§µ § ЁCµ § проекциясы µ §-“а ѓСi>ѓСj, сонды›тан µ §µ §

µ §µ § ЁCµ § проекциясы µ §-“а ѓСi>ѓСj, сонды›тан µ §µ §.

Понтрягин максимум принципі бойынша тиімді бас›аруды табу Щдістемесі.

1. НысанныЈ теЈдеуін 1 ретті жЇйедегі теЈдеулер тЇрінде жазайы›.

µ §; µ §. (1)

М±нда функционал Їшін теЈдеуді ±мытпай керек:

µ §; (2)

2. Гамильтон-Понтрягин функциясын ›±райы›

µ §; (3)

ПОШК 042ЁC14.01.20.ХХ/02-2008

124 беттiЈ 32-сi3. Н функциясын максималдайтын U векторыныЈ мЩнін аны›тайы›.

µ §

µ §; (4)

µ §; µ §. (5)

ѓйi(t) функциясы ар›ылы ізденілетін тиімді бас›ару кйрсетіледі.

Понтрягин максимум принципініЈ ерекшілігі болып табылады: I функциясыныЈ экстремумын жеткізетін U(t) векторыныЈ функциясын табатын вариациялы› есеп, H(U) ›осымша функция“а максимумды жеткізетін U параметрін табу жеЈіл есеппен ауыстырыл“ан.

µ §.

Мысал: НысанныЈ жылдам ›имылыныныЈ тиімділігі туралы Понтрягин максимум принципініЈ кймегімен есепті шы“ару, жЩне теЈдеуді ›ана“аттандыратын U(t) бас›ару ЩсерініЈ тиімді процестерін жЩне µ § жылдамды“ын табу керек.:

Функционал“а минимумды жеткізетін

µ §, (7)

бас›ару модулі „T1 болатын шартта

µ §, (7*)

Келесі белгілеулерді енгізіп, нысанды сипаттайтын 1 ретті теЈдеулер жЇйесін ›±райы›

µ § (8)

µ § (9)

µ §. (10)

Функционал“а арнал“ан дифференциалды› теЈдеу мына тЇрде болады

µ §. (11)

(11) ді (9)“а ›осса›, нЩтижесінде нысанныЈ толы› теЈдеулер жЇйесін аламыз.

µ § (12)

ПОШК 042ЁC14.01.20.ХХ/02-2008

124 беттiЈ 33-сi

µ §. (13)

(13) йрнегінде тек соЈ“ы жіктеулер U-“а байланысты, сонды›тан максимум Н мЩнін ›амтамассыз етуге болады, осы жіктеудіЈ максимумын алып:

µ §. (14)

U(t) мЩні максималдан“ан йрнек (14) шекаралардан алу керек.

U=+1; немесе U=-1;

µ § бол“анда U=+1 алу керек, ол µ § „_ U=-1. Б±л бас›ару заЈын sign функциясы ар›ылы жазу“а болады

µ §,

µ § (15)

µ §. (18)

(18) йрнегі, (с2-с1t) функциясы жЩне (17) жЇйесініЈ соЈ“ы йрнектері бір рет “ана белгісін ауыстыра алады, сонды›тан (18) тЇріндегі тиімді бас›ару +1 жЩне ЁC1 шекті мЩндерін ›абылдай алатын бйлшек ЁC т±ра›ты функциясын ±сынады.

Сонда бізде 2 интервал болады. Б±л n интервалдар туралы Фельдбаум теоремасына сЩйкес.

124 беттiЈ 34-сiљарастырыл“ан мысал негізінде бай›ау“а алу“а болады: егер U-“а бас›аруына арнал“ан функционал болмаса, функция жЩне Н-“а арнал“ан йрнекке ›оспау“а болады, ййткені б±л жа“дайда ѓй0f0 Н функциясына максималдайды.

Минималді уа›ыт ішінде А жЩне В нысандырыныЈ кЇйі мен жылдамды“ы кеЈістікте тЇйісетіндей U(t) йзгеретіндей есеп берілген. Координат йзгерістері уа›ыт функциясында, хА жЩне хВ болып 1 суретте кйрсетілген.

А нысаны бірйлшемді жЩне бірсызы›ты ›оз“алыс жасайды

µ §µ §, (1)

онда“ы хА ЁCА нысаныныЈ координаттары;

а, b ЁC т±ра›ты коэффициенттер;

t ЁC уа›ыт.

Осы жазы›ты›та А нысанынан кейін В нысаны ›оз“алады, йзгеріс Їшін осындай тЇрдегі теЈдеу жауапты.

µ §, (2)

µ §, (3)

(4) йрнегін хВ координатасын, ал (1) хА ЁCны (2) теЈдеуіне ›ойяы›

µ §. (5)

(5) теЈдеуіне бастап›ы шарттарды Щйгілі нысан ›о“алысы заЈын ›олданып (4) байланыс теЈдеуінен табамыз, В нысан ›о“алысы Їшін нолдік бастап›ы шарттарды есептей отырып.

µ § (6)

Егер енді айнымалылар“а фазалы› жазы›ты›ты енгізіп, белгілесек

124 беттiЈ 35-сiендеше В нысаныныЈ ›оз“алыс бас›ару есебін бастап›ы жа“дайдан х1=-а; х2=-b координаталардыЈ басына дейін нЇктені тез фазалы› жазы›ты››а ауысу есебіне т±жырымдау“а болады.

Біз Понтрягин максимум принципін ›олданып есепті шы“ару“а келдік. Есеп т±жырымы ЁC (2) теЈдеуін ›ана“аттандыратын жЩне интеграл“а минимумды жеткізетін U(t) жЩне x(t) тиімді процестерді табу

µ §, (7)

µ §.

µ §.
ДЩріс 7

Та›ырыбы: Тез Щрекеттігінен тиімді т±йы›тал“ан жЩне т±йы›талма“ан автоматикалы› жЇйелер Їшін Понтрягин максимум принцип тЩсілін практикада ›олдану.

С±ра›тар:

1 Тез Щрекеттігінен тиімді т±йы›талма“ан автоматикалы› жЇйе.

2 Тез Щрекеттігінен тиімді т±йы›тал“ан АБЖ

БН дифференциалды› теЈдеу тЇрінде сипатталсын:

µ §, (1)

онда“ы х(t) ЁC реттелетін кйлем;

К0 ЁC беріліс коэффициент;

Еркін бастап›ы кЇйінен x(t1)„j0, соЈ“ы теЈ салма›ты кЇйіне x(tK)=0 йткендегі жЇйені максимальді тезЩрекетті ›амтамассыз ететін U(t) табу керек. Бас›ару Щсеріне шектеу ›ойыл“ан: µ §, ол екінші туынды шектеуіне эквивалентті болады

µ §, (2)

µ §.

124 беттiЈ 36-сi (1) тЇріндегі бас›ару механикалы› нысандардыЈ кеЈ класына сЩйкес, ішінде Їлкен массалардыЈ Їйкемсіз ›оз“алыс процесстері жЇреді. М±ндай нысан орын ауыстыру координаттарына x(t) сызы›ты› немесе б±рышты› орын ауыстыру келеді. Бас›ару Щсері U(t) болып (µ §) жетегімен ›±рыл“ан кЇш немесе мезет болады, кедергісі есепке алынады.

Шешімі:

Белгілеуді енгізейік:

µ §;

Нысан бас›аруды былай жазу“а болады

Гамельтон-Понтрягин функциясын ›±райы›:

µ §; (4)

µ §; (5)

µ §

µ §

µ §, (6)

Шешімін табу Їшін ›осымша функциялар ѓйI іздейік

µ § (7*)

ПОШК 042ЁC14.01.20.ХХ/02-2008

124 беттiЈ 37-сi

µ § (8)

љосымша функцияларды кйрсетейік. Бас›ару Щсері U(t):

(с2-с1t) тЇріндегі функция бір рет “ана белгісін ауыстыра алады, сонды›тан тиімді бас›ару болып бйлшек ›±ратын функция тЇрі

µ § (10)
ЖЇйеде болып жат›ан геометриялы› процестерді т±ра›тандыру Їшін

Бастап›ы шарттар:

µ §

µ § - ›айта ›осу мезеті.

ТезЩрекеттігінен тиімді т±йы›талма“ан жЇйе синтезделеді.

2 ТезЩрекеттігінен тиімді т±йы›тал“ан АБЖ

М±нда бас›а бас›ару заЈы, уа›ыт функциясында емес, фазалы› координат функциясында: U(x) (U(t) емес). Бас›ару Щсері х-тен функция болу Їшін U(t) йрнегінен уа›ытты алу керек.

µ §;

µ §;

µ §; (13)

124 беттiЈ 38-сi

µ §; (14)

µ §; (15)

µ §; (16)

КоординаттардыЈ басынан йтетін параболла тараулары т±йы›тал“ан жЇйе функциясында маЈызды рольді алады. АВ сызы›тары ЁC ауыстыр“ыш сызы›тары. Осылайша т±йы›тал“ан жЇйеде тезЩрекеттілігінен тиімді бейнелеген нЇктеніЈ ›оз“алысы фазалы› траекториялар бойынша орындалады.

Фазалы› координаттарына шектеу ›ойылмайтынымен сипатталатын бейнеленген нЇктелердіЈ ›о“алыс ауыспалы процестерін ›арастырайы›..

Егер х2-ге шектеу ›ойса›

ПОШК 042ЁC14.01.20.ХХ/02-2008

124 беттiЈ 39-сiУа›ытша сипаттамалар

Та›ырыбы: Динамикалы› ба“дарламау Щдісі(ДБШ)

С±ра›тар:

1 Динамикалы› ба“дарламау Щдісі туралы орта› мЩліметтер.

2 ®зіліссіз жЇйелерге арнал“ан бас›ару есептерін ДБШ негізінде шы“ару.

3 Дискретті бас›ару жЇйелеріне арнал“ан ДБШ.

4 ДБШ кемшіліктері.
1 Динамикалы› ба“дарламау Щдісі туралы орта› мЩліметтер

Динамикалы› ба“дарламау Щдісі америкалы› математик Беллман жЩне оныЈ мектебімен жасал“ан. ДБШ вариациялы› есептерді санды› есептегіш машиналарды ›олдануымен шы“ару процестерінде дамы“ан. Динамикалы› ба“дарламау есептерініЈ ›ойылымы Понтрягин максимум принципі сия›ты. ДБШ Беллман тиімділік принципінде ›±рыл“ан «кез келген тиімді траекторияныЈ кесіндісі тиімді траектория болып келеді», процестіЈ болаша› тЩртібі оныЈ б±рын“ы тарихынан тЩуелсіз, бас›аша айт›анда жЇйеніЈ болаша› тЩртібі ›азіргі уа›ыт мезетіндегі нысанныЈ кЇйімен аны›талады.

ѓд аралы› нЇктені алайы›. Беллман тиімділік принципіне сЩйкес біз µ §-ден µ §-“а дейінгі (2) екінші бйлікті аламыз, ол тиімді траектория болып келеді..

Осылайша Беллман тиімділік принципіне сЩйкес екінші траектория болады.

µ §;

µ §;

µ §. (2)

124 беттiЈ 40-сiбас›ару тЇріне тЩуелді. (2) интегралыныЈ минимум мЩнін беретін µ § бар деп ойлап, (2) тЇріндегі интегралды 2 интеграл“а бйлейік.

µ §. (3)

Беллман тиімділік принципіне сЩйкес егер µ § бас›аруы µ § минимум интеграл берсе, ендеше осы бас›ару µ § минимум интеграл жеткізеді, сонды›тан (3) йрнегін есептей отырып, жазайы›

µ §, (4)

онда“ы µ § б±л функция µ § бастап›ы кЇйінен ѓд уа›ыт мезетіне теЈ, ендеше ѓд кішкентай шама деп есептейміз. ѓд уа›ыт кез келген траектория нЇктесінде алу“а болады.

µ §, (5)
ПОШК 042ЁC14.01.20.ХХ/02-2008
____________ № 1 басылым

124 беттiЈ 41-сi

µ §,

µ §
µ §

µ § ролін µ § ойнайды. (6) есептей (4) йрнегінен жазамыз.

µ §; (7)

µ §; (8)

µ §. (9)

ПОШК 042ЁC14.01.20.ХХ/02-2008
____________ № 1 басылым

124 беттiЈ 42-сi

(8) жЩне (9) йрнектірінде µ § жЩне µ § жЇреді. Беллман тиімділік принципіне сЩйкес б±л векторларды µ §, µ § ауыстыру“а болады жеке туындыларда.

µ § (10)

µ §; (11)

µ § Їшін алын“ан йрнекті бірінші теЈдеуге ›ойса›, Беллман теЈдеуін аламыз.

µ §. (12)

Алын“ан (12) тЇріндегі теЈдеуді динамикалы› ба“дарламау Щдісімен шы“арыл“ан тиімді есептерге ›олдану“а болады.
Мысал:

Тиімділік критерийсіне арнал“ан Беллман теЈдеуін ›±растырайы›

µ § (1)

ѓд минимальді уа›ыт кезінде t=0 бол“анда жЇйені х1=0, х2=х2n кЇйінен х1=0, х2=0 кЇйіне ауыстыратын тиімді бас›арудыЈ алгоритмін табу ›ажет.Мына шектеулер бол“анда

Шешімі:

µ §, (3)

ПОШК 042ЁC14.01.20.ХХ/02-2008

124 беттiЈ 43-сiµ §. (4)

Беллман теЈдеулер жЇйесін жазайы›.

µ §; (5)

Функционал тЇрін белгілейік

µ § (7)

ЖаЈа координатаны есептеп, (1) теЈдеулер жЇйесін келесі тЇрде жазайы›:

(8), (9) жЩне (10) теЈдеулер жЇйесін есептесек, Беллман теЈдеуі мына тЇрде болады

µ § (11,12)

U скаляр бойынша (11) теЈдеуініЈ жеке туындысын ал“ан соЈ, (12) йрнегі шы›ты, (12) йрнегінен U бас›аруын білдіруге болады.

µ §. (13)

U тиімді бас›ару Їшін шы››ан (13) йрнегі (8) жЇйесініЈ бірінші йрнегіне ›ойылады.

µ §. (14)

Динамикалы› ба“дарламау ЩдісініЈ ›иынды“ы ЁC жеке туындыларды іздеу. Б±л ›иынды›ты болдырмау Їшін, бірнеше тЩсілдер ›олданылады. (14) теЈдеуініЈ шешімін орта› тЇрде жазу“а болады.

µ §. (15)

х1, х2, х3 бойынша (15) жеке туындыларын іздейік.

µ §; (16)

µ §; (17)

ПОШК 042ЁC14.01.20.ХХ/02-2008
____________ № 1 басылым

124 беттiЈ 44-сi µ §; (18)

Шы››ан жеке туындыларды (14) ›оямыз

µ §; (19)

(19) йрнегінен a1, а2, а3 аны›тайы›

µ §; (20)

а3=1 коэффициентімен берейік

µ §; µ § (21)

Табыл“ан жеке туындылардыЈ мЩндерін (13) ›ойса›, келесі тиімді бас›арудыЈ алгоритмін аламыз

µ §. (22)

онда“ы с1 жЩне с2 коэффициенттері келесі тЇрде болады:

µ §; µ §.

Дискретті формада Беллман теЈдеуін алу Їшін нысан ›оз“алысын келесі тЇрде жазайы›:

µ § (1)

онда“ы x(t)ЁC n йлшемді вектор кЇйі

µ § (2)

µ §- T соЈ“ы уа›ыт мезетінде жЇйеніЈ кЇйін сипаттайтын функция

Беллман теЈдеуін дискретті тЇрде жазу Їшін Т ЁCны N интервалдар“а бйлейікµ §

(1) тЇріндегі дифференциалды теЈдеудіЈ N соЈ“ы айнымалары тЇрінде жазайы›.

µ § (3)

Шы››ан (3) йрнегін бас›а тЇрде кйрсетуге болады.

µ § (4)
ПОШК 042ЁC14.01.20.ХХ/02-2008

124 беттiЈ 45-сiонда“ы µ § (4*)

2 тЇріндегі функционалды дискретті формада кйрсетейік:

µ § (5)

µ § (6)

µ § (6*)

µ § (6**)

СоЈ“ы бйлшектегі функционал N-1 бйлшегіндегі вектор кЇй функциясы сия›ты

IN-1 функционалы N-1 ›адамында“ы жЇйе кЇйіне жЩне соЈ“ы ›адамда“ы U бас›аруына тЩуелді.

µ § функционалына min беретіндей, IN-1 бас›аруын таЈдайы›

µ §

µ § (7)

I*N-1 функционалына min жеткізеді

СоЈ“ы ›адамныЈ алдында“ы ›адам“а кйшейік, соЈ“ы жЩне соЈ“ыныЈ алдыЈда“ы ›адамдардыЈ ›осылмасын айырайы›.

µ §(8)

µ §

µ § тиімді бас›ару min IN-2 жеткізу керек

µ § (9)

I*N-2 min мЩнін жЩне U*N-2 тиімді бас›аруын зердеде са›тап, ал I*N-1 мЩнін машинанын зердесінен жою“а болады.

µ § (10)
ПОШК 042ЁC14.01.20.ХХ/02-2008

124 беттiЈ 46-сiU*N-3 тиімді бас›аруды таЈдау жолымен IN-3 минирлейік

µ §

Келесі йрнекті аламыз:

µ § (12)
Беллман теЈдеуініЈ рекурренті формуласы дискретті формада кйрсетілген.

Рекуррентті динамикалы› процесстерді жал“астырса›, есептеулерді бастап›ы нЇктеге µ § дейін жеткізе аламыз, нЩтижесінде динамикалы› жЇйеніЈ тиімді траектория ›оз“алысын жЩне тиімді бас›аруды аламыз.

Сонды›тан осы Щдіс ДБШ атауын ал“ан.

ДБШ кемшіліктері дискретті формада кйрсетілген: «›ар“ыс йлшемділігі»

«љар“ыс йлшемдіктері» ЁC динамикалы› жЇйелердіЈ йлшемділіктерініЈ артуымен геометриялы› прогресс бойынша есетеулердіЈ ›иынды›тары йседі.

Тиімді бас›арудыЈ синтез есептерін шы“ар“ан“а, аса жо“ары емес ретті (5-10) жЇйелері Їшін де, зердесі Їлкен ЭЕМ ›ажет.

Б±л ›атынаста Їзіліссіз жЇйеге арнал“ан ДБШ-ніЈ Їлкен арты›шылы“ы бар.

Та›ырыбы: Тиімді реттегіштердіЈ аналитикалы› ›±рылымы (ТРАљ)

С±ра›тар:

1 ТРАљ есепке ›ою.

2 Динамикалы› ба“дарламау Щдісімен тиімді реттегіштердіЈ аналитикалы› ›±рылымы.
1 ТРАљ есепке ›ою

ТРАљ Ресейде ал“аш рет профессор Летовпен жасал“ан: Профессор ЛетовтыЈ жетістігі болып тиімді бас›арудыЈ синтез процесін аналитикалы› формада кйрсетілген математикалы› негізде ›оюы болып табылады. Б±л Їшін профессор Летов йз Щдісінде дЩлелдеп тиімділік критерисін таЈда“ан жЩне бас›ару нысан математикалы› моделі жЩне таЈдал“ан тиімділік критерисі негізінде тиімді бас›ару алгоритміне немесе тиімді реттегішке йрнекті тап›ан. Осы уа›ытта профессор Летовпен бірге америкалы› математик Калманмен ТРАљ-на ±›сас Щдісі жасал“ан. Ол кеЈістік кЇй Щдісі деп аталып, ›азіргі бас›ару теориясыныЈ негізгі болып саналды. Калман жетістігі детерминирленген динамикалы› жЇйелерге (кездейсо› йткел процесімен) тиімді бас›ару алгоритм синтез Щдісін жасау“а болады.

µ § (1)

онда“ы µ § ЁC бас›ару нысаныныЈ коэффициеттер матрицасы, коэффициеттер уа›ыт›а тЩуелді

Б±л матрицаныЈ коэффициенттері уа›ыт›а тЩуелді.

µ §-n-йлшемді вектор кЇйі

ПОШК 042ЁC14.01.20.ХХ/02-2008

124 беттiЈ 47-сiµ §-m-йлшемді бас›ару векторы

µ § (2)

µ §-p-йлшемді шы“у векторы

ТРАљ есеп ›ойылымында тиімділік критерий таЈдауы немесе сапа функционал таЈдауы маЈызды орынды алады.

Орта› жа“дайларда дЩлелденген тиімділік критерий таЈдауы Їшін ›ала“ан шы“у координат векторы таЈдалады.

µ §, ТРАљ міндеті шы“у векторыныЈ а“ым мЩні ›ала“ан“ан мЩнге жа›ын болуы.

µ § (3)

Біз ›алаймыз µ §, µ § µ §

µ § (4)

ЖіктеулердіЈ физикалы› ма“ынасы:

1-ші жіктеу жиындал“ан ›атені жЩне осы жіктеудегі Q(t) матрицасын кйрсетеді, б±л µ § квадрат формасында“ы матрицасы. Б±л матрицаныЈ салма›ты› коэффициеттері соЈ“ы ›орытындысында бірінші жіктеу минимальді мЩнге ие болатындай есептеулер таЈдалады.

1-ші жіктеу жЇйеніЈ на›ты ж±мысын сипаттайды.

2-ші жіктеу ЁC квадратты› форма. Физикалы› жа“ынан бас›ару энергиясыныЈ есептеулерін сипаттайды. Б±л жіктеу жЇйеніЈ тезЩрекеттігін сипаттайды. Не“±рлым бас›ару“а есептеулер кйп болса, со“±рлым жЇйе тезЩрекетті болады. Бас›ару“а энергия есептеулері мен алын“ан тезЩрекеттіктен компромисс таЈдаса›.

µ §µ §

µ §

НысанныЈ шы“у координаттарын то›тату бас›ару ма›саты болып табылалы.

µ §

Егер шы“у координаттарыныЈ бастап›ы ауыт›уы 0-ден Їлкен болса, ендеше бас›ару ›±рыл“ысы шы“у координаттарын басында нольге жа›ындату керек, содан кейін бас›ару“а кйп энергия ±стамай нольдіЈ ›асында ±стау керек.

®шінші жа“дайды ›арастырайы›

ПОШК 042ЁC14.01.20.ХХ/02-2008
____________ № 1 басылым

124 беттiЈ 48-сiТРАљ есептерін шы“ару Їшінші жа“дайы шы“у векторын жЩне оныЈ компоненттерін нольдіЈ ›асында ±стау есептерімен байланысты емес, вектор кЇй компоненттерімен байланысты.

µ §

Тиімділік критерисі келесі тЇрде болады

Б±л жа“дайда тиімді бас›ару тЇр критерисін минизирлеу керек, сЩйкесінше есепті кЇй реттегіші туралы есеп деп атайды.

Тйртінші жа“дай.

Барлы› Їш жа“дайда A(t), B(t),Q(t),R(t) матрицалары уа›ыт›а тЩуелді болып келеді.

µ § (7)

µ § (8)

Онда“ы М=0

U(t) бас›ару векторына еш›андай шек ›ойылма“ан

µ § (9)

Тйртінші жа“дайдыЈ есебінде асимптотикалы› орны›тылы› шарты жЩне (8) тЇріндегі критеридіЈ мЩні min-ге жететіндей µ § бас›ару векторы ізделінеді.

Практикада ›арастырыл“ан 4 жа“дайдан бас›а бас›ару Щсері шектелген жЩне сызы›ты емес нысандардыЈ тиімділігі туралы есептер кездеседі.

Б±л жа“дайда ТРАљ есептерін шы“ару Понтрягин принципі негізінде орындалады, б±л принцип осы“ан ±›сас есептерді шы“ару“а арнал“ан немесе сызы›ты емес нысанныЈ тиімділік есептеріне, бас›ару Щсері шектелген жЩне фазалы› координаттар.

Берілген есепті шы“ару Їшін (1), (2) йрнектерімен шарттал“ан жЩне (6) тЇріндегі тиімді критерилі орта› жа“дайды ›арастырайы›.

Б±л орта› жа“дайдан бас›а жеЈіл жа“дай алу“а болады, ййткені ТРАљ ДБШ мен шы“арылады, ендеше ДБШ теориясын ›олданайы›, ол Їшін Беллман теЈдеуін алу“а болатын йрнек жазамыз.

µ § (10)

Беллман теЈдеуі (6), (1) жЩне (2) йрнектеріне ›олданылады, келесі тЇрде жазайы›.

ПОШК 042ЁC14.01.20.ХХ/02-2008
____________ № 1 басылым

124 беттiЈ 49-сiµ §(11)

(11) негізіндегі тиімді бас›аруды іздеу техникасы Їзілліссіз жЇйеге арнал“ан динамикалы› ба“дарламау Щдісінде ›арастырыл“ан Беллман теЈдеуі сия›ты сол формада са›талады.

Бас›ару Щсері еш›андай шек ›ойылма“анды›тан, тиімді бас›аруды (11) фигуралы› жа›шасынан U(t) туынды алу негізінде іздейміз, алын“ан нЩтижені 0-ге теЈестіреміз.

µ § (12)

R(t) матрицасы оЈ аны›тал“ан бол“анды›тан, кері матрицасы болады

µ § т.к. µ §

(12) йрнегінен U(t) бас›ару ЩсерініЈ векторын іздейік, нЩтижесінде:

µ § (13)

Алын“ан тиімді бас›ару“а арнал“ан (13) йрнегінде жеке туынды µ § кйрсетілген.

s квадратты формада, оЈ аны›тал“ан болу керек. µ § µ § (14)

Онда“ы Р матрицасы ЁC симметриялы›, оЈ аны›тал“ан, ол бізге Щлі белгісіз.

P(t) матрицасыныЈ йлшемі µ § келеді.

(12)-ні (11)-ге ›ойса›, Гамильтона-Якоби тЇріндегі теЈдеу шы“ады

µ § (15)

(14) функциясы (15)-ті теЈбе ЁC теЈдікке айналдыратын P(t) матрицасын табу“а болса.

µ § (16)

µ § (17)
(14)-ті (15) ›ойып жЩне аргументті ны“айтса›, келесі йрнекті аламыз

µ § (18)

Келесі тЇрлендіру Їшін (18) йрнегіндегі жіктеулерді 2 тЇрлі жіктеуде кйрсеті керек, біра› µ § коэффициетімен.

µ § (19)

(18) йрнегінде, (19) йрнегіндегі келесі жіктеулерді ауыстырайы› нЩтижесінде.

µ § (20)

µ § жа›шада“ы йрнек 0-ге теЈ. Алын“ан йрнек Риккати тЇрінде:

µ § (21)

ПОШК 042ЁC14.01.20.ХХ/02-2008

124 беттiЈ 50-сiЖасал“ан синтез нЩтижесінде Риккати тЇріндегі (21) сызы›ты емес теЈдеу аламыз. Алын“ан теЈдеу шы“ар“анда йте кЇрделі теЈдеу, біра› б±л сызы›ты емес Риккати теЈдеуін бірнеше тЩсілдермен шы“ару“а болады.

µ §матрицасын соЈ“ы мЩнімен беріледі.

°станым бойынша ізденіліс матрица P(t) симметриялы› жЩне оЈ аны›тауыш болады, матрица М сия›ты б±л матрицаныЈ сондай ›±рылымы болу керек.

µ §

P(t) матрицасын тап›анна соЈ, µ § тиімді бас›ару Їшін йрнек.

µ § (22)

Егер кЇй теЈдеуі йзімен бірге стационарлы матрица А жЩне В теЈдеулерін жЩне стационарлы матрицалар Q жЩне R берсе, онда P(t)=0 матрица жЩне сонды›тан