Қазақстан республикасы білім және ғылым министрлігі қазақ мемлекеттік қыздар педагогикалық
жүктеу/скачать 1.26 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- V ПОСТУЛАТ ЖӘНЕ ОНЫҢ ЭКВИВАЛЕНТТЕРІ
Евклидтің «Негіздері». Евклид (б.э. дейінгі 330-275 жылдар шамасы) - Платон мектебінің тәрбиесін алған ғалым Александрияда математикадан сабақ берген. Оның
«Негіздерінде» геометрияның негізгі арнасы жүйелі түрде баяндалған, бұл еңбектің зор шеберлікпен жазылғандығы сонша, геометрия ғасырлар бойы осы шығарма бойынша оқытылып келген. Евклидтің «Негіздері» 13 кітаптан құралады. кітап. Үшбұрыштар туралы теоремалар, параллель түзулердің теориясы, үшбұрыштар мен көпбұрыштардың тең шамалы болу шарттары, Пифагор теоремасы. кітап. Көпбұрышты оған тең шамалы болатын квадратқа айналдыру. кітап. Шеңбер. кітап. Іштей және сырттай сызылған көпбұрыштар, дұрыс n-бұрышты салу жолдары (n = 5, 6, 10, ал n = 3 жағдай 1- кітапта құрастырылған болатын). кітап. Пропорциялар теориясы. кітап. Көпбұрыштардың ұқсастығы. 7-9-кітаптар. Геометриялық жолмен баяндалған арифметика. 10-кітап. Ортақ өлшемі жоқ шамалар. 11-13-кітаптар. Стереометрияның негіздері баяндалған ал кітап түгелімен дұрыс көпжақтар жөніндегі ілімге арналған. Геометрияның Евклидтің тұсында ғылымдарға мәлім болған бірталай материалы (мысалы, конустық қималар теориясы, жоғары ретті қисық сызықтар) «Негіздерде» айтылмаған. Əрбір кітап сол кітапта кездесетін ұғымдардың бәрінің анықтамаларын келтіруден басталып отырады. Мәселен, 1- кітаптың бас жағында 23 анықтама берілген. Солардың кейбіреулерін келтірейік. Нүкте дегеннің бөлігі жоқ. Сызық дегеніміз ені жоқ ұзындық. Түзу сызық дегеніміз сол сызықтың бойындағы нүктелер бойынша біркелкі орналасқан сызық. Бет дегеннің тек ені мен ұзындығы ғана болады. Жазықтық дегеніміз сонда жататын барлық түзулер бойынша біркелкі орналасқан бет. Анықтамалардан кейін Евклид дәлелдемесіз қабылданатын сөйлемдерді келтіреді, оларды постулаттар және аксиомалар деп екі түрге бөледі. V ПОСТУЛАТ ЖӘНЕ ОНЫҢ ЭКВИВАЛЕНТТЕРІГеометрияның әрі қарай даму тарихы ұзақ уақыт бойы Евклидтің бесінші постулатымен (бұл кейде он бірінші аксиома деп те аталады) тығыз байланысты болды. Бұл постулат Евклидтің алғашқы пікірлерінің жүйесінде ерекше орын алады, оған ерекше назар аударылуы да осыған байланысты. Басқа аксиомаларымен және постулаттармен салыстырғанда оның формасы да, мазмұны да күрделі болды. Басқа постулаттар қарапайым сөйлемдер түрінде және айқын болып келсе, оларды көрнекі түрде дәлелдеу оңай болса, бесінші постулаттың ондай қасиеттері болмайды. Сондықтан бұл сөйлемді постулат ретінде қате орналастырған, оны теорема деп қарап, тиісті дәлелдеуін табу керек деген ой пайда болып, ұзақ уақыт бойы сақталып келді. Евклидтің бесінші постулатын дәлелдеу әрекеті 2000 жылдан астам уақытқа созылды: осы бағыттағы зерттеулер «Негіздермен» бір мезгілде жарық көрді де, тек ғасырдың ортасында ғана аяқталды, ол өте маңызды жаңалықтардың ашылуына келіп тірелді. Евклидтің бесінші постулатын дәлелдеу жөніндегі зерттеу процесі мәселесінде бесінші постулатқа сүйенбей – ақ дұрыстығын анықтауға болатын геометриялық сөйлемдерді, дәлелденуі тікелей немесе жанама түрде осы постулатқа сүйенетін сөйлемдерден бөліп ажыратудың елеулі маңызы болды. Бұл сөйлемдердің біріншісі «абсолюттік», екіншісі «евклидтік» сөйлемдер деп аталды. Бесінші постулатты қатыстырмай – ақ төмендегі теоремалардың дұрыстығын анықтауға болады: үшбұрыштар теңдігінің белгілері, екі қабырғасы тең және олардың арасындағы бұрыштары тең емес екі үшбұрыш туралы, тең бүйірлі үшбұрыштың қасиеттері туралы, үшбұрыштың сыртқы бұрышы (үшбұрыштың сыртқы бұрышы онымен сыбайлас емес ішкі бұрыштардың қай – қайсысынан болса да үлкен болады) жөніндегі бірінші теорема, үшбұрыштың қабырғалары мен бұрыштарының арасындағы қатыстар (тригонометриялық емес), перпендикулярдың және көлбеулердің қасиеттері, параллель түзулердің болуы, кейбір басқа теоремалар. Бұл сөйлемдер «абсолюттік» геометрияның мазмұнын құрайды. «Негіздерде» және мектептік геометрия оқулықтарында түсінік осы сөйлемдерден басталады да, осылардан кейін ғана бесінші постулатқа негізделген «евклидтік» сөйлемдер қарастырылады. Үшбұрыштың сыртқы бұрышы жөніндегі бірінші теорема абсолюттік геометрия ұсынған теоремаларға тән екендігін мектептің геометрия оқулығынан немесе тіпті жақсысы – «Негіздерінде» көруге болады. «Негіздерде» берілген теорема 16 - сөйлемде баяндалып отырған болса, 29 – сөйлемде бесінші посту-лат дәлелдеу үшін қолданылады. Үшбұрыштың екі бұрышының қосындысы 2d-ден кем болатындығы тікелей үшбұрыштың сыртқы бұрышы жөніндегі теоремадан шығады. Шынында да, 2d , бірақ , сондықтан 2d (1 – сурет). Бұдан екі түзу үшінші түзумен қиылысқанда, ол түзулер қиюшының ішкі тұстас бұрыштары мен -нің қосындысы 2d-ға тең немесе одан артық болып келетін жағында қиылыса алмайды, себебі онда екі бұрышының (А мен В-нің) қосындысы 2d-ге тең немесе одан артық болатын АВС үшбұрышы шығар еді (2-сурет).
Үшбұрыштың сыртқы бұрышы жөніндегі осы бірінші теоремадан түзуден тыс жатқан нүктеден сол берілген a түзуіне параллель түзу жүргізуге болатындығы шығады. Ол үшін А нүктесі арқылы қандайда болса бір AN қиюшысын, содан кейін A арқылы AN қиюшысымен a және түзулері тең ішкі айқыш бұрыштар жасайтындай етіп, түзуін жүргізу жеткілікті болады (3-сурет). жүктеу/скачать 1.26 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|