Қазақстан республикасы білім және ғылым министрлігі қазақ мемлекеттік қыздар педагогикалық

үдемелі тізбегін
 ^ , ^ ,..., ^ ,... және жуықтаудың артығымен

1 2 n

алынған кемімелі тізбегін қарастыру
 ^ , ^ ,..., ^ ,... қарастыру

ғана қалды.
1 2 n

Мұнда
 ^     ^ және ^{lim   lim   }
алдыңғы

^{i i} n ⁿ n ⁿ
тараудағы 3-шарт бойынша, S(x) үдемелі фукция екендігі анық. Шынында, (BC) = x, (BB) = h (33- сурет). Сонда
S x  h  ACB^|   ABC   ABB^|   S x  ABB^|  S x.
Ал S  ^  S    S  ^ ,  ^  және  ^  - рационал
n n n n
сандар немесе алдыңғы айтылған бойынша:

n
k  ^  S    k  ^ .

n

n
Ал k  ^ 
n
мен
k  ^ 

тізбектерінің шегі ортақ (ka),

сондықтан S(a) = ka болады.
Сонымен, тік бұрышты ABC үшбұрышының катеттерінің бірі, мысалы АС белгіленген болса, ал екіншісінің ВС-нің ұзындығы х айнымалы болса, онда ABC үшбұрышының ауданы (ABC) = kx болады, мұнда (BC) = 1 болғанда, k = (ABC)
Енді тік бұрышты ABC үшбұрышының екі катеті де өзгеретін болсын. Былай белгілейік:
AC   x, BC   y, ABC   S  x, y
x белгіленгенде алдыңғы айтылған бойынша
S x, y  S₂ x  k _y x, мұндағы k _y  S 1, y. Сондықтан
S x, y  k _y y  S x,1 y  k _{y 1} x  y  S 1, 1 x  y,

және
BCD    CDBD

Сондықтан да
ABC    BDAD CD    BD AC 

33-сурет

34-сурет

Сонымен, кез келген үшбұрыштың ауданы оның қандай да бір қабырғасымен оған сәйкес биіктігінің көбейтіндісіне пропорционал болуы қажет (мұнда пропорционалдық коэффициентінің мәні жоғарыда айтылғандай болады).

Үшбұрыштың ауданы
  a  h_a
саны ғана бола алатындығы

алдыңғы теоремада көрсетілді, мұнда а - оның бір

қабырғасының ұзындығы,
h_a - оған сәйкес биіктігінің

ұзындығы және бұл көбейтінді қандайда бір жүйенің сайланып алынуына байланысты болмайды. Бұл сан шынында аудан ұғымына қойылатын барлық шарттарға 1-3 шарттарға, тең құрастырылған және тең шамалы фигуралар тақырыбына сәйкес екендігін дәлелдеу керек.

1. 
   1-шартты тексеру. 1-шарт тіпті «артығымен» орындалады: кез келген үшбұрышты бірлік үшбұрыш деп және
   

  ¹
аh_a
деп алуға болады.

2. 
   2-шартты тексеру. Берілген анықтама бойынша конг- руентті үшбұрыштардың аудандары тең, өйткені олардың қабырғалары мен сәйкес биіктіктері конгруенттті, ал конгруентті кесінділердің ұзындықтары тең болады.
   

ABC    _e
(1)

Екінші жағынан, жіктелуден шыққан әрбір үшбұрыш (мысалы, DEF үшбұрышы) элементар үшбұрыштарға не трансверсал түрде (AF түзуімен) не иректеліп бөлінеді, демек, жіктелуден шыққан әрбір үшбұрыштың ауданы «а» және «b»

 _r
  _e
(2)

1. 
   және (2) қатыстардан тікелей ABC    _r
   

болатындығы шығады, дәлелдейтініміз осы еді.

3. КӨПБҰРЫШТАРДЫҢ АУДАНЫ. БОЯИ – ГЕРВИН ТЕОРЕМАСЫ

Əрбір жай көпбұрышты үшбұрыштарға жіктеуге болады. Бұл үшін, мысалы, алдымен оны қабырғалары жатқан түзулер көмегімен дөңес көпбұрыштарға жіктеп, сонан соң әрбір дөңес көпбұрышты оның бір төбесінен жүргізілген диагоналы арқылы үшбұрыштарға жіктеу керек.

Кесінділердің көбейтіндісі туралы тақырыптағы 3 - шарт бойынша көпбұрыштың ауданы жіктелуден шыққан үшбұрыштардың аудандарның қосындысына тең болу керек.
Бірақ, алдыңғы айтылған бойынша, үшбұрыштың ауданы бір тәсілмен ғана анықталады. Демек, жай көпбұрыштың ауданының 1-3 шарт жағдайындағы мәні де біреуден артық болмайды. Сонымен, көпбұрыштардың аудандарын өлшеу жүйесінің бірден-бірлігі тағайындалған болады: егер көпбұрыш қалай болса да үшбұрыштарға жіктелу болса, онда тек жіктелуден шыққан үшбұрыштардың ауданының қосындысы ғана бұл көпбұрыштың ауданы бола алады. Көпбұрыштардың аудандарын өлшеу системасын тағайындау үшін, көпбұрыштың ауданын осылайша анықтағанда оның ауданы көпбұрышты үшбұрыштарға жіктеу тәсіліне байланысты болмайды және бұл жағдайларда аудандарды өлшеу системасының анықтамасында келтірілген шарттар орындалатындығын дәлелдеу ғана қалады.
М көпбұрышы үшбұрыштарға әртүрлі екі тәсілмен жіктелген болсын және көпбұрышқа жіктелудің екі торы бірден көшірілген дейік. 39-суретте ABCDEF көпбұрышы берілген, ол

• 
  A төбесінен шыққан барлық диогональдарын жүргізу арқылы және қандай да бір ішкі нүктесінен көпбұрыштың барлық төбесіне сәулелер жүргізу арқылы үшбұрыштарға жіктелген.
  

бұдан   ¹

2

деп алу керек болатындығы шығады.

Конгрентті көпбұрыштардың аудандары тең, өйткені конгруентті екі көпбұрышты қашан да болса сәйкес конгруентті үшбұрыштарға жіктеуге болады.
3-қасиетті тексеру ғана қалды. M көпбұрышы екі (немесе
одан да көп) M ₁ және M ₂ көпбұрыштарына жіктелген дейік.

Сонда M   M₁  M ₂ 
болатынын дәлелдеу керек.

Көпбұрышты үшбұрыштарға еркімізше жіктеуге болатындығын

пайдаланып оның ауданын анықтау үшін
M ₁ және M ₂

көпбұрыштарын жеке-жеке жіктейік. Сонда 3-қасиеттің дұрыстығы анық болады. көпбұрыштардың аудандарын өлшеу жүйесінің бар болуы дәлелденді.
Қорыта келгенде, кесінділер мен бұрыштарға қарағанда көпбұрыштардың тең шамалылығынан жалпы олардың конгруенттігі шықпайды. Сондықтан, көпбұрыштар кейде екінші шекті шамалар деп аталады. Бұл шамалардың «күтпеген» бір қасиеті Бояи-Гервин теоремасы тақырыбында тағайындалады.

жүктеу/скачать 1.26 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: