Қатты дене беттерін реттеудегі мультифракталдық талдау

Фракталдарды көбінесе геометриялық, алгебралық және стохастикалық деп бөледі. Геометриялық фракталдар өзіне өзі ұқсастық қасиеті ең көрнекі көрсетілетін фракталдар болып табылады. Мұндай объектілерге Серпинский үшбұрышы, Кантор жиынтығы, Серпинский салфеткасы және т.б. жатады.

Алгебралық фракталдар – фракталдардың ең үлкен тобы. Алгебралық фракталдарды құру үшін n-өлшемді кеңістіктердегі сызықты емес процестерді, яғни, қарапайым алгебралық формулалар арқылы берілетін сызықты емес суреттемелер итерациясын қолданады. Оларға Мандельброт жиынтығы, Жюлиа жиынтығы және т.б. жатады.

Стохастикалық фракталдар итерациялық процесте оның кейбір параметрлерін кездейсоқ өзгерту нәтижесінде пайда болады. Осы кезде пайда болатын объектілер табиғи объектілерге ұқсас болып келеді: симметриялы емес ағаштар, жағалау сызықтары және т.б. Екі өлшемді стохастикалық фракталдар теңіз бетін және өлке рельефін модельдеуде қолданылады. Белгілі бір жағдайда стохастикалық факталдар мультифракталдар деп те аталады.

Фракталдарды сондай-ақ, табиғи және жасанды фракталдар деп те айқындайды. Жасанды фракталдар ғалымдар қолымен жасалғандықтан, кез келген масштабта фракталдық қасиетке ие. Ал табиғи фракталдардың «тіршілігіне» шектеу бар, себебі олардың фракталдық қасиеттері байқалатын белгілі бір максималды және минималды өлшемі болады. Барлық тұрақты фракталдар масштабты инварианттық қасиетіне ие, олардың скейлингтік құрылымы бір масштабты көбейткішпен анықталады.

Алайда, нақты жағдайдың көбісінде масштабты көбейткіштер біртекті емес, ал фракталда скейлингтердің спектрі болады. Мұндай фракталдық құрылымдар мультифракталдар болып табылады және де шексіз өлшемдер жиынымен сипатталады. Бұл құрылымдарды зерттеуде қолданылатын әдіс, тек талданатын үлгінің геометриясын ғана емес, сондай-ақ, оның физика-химиялық қасиеттерінің мультифракталдық спектрінің параметрлерімен байланысын мультифракталдық өлшемдер түрінде анықтауға мүмкіндік береді.

Мультифракталдық талдау фракталдық құрылымдарды мөлшерлік сипаттауға мүмкіндік беретін бірқатар статистикалық параметрлердің жиынын береді. Мұндай объектілердің маңызды ерекшелігі – оларды сипаттау үшін тек бір ғана фракталдық өлшемділікті емес, сонымен қатар, мультифракталдың негізгі атрибуты болып табылатын спектрін де қолдану қажет.

Жүйенің мультифракталдық параметрлеріне Реньи жалпыланған өлшемділігі және мультифрактал спектрінің функциясын жатқызады. Реньи энтропиялары деп те аталатын, D_q, жалпыланған өлшемділіктері мына қатынастармен анықталады:

мұндағы q_i —р_i берілген салмақ үшін сингулярлық көрсеткіші. D_q жалпыланған өлшемділігінің шамалары Лежандр түрлендірулерімен f(α) мультифрактал спектрінің функцияларымен байланысты. f(α) функциясының физикалық мағынасы, q берілген шамасында басыңқы үлесін беретін, бастапқы көптен кейбір бір текті фрактал жиынтығының Хаусдорфтық өлшемділігін береді. Әртүрлі α кезінде f(α) функциясының әртүрлі мәндерінің жиынтығы бастапқы көпті бөліп тастауға болатын, бір текті жиынтықтар фрактал өлшемділіктерінің спектрі болып табылады.

D_q және f(α) параметрлері зерттелетін жүйенің бір тектілік және реттілігінің дәрежесін анықтауға мүмкіндік береді. Бір тектілік параметрін қарастырылатын құрылымның геометриялық бірдей учаскелерін р_i ықтималдылықтарымен сипаттауға болады. Бір текті жүйе жоғарыда аталған ықтималдылықтардың жиынтығымен анықталатын, f(α) мультифрактал спектрінің параболалық функциясымен сипатталады. Осы жағдайда, ең кіші шаршылар әдісімен орындалған, f(α) функциясының шаршылық аппроксимациясы R²= 1 коэффициентімен анықталған. Жүйеде біртектілік дәрежесі жоғары болған сайын, f(α) спектрі параболалықтан соншалықты үлкен ауытқитын болады, яғни 0 < R² < 1. Осыдан, R² шамасын құрылымның бір тектілік көрсеткіші ретінде қабылдауға болады.

Δ реттілік параметрін D₁—D_∞ айырымның көмегімен анықтауға болады, мұнда D₁ ақпараттық өлшемділігі құрылым симметриясының бұзылу дәрежесін сипаттайды, ол белгілі бір ұяшықтағы нүктенің орналасқан жерін анықтайтын ақпаратты сипаттайтындықтан, осындай атқа ие болған, және де ұяшық өлшемінің нольге ұмтылғандағы нүкте орнын анықтайтын ақпараттың қалай ұлғаятынын көрсетеді, ал D_∞ шамасы бастапқы параметрді анықтаудағы қатенің ықтималдылығымен байланысты. Сонда Δ = D₁—D_∞ шамасы үлкен болған сайын, жүйе реттілігінің дәрежесі соншалықты жоғары болады.

Жоғарыда аталған Δ және R² параметрлері жүйе элементтерінің жазықтықтарға таратудың негізгі үш типін айқындауға рұқсат етеді: бейберекет, мультифрактал және монофрактал. Жүйенің элементтерін бейберекет тарату өз құрылымы бойынша бір текті (R²= 1) және ретті болып табылмайды (Δ → 0). Анықтама бойынша мультифрактал бір текті емес (0 < R² < 1), бірақ құрылымды құратын элементтердің орналасуындағы кейбір реттілігіне ие (Δ ≠ 0). Өзіне өзі ұқсас классикалық фракталдар (монофракталдар) абсолют бір тектілікпен (R² = 1) және реттілікпен сипатталады. Олардағы барлық D_q жалпыланған фракталдық өлшемділіктер бір-біріне сәйкес келеді. Хаусдорфтық өлшемділік мультифракталдың ең қарапайым сипаттамасы болғандықтан, ол мультифракталдың статистикалық қасиеттері жайлы ақпарат бере алмайды. Жүйелі фракталдар үшін жалпыланған фракталдық өлшемділіктердің спектрі D = D (q = 0) бір Хаусдорфтық өлшемділікке азғындалатындықтан, онда осы жағдайда реттілік параметрін жоғарыда көрсетілген әдіспен есептеу мүмкін емес болып табылады.

Жүйеде элементтерді ретті және бейберекет таратуын, бірінші жағдайда екіншісімен салыстырғанда үнемі кіші болатын, энтропия түсінігін қолдана отырып айыруға болады. S ақпараттық энтропиясы құрылымның өзін-өзі реттеу деңгейін сипаттайды және құрылымның пайда болуы немесе жойылуы кезінде p_i ықтималдылығымен алынатын, синергетикалық ақпараттың орташа мәні ретінде анықталады.

Беттерді олардың топографиясы бойынша іріктеу жүргізілді. Іріктеу нәтижесінде қатты денелердің беттері топталды. Олардың жалпы саны әзірге 10 дана. Топтарға талдау жүргізбес бұрын, оларды алдын-ала өңдеуден өткізіп, түсі түрлендірілді. Осы топтарға мультифракталдық талдау жүргізіліп, жоғарыда аталған мультифракталдық параметрлер анықталды.

1-сурет. 1-топтағы а) беттің топографиялық кескіні

2-сурет. 1-топтағы а) беттің өңделгеннен кейінгі бейнесі

3-сурет. 1-топтағы б) беттің топографиялықкескіні

4-сурет. 1-топтағы б) беттің өңделгеннен кейінгі бейнесі

5-сурет. 1-топтағы в) беттің топографиялық кескіні

6-сурет. 1-топтағы в) беттің өңделгеннен кейінгі бейнесі

Әзірге атауы жоқ шартты түрде 1-топ деп аталатын жиындағы беттер жоғарыдағы суреттерде көрсетілген. Көрсетілген беттер топографиясы бойынша іріктеу нәтижесінде, бір ортақ топқа жинастырылды. Мұндағы басты мақсат алынған беттерді белгілі бір топқа қатыстылығын олардың өлшемділік параметрлері, яғни фракталдық, ақпараттық және де корреляциялық өлшемділіктерін есептеу арқылы дәлелдеу, әр бетке жүргізілген мультифракталдық талдау нәтижелерін, яғни қажетті ақпаратты, іріктеу, және аталған параметрлер бойынша бір топтағы беттерге салыстырмалы талдау жүргізу болып табылады. Осылайша, барлық беттерді өңдеуден кейін топтарды өзара салыстыру жоспарлануда. Бірінші топтағы беттерді салыстыру нәтижесінде келесідей мәліметтер алынды:

Кесте

Зерттелінетін беттердің негізгі фракталдық параметрлері

	А	Б	В
D0	1,91	1,917	1,924
D1	1,903	1,908	1,914
D2	1,8961	1,9002	1,9063

Қарастырылып отырған беттердің фракталдық өлшемділік D₀, ақпараттық өлшемділік D₁ және корреляциялық өлшемділік D₂ – негізгі фракталдық параметрлерін салыстыру нәтижесінде оларды алдын-ала осы топқа енгізу негізделгендігін көрсетеді. Жүргізілген жұмыс бойынша құрылымдарды әрі қарай зерттеу және де мультифракталдық талдау көмегімен реттеледі.

2. Манахов П.В., Федосеев О.Б. Численное моделирование эволюции полей пластических деформаций при испытаниях на твердость с помощью альтернативного алгоритма решения пластических задач // Вектор науки ТГУ. 2011. № 2(16). С. 114-116.