциялардыЈ ›азіргі атаулары ХVI-XVIII “асырларда пайда бол“ан. Синус сйзі латын тілінен аудар“анда «дйЈестік деген ма“ынаны білдіреді, ал косинуста“ы «ко» ›осымшасы латынныЈ complementom-толы›тауыш деген ма“ынаны білдіреді. Осы кЇнгі ›олданылып жЇрген sinx жЩне cosx белгілеулері 1739 жылы И.БернуллидіЈ Л.Эйлерге жаз“ан хатында ал“аш рет ±сыныл“ан. Б±л белгілеулерді ›азіргі кезеЈде кеЈінен ›олдана бастады.

љарапайым тригонометриялы› теЈдеулерді ›арастыр“ан кезде олардыЈ тЇрлері бойынша бйлсе ›алай болады жЩне бірнеше шешу жолдары болуы мЇмкін бе?- деген с±ра›тар туындады.

Осы “ылыми жобаны жасау барысында тймендегідей ма›сатты ал“а ›ойдым:

• 
  тригонометриялы› теЈдеулердіЈ тЇрлерін зерттеп, бірнеше тЩсілдерін ›арастыру.
  

• 
  тригонометриялы› теЈдеулердіЈ тЇрлері туралы материалдар жина›тау, классификациялау;
  
• 
  тЇріндегі теЈдеуді ›арастыру;
  
• 
  параметрі бар тригонометриялы› теЈдеулерді ›арастыру;
  
• 
  кері тригонометриялы› теЈдеулерді ›арастыру;
  
• 
  теЈдеулер жЇйесін ›арастыру;
  
• 
  тригонометриялы› теЈдеулер тЇріне сипаттама беру;
  
• 
  кЇрделі тригонометриялы› теЈдеулерді шешуді жина›тау;
  
• 
  тригонометриялы› теЈдеулерді тЇрлері бойынша бйлу;
  
• 
  тригонометриялы› теЈдеулері бар есептер жина“ын ›±растыру.
  

Екі тригонометриялы› функцияныЈ теЈдігін ›ана“аттандыратын аргументтіЈ мЩндерін іздеу тригонометриялы› теЈдеулерді шешуге келтіріледі. М±ндай теЈдеулер тек на›ты сандар жиынында “ана ›арастырылады.

Мысалы, теЈдеуініЈ тЇбірі жо›, ал десек, .

Тригонометриялы› теЈдеулерді тЇрлендіріп -тЇріне келтіреді. Б±лардыЈ шешімдері тймендегідей болады:

1. 
   егер болса, ;
   
2. 
   егер болса, ;
   
3. 
   егер кез келген сан болса, ;
   
4. 
   егер кез келген сан болса, .
   

1. теЈдеуді шешу керек. -ті ар›ылы жазса›, шы“ады. Б±дан

2. теЈдеуді аралы“ында шешу керек.

1) аралы“ында тек “ана жатады. теЈдеуін шешсек, б±нда тЇбірі шартты ›ана“аттандырады.

1) тЇбірі болады.

2)

Сонымен, теЈдеудіЈ аралы“ында тйрт тЇбірі болады, олар .

Я“ни тЇріне келтіретін теЈдеулер. Сол белгілі бір бірнеше кйбейтінділерден т±рады. ОЈ бйлігі нйл, сонды›тан еЈ болма“анда бір кйбейткіш нйлге теЈ болса “ана кйбейтінді нйлге теЈ болады.

1. теЈдеуді шешіЈдер. (ММЖ) – мЇмкін мЩндер жиыны.

(ММЖ) тапса› немесе

1) б±дан я“ни

2) б±дан ММЖ-“а жатпайтынын кйрсетейік.

2.

1) б±дан

2) шешімі болмайды, себебі сол бйлігі Щруа›ытта оЈ сан. ТеЈдеудіЈ тЇбірі .

§2.љосу формулаларын пайдаланып шешілетін

теЈдеулер.

Мысалдар:

1. теЈдеуін шешіЈдер.

-ті тЇріне келтіріп аламыз:

1) я“ни

2) я“ни

2. теЈдеуін шешіЈдер.

3. теЈдеуді шешіЈдер.

1) я“ни

2) .
§3. .

тЇріндегі теЈдеулер. Б±л теЈдеулерді жЩне -ге ›ара“анда біртекті теЈдеулерге келтіруге болады. Немесе формуласын пайдаланып шешуге болады, м±нда“ы .

Мысалы, теЈдеуді шешу керек. Жарты аргумент функциялар“а кйшсек,

бйлгенде б±дан табатынымыз:

Егер жЩне -ке ›ара“анда біртекті теЈдеулер.

теЈдеуі бірінші дЩрежелі біртекті теЈдеу деп аталады. Б±л теЈдеудіЈ екі бйлігін де деп бйлсек, осы теЈдеудіЈ тЇбірін табамыз. Мысалдар:

1. теЈдеуін шешу керек. теЈдеуімен мЩндес. немесе

1. теЈдеуін шешу керек. -›а бйліп мЩндес теЈдеу аламыз, б±л теЈдеуді шешсек

1) я“ни

2) я“ни

2.

1)

2)

Егер ал онда теЈдеудіЈ мЩні болмайды; егер онда x–кез келген на›ты сан, я“ни теЈдеу теЈдікке айналады. Мысалы ›арастырамыз. ТеЈдеудіЈ екі жа“ын 2-ге бйліп, я“ни немесе .

1-тЩсіл: теЈдеуін ›ос б±рыш енгізу Щдісі ар›ылы шешу.

Біз білеміз, егер болса, б±рышы болады, немесе керісінше. теЈдеуін шешу Їшін кйбейткішін жа›ша сыртына шы“арамыз. Сонда теЈдеуін аламыз. бол“анды›тан, бірінші санды кейбір

б±рышыныЈ косинусы деп ›абылдап, ал екінші сол

б±рышыныЈ синусымен алмастырып жазамыз, я“ни , . М±ндай жа“дайда теЈдеу немесе тЇріне келеді, б±дан . Б±л теЈдеудіЈ шешімі болады, егер , сонда , .

б±рышы теЈдігінен табылады, .

Жауабы: .

љарастырылып йткен тЩсіл функциясыныЈ max, min нЇктелерін тап›анда жиі ›олданылады.

Мысалы: функциясыныЈ max, min нЇктелерін табу.

Шешуі: .

Максимум болады, я“ни . Ал болатынын кйру оЈай.

Жауабы: , .

љарастырыл“ан тЩсіл теЈдеуінде универсалды болып ›арастырылады. Ол сонымен ›атар физикада гармониялы› тербелістерді ›осуда ›олданылады.

2-тЩсіл: – теЈдеуін рационалдау Щдісімен шешу.

Белгілі, егер , онда , жЩне , ар›ылы рационалды йрнектеледі, я“ни , жЩне . Рационалдау Щдісі мыналардан ›орытылады: алмастырудан кейін рационалды теЈдеу белгісіз кймекшімен салыстыру“а болатын, белгісіз кймекші ендіреміз. теЈдеуін ›арастырамыз, б±дан теЈдеуін аламыз. деп алса›, онда аламыз. Б±л теЈдеу- рационалды салыстырмалы .

ТеЈдеудіЈ екі бйлігін кйбейтеміз, сонда болады. немесе деп кйрсек, болады. мЩні –на›ты, егер . Егер теЈдеуінде деп алса›, ендеше ол бірінші дЩрежелі теЈдеуге айналады: я“ни , . бол“анда, йрнегі кймекші белгісізге мЩнін жо“алтады, я“ни . теЈдеудіЈ шешімі жо“алуы мЇмкін. теЈдеуді алмастыру ар›ылы: ; .

М±ндай жа“дайда теЈдеу тЇріндегі шешімдер жиыны кйп болады.

1. 
   Егер болса, онда теЈдеудіЈ шешімі болмайды, теЈдеудіЈ на›ты тЇбірлері болма“анды›тан.
   
2. 
   Егер жЩне болса, онда теЈдеуден табамыз.
   
3. 
   Егер , онда теЈдеудіЈ 2 шешімі бар: жЩне .
   

Б±л теЈдеуді кймекші б±рыш ендіру ар›ылы шешуге де болады. деп алып, тймендегі формулалардыЈ кймегімен тЇрлендірсек, . Б±л арадан . Енді мЩні берілген теЈдеуді ›ана“аттандыратынын тексерелік.

Сонымен теЈдеудіЈ шешімі:


3-тЩсіл: теЈдеуін шешу Щдісі. ТеЈдеудіЈ екі бйлігін де квадраттау тЩсілімен, біртекті теЈдеуін аламыз. Бйгде тЇбір шы“атынды›тан, б±л Щдіс еЈ жиі ›олданылатын Щдіс.

1-мысал. ТеЈдеуді шешіЈдер.

ТеЈдеуді аны›талу облысына мЩні енбейді. Берілген теЈдеу тек -ке тЩуелді, ййткені оны тЇрлендірсек, тЇріндегі теЈдеуді аламыз. Аны›талу облысын ескерсек, .ТеЈдеуді -ке ›атысты шешсек, бірінші тЇбір теЈдеудіЈ аны›талу облысына енбейді, ал екіншісінен .

Барлы› тригонометриялы› функциялар ›атысатын теЈдеулерді кйбінесе ар›ылы йрнектеуге болады. ТеЈдеулерді б±л метод пен шешкенде кйбінесе тЇбірді жо“алтуымыз мЇмкін. Сонды›тан шешімді тексеру ›ажет. Б±л методты Эйлер методына алмастыруы деп атайды.

4-тЩсіл: теЈдеуін шешу Щдісі.

ТеЈдеуді мына тЇрде жазып аламыз: ,я“н жЩне т.б. тЇріндегі біртекті теЈдеуін аламыз.


§4. ТеЈбе-теЈ тЇрлендірулер ар›ылы ›арапайым тЇрге келтірілетін тригонометриялы› теЈдеулер.

Тигонометриялы› теЈдеудіЈ сипаты оныЈ ›±рамында“ы тригонометриялы› йрнектіЈ ›абылдайтын мЩндеріне немесе аны›талу облысына байланысты. Алгебралы› йрнектер сия›ты тригонометриялы› теЈбе-теЈдікті ›±райтын йрнектерде тЇрлендіру есептер шешуде аса маЈызды роль ат›арады. Шсіресе теЈдеулер шешуде тригонометриялы› теЈбе-теЈдіктер акл“аш›ы немесе негізгі ±“ым болып саналады. ТеЈдеулер шешуге йте кйп теЈбе-теЈдіктерден еЈ ›ажеттісін таЈдап алу–есептіЈ тиімді тЩсілдер кймегімен оЈай шешілуіне мЇмкіндік береді.

Бірнеше мысалдар ›арастырайы›:

1-мысал. ТеЈдеуді шешіЈдер.

ТеЈдеуді тЇрінде жазалы›. љосынды“а тЇрлендіріп, йрнегін ›ос б±рыштыЈ формуласы бойынша жазса›, теЈдеуді деп жазу“а болады. Б±дан ›арапайым теЈдеулерге келеді. Б±л арада

ТЇбірлерді салыстыра келіп, тЇбірлерініЈ жалпы тЇбір екенін бай›аймыз.

2-мысал. теЈдеуді кймекші б±рыш енгізу ар›ылы шешіЈдер. Келтіру формуласыныЈ кймегімен теЈдіктерін жазамыз. Б±л арада м±нда“ы ›арапайым теЈдеуін алды›.

3-мысал. теЈдеуді шешіЈдер. ДЩрежесін тймендету формуласыныЈ кймегімен

теЈдеуді ы›шамда“ан соЈ, ›осыл“ыштарды бірге топтап, кйбейтіндіге тЇрлендірсек, . Б±л арада Немесе . Екінші теЈдеуден ; Б±л теЈдеулерден .

4-мысал. теЈдеуін шешіЈдер.

Бірінші жЩне соЈ“ы ›осыл“ыштарды пайдаланып, толы› квадрат алса› жЩне дЩрежесін жо“арылату формуласын пайдаланса›, теЈдеу тЇрге келеді. -ке ›атысты квадрат теЈдеудіЈ тЇбірлерінен теЈдеуін таЈдап аламыз. Б±л арадан .

5- мысал. теЈдеуді шешіЈдер.

ТеЈдеудіЈ шешімі мЩндерінде болады. болатынын ескерсек, теЈдеу сол жа“ын ›осынды“а тЇрлендірсек, ±›сас мЇшелерін біріктіргеннен соЈ шы“ады.

йрнегініЈ мЩні теЈдеудіЈ аны›талу облысына енбейтіндіктен

немесе ;

6-мысал. теЈдеуді шешіЈдер.

1-тЩсіл. Егер , онда , теЈдеу д±рыс емес теЈдікке айналады. Ендеше деп аламыз. ТеЈдеудіЈ екі жа“ын да -ке бйліп, айнымалысын енгіземіз. Онда , ал жЩне

Жауабы:

2-тЩсіл. ДЩрежені тймендету формуласын ›олданып, теЈдеуді мына тЇрге келтіреміз

ТеЈдеудіЈ екі жа“ын да бйліп жЩне ›осымша б±рыш енгізу ар›ылы аламыз. Б±дан

Жауабы:

3-тЩсіл. ТеЈдеуді мына тЇрде жазамыз

љал“андары аны›.

4-тЩсіл. ТеЈдеуді -ке ›атысты шешеміз

;



жЩне -ты -тыЈ жарты б±рышы ар›ылы йрнектеу оныЈ ММЖ кішірейтеді жЩне кейбір тЇбірлерін жойып алады. љорыта келгенде , -ты -Ј жо“алтады. ТеЈдеудіЈ екі жа“ын да квадраттау ар›ылы тригонометриялы› теЈдеулерді шешу кейбір кездерде тЇбірлерініЈ жойылуына алып келеді. Сонымен, б±л екі тЩсіл ›осымша зерттеуді талап етеді.

§5. Біртектес тригонометриялы› теЈдеулер.

тЇріндегі теЈдеуді біртектес теЈдеу деп атайды. жа“дайында теЈдеудіЈ екі бйлігінде йрнегіне кйбейтіп теЈдеуді аламыз, егер болса, онда соЈ“ы теЈдеудіЈ мЩні болмайды.

1-мысал. теЈдеуді шешейік. ТеЈдеудіЈ екі жа“ын йрнегіне кйбейтіп, немесе Б±л арадан
2-мысал. теЈдеуді шешіЈдер.

ТеЈдеудіЈ екі жа“ын -ке бйлеміз. Сонда м±нда“ы десек, жіктесек.

1)

2)

3) .

мЩні де берілген теЈдеудіЈ тЇбірі болады, теЈдеудіЈ екі жа“ын -ке бйлу ар›ылы б±л тЇбірді жо“алтты›. Сонды›тан -ке бйлудіЈ орнына, ›айта жа›ша сыртына шы“ару керек еді.

3-мысал. ТеЈдеуді шешіЈдер.

ТеЈдеудегі ›осыл“ыштарды тек -ке тЩуелді болатындай тЇрге келтіреміз.

1)

2) десек,



еселік тЇбір.
§6. Параметрі бар тригонометриялы› теЈдеулер.

1-мысал. теЈдеуінде, параметрініЈ барлы› мЩнін табу керек.

Бірінші ›осыл“ышты мына

тЇрге келтіріп, ал екінші ›осыл“ышты , айнымалысын енгізіп теЈдеуді мына тЇрде жазып аламыз

ОныЈ тЇбірі болады, егер

Солайша -ныЈ кез келген мЩнінде екі тЇбірі ( ) болады. бол“анды›тан, егер тЇбірлерініЈ тым болмаса біреуі аралы››а кірсе, бастап›ы теЈдеудіЈ мЩні болады,

А. Екі тЇбірді де осы аралы›та жатады деп алайы›, я“ни . Онда функциясыныЈ минимум нЇктесініЈ абциссасы мына аралы›та жатады:

функцияныЈ минимал мЩні теріс: а-ныЈ кез келген мЩнінде орындалады; функцияныЈ мЩні аралы›тыЈ соЈында теріс емес: . љарастырыл“ан шарттардыЈ жЇйесі Їйлеспегендіктен, аралы›тарда екі шешімі болуы мЇмкін емес.

В. аралы››а тЇбірлерініЈ біреуі жатады деп алайы›. Онда аралы›тыЈ соЈында Щр тЇрлі таЈбалы екі мЩн ›абылдайды, оныЈ біреуі нйлдік болуы мЇмкін, я“ни шарты орындалады, б±дан интервалдар Щдісімен аламыз. Жауабы: .

2-мысал.

Шешуі. ТеЈдеудіЈ сол жа› бйлігін кубтардыЈ ›осындысы бойынша теЈдеуін аламыз немесе я“ни мЩні болады.

СоЈ“ы теЈсіздік береді. Ерекше жа“дай . Онда теЈдеу мына тЇрге келеді , шешімі жо›.

Жауабы: бол“анда,

3-мысал. -теЈдеуін шешу.

а) Бір мезгілде мына теЈсіздіктер орындалуы тиіс:

Осы шарт бойынша

б) Бір мезгілде мына теЈсіздіктер орындалуы тиіс:

б±дан .

Осы шарт бойынша

Жаубы: бол“анда,

бол“анда,

бол“анда,

II-тарау.

§1.Кері тригонометриялы› функция“а тЩуелді

теЈдеулер.

Б±л тЇрге жататын теЈдеулердіЈ шешімдерініЈ саны шектеулі болады. Сонды›тан ба оныЈ шешімдерін талдаудыЈ ерекше ›иынды“ы болмайды. функциялар“а тЩуелді теЈдеу берілсін делік. Ол болсын. М±нда“ы кері тригонометриялы› функциялар. теЈдігін жазалы›. СоЈ“ы теЈдіктен алгебралы› теЈдеу шы“у керек. Б±л теЈдеу ал“аш›ы мЩндес болмайды. Алгебралы› теЈдеудіЈ табыл“ан тЇбірін x-тіЈ аны›талу облысымен салыстырамыз, ›ал“ан тЇбірлерін берілген теЈдеуге ›ойып тексереміз.

1-мысал. теЈдеуді шешіЈдер.

x -тіЈ аны›талу облысын ›арастыралы›.

жЩне Б±л арадан жалпы ал“анда .

ТеЈдеудіЈ екі жа“ын синустыЈ аргументі деп ›араймыз.

Б±дан Щрі

екі жа“ын квадраттаса›, . ТЇрлендірсек, б±дан десек, теЈдеу . Осы теЈдеуді шешеміз:

1) онда я“ни олай болса, тЇбір.

Тексере келіп, ›ал“ан тЇбірлердіЈ теЈдеуді ›ана“аттандырмайтынын бай›аймыз.

2-мысал. теЈдеуді шешіЈдер.

а)

б)

2-есеп.

ТеЈдеу мына функция“а ›атысты квадратты› теЈдеуге айналады

, осыдан

а) Щр›ашан, сонымен ›атар болуы тиіс. ТеЈсіздікті шеше отырып, а- кез келген на›ты сан екенін аламыз.

б) . теЈсіздігі а-ныЈ еш›андай мЩнінде орындалмайды.

бол“анда“ы ерекше жа“дай! Тендеу келесі тЇрге келеді:

Жауабы:

3-есеп.

Шешуі:

. Тендеу мына тЇрге тЇрленеді:

я“ни

Егер

Жауабы: .

1-есеп. теЈдеуін шешейік.

Шешуі: Айнымалы енгіземіз:



- шартты ›ана“аттандырмайды,

Жауабы:

2-есеп. теЈдеуін шешейік.

Шешуі: Айнымалы енгіземіз:

Жауабы:

3-есеп. теЈдеуін шешейік.

Шешуі:

Айнымалы енгіземіз:

Жауабы:

4-есеп. теЈдеуін шешейік.

Шешуі:

Тексереміз:

1) -д±рыс

2) -д±рыс

Жауабы:

5-есеп. теЈдеуін шешейік.

Шешуі:

Айнымалы енгіземіз:

Жауабы:

’ылыми жоба ж±мыстарын орындау барысында математикалы› есептеу ж±мыстары, модельдеу, талдау сия›ты жалпы “ылыми Щдістер ›олдандым. Б±л ЩдістердіЈ сипаттамалары зерттеуде ›олданылды.

1. 
   А.Н. Колмогоров «Алгебра и начала анализа» 10-11 сынып о›улы“ы;
   
2. 
   Ш.Н. Шыныбеков «Алгебра» 9-сынып о›улы“ы;
   
3. 
   И.Т. Бородуля
   

1. 
   И.П. Рустюмова, Т.А. Кузнецова, С.Т. Рустюмова
   

1. 
   љ. љаЈлыбаев, љ. ШбдімЩжитов, Ш. Бекбаулиева
   

1. 
   Н.А. Терешин, Т.Н. Терешина