БАҒдарламасы шымкент, 2011 ж. Қабылдау емтиханның бағдарламасы 6N060100-«Математика»

М.Әуезов атындағы Оңтүстік Қазақстан мемлекеттік университеті

«Математикалық тәсілдер және модельдеу» кафедрасы

«Бекітемін» ҒЖ ж/е ХБ жөніндегі проректор _________________ Бахов Ж.К. « » ______________ 2011ж.

мамандығының докторантураға қабылдау емтиханның

Шымкент, 2011 ж.

Қабылдау емтиханның бағдарламасы 6N060100-«Математика» мамандығының «Математиканың қазіргі заманғы мәселелері», «Көпбейнелердегі математикалық талдау және стохастикалық талдау», «Дифференциалдық теңдеулер, математикалық физика және оларды шешудің сандық әдістері», «Алгебраның және басқару теориясының қазіргі заманғы мәселелері» пәндерінің типтік бағдарламалары негізінде құрылыған.

Қабылдау емтиханның бағдарламасы «Математикалық тәсілдер және модельдеу» кафедрасының мәжілісінде талқыланған

Қабылдау емтиханның бағдарламасы «Ақпараттық технологиялар, телекоммуникация және автоматтандырылған жүйелер» факультетінің әдістемелік комиссиясымен мақұлданған « » 2011ж. № хаттамасы

Төрағасы _______________________Бердалиева Г.А.

Қабылдау емтиханның бағдарламасы Жоғары оқу орнынан кейінгі білім беру орталығымен келісілген
ЖООКББО бастығы ________________________Ж.Д.Изтаев

Кіріспе
Докторантурада 6D060100 – Математика мамандығы бойынша философия докторын (PhD) дайындау жүзеге асырылады.

6D060100 – Математика мамандығы бойынша докторантураның білім беру бағдарламасын игеруге ұсыныс білдіруші тұлғалардың білім деңгейі - 6N060100 – «Математика» мамандығы бойынша магистратура.

Философия докторын (PhD) дайындау бағдарламасы ғылыми-педагогикалық бағдарға жүріп, фундаментальды білім беру, методологиялық және ізерттеушілік дайындықтарды жүргізіп, жоғары және жоғары оқу орнынан кейінгі жүйелер мен ғылыми-зерттеу секторы үшін сәйкес ғылыми бағыттар бойынша пәндерді терең игеруді қалыптастырады.

Докторантураның білім беру бағдарламасын игерген тұлғаларға «6D060100 – Математика мамандығы бойынша философия докторы (PhD)» академиялық дәрежесі беріледі.

Докторантураның білім беру бағдарламасын игерген тұлғалардың білім деңгейіне қойылатын талаптар:

- докторантура түлегі ғылыми фундаментальды немесе мамандандырылған дайындыққа ие болуы қажет;

- қазіргі заманғы ақпараттық технологияларды, соның ішіндегі ғылыми ақпаратты алу, өңдеу және сақтау әдістерін игеруі қажет;

- заманауи ғылыми және практикалық мәселелерді қоя білуі және шеше алуы қажет, таңдап алған бағыты бойынша ғылыми-зерттеу эксперименттік-зерттеу жұмысын ұйымдастыра алу және жүргізе алуы қажет;

- зерттеу және басқару жұмыстарын сәтті іске асыра алуы қажет.

Докторлық диссертацияны қорғаған докторантқа «6D060100 – Математика мамандығы бойынша философия докторы (PhD)» жоғары академиялық дәрежесі беріледі.

Докторантураның білім беру бағдарламасын толық игерген және докторлық диссертацияны сәтті қоғаған тұлғаларға сәйкес дәреже туралы мемлекеттік үлгідегі диплом және транскрипт беріледі.

6D060100 – Математика мамандығының кәсіби сфералары:

- математика мәселелері бойынша ғылыми-зерттеу институттары;

- математиканың басқа да ғылыми орталықтарының ғылыми-зерттеу лабораториялары;

- жоғары оқу орындары.

1. Пәндердін атауы және олардың негізі бөлімдері
1.1. Математиканың қазіргі заманғы мәселелері

Аралас және аралас-құрама типтегі теңдеулер. Дербес туындылы теңдеулер үшін локальды емес бастапқы және шеттік есептер. Көпбейнелер тілі және сыртқы дифференциалдық түрлер. Интегралдау мәселесі. Кездейсоқ процесстер теориясының негіздері. Математикалық физиканың сызықты емес есептерін шешудің итерациялывқ және варияциялық әдістері. Негізгі алгебралық құрылымдар: топтар, сақиналар және өрістер. Жай дифференциалдық және дербес туындылы теңдеулермен сипатталатын процесстерді тиімді басқару..

Көпбейнелер тілі және сыртқы дифференциалдық қалыптар. Интегралдау мәселесі. Стокстың жалпы теоремасы және оның физика мен техниканың әр түрлі бөлімдерінде, көпбейнелік теорияда және интегралдау теорияларындағы маңызды қолданулары. Кездейсоқ процесстердің маңызды класстары. Кездейсоқ талдау элементтері. Стационар процесстердің корреляциялық теориясы. Стохастикалық эквивалентті процесстер. Колмогоров критериі. Итоның стохастикалық интегралы. Винер үдерісі квадраты интегралданатын мартингалретінде.

Коши жалпы есебі мен кез-келген ретті сызықты дифференциалдық теңдеулер үшін ажыратылмаған шеттік есептер. Грин функциясы. Кез-келген ретті сызықты дифференциалдық теңдеуле үшін бастапқы және шекаралық есептердің шешімдерін бейнелеу. Аралас және аралас құрамды түрлес теңдеулер. Аралас және аралас-құрамды түрдегі теңдеулер үшін бастапқы және шеттік есептерін шешу әдістері.Эллипстік, параболалық және гиперболалық теңдеулер теориясынан кейбір мәліметтер. Дербес туындылы ткеңдеулер үшін локальды емес және шеттік есептер. Жүктелген интегралдық және дифференциалдық теңдеулер және оларды шешу әдістері. Математикалық физиканың сызықты есептерін шешудің жуықтау және сандық әдістері. Математикалық физиканың сызықты емес есептерін шешудің жуықтау және сандық әдістері. Математикалық физиканың сызықты емес есептерін шешудің итерациялық және вариациялық әдістері. Гидродинамика есептерін шешудің сандық әдістері. Навье-Стокс теңдеулерін шешудің варияциялық-айырымдылық және Монте-Карло әдістері. Ақырлы элементтер әдісі.

Негізгі алгебралық құрылымдар: сақиан, идеал, радикал және нильрадикал. Идеалдың аннуляторы. Керіленетін элементтер. Нөлдің бөлгіштері және нильпотенттер. Джекобсон радикалы. Бүтін сақиналар. Сақина теориясы бойынша қазіргі заманғы жұмыстарға шолу. Өрістер. Өрістің сипаттамасы. Өрістердің алгебралық кеңейтілуі. Көпмүшеліктерді жіктеу өрісі. Ақырлы өрістердің құрылымы. Өрістің примитивті элементтері. Ақырлы өрістердің автоморфизмдері. Ақырлы өрістердегі есептеулер. Өрістерді зерттеудегі қазіргі заманғы жетістіктері. Идеалдың Гребнер базисі. Идеалдың Гребнер базисін табуға арналған Бухбергер алгоритмі және оның өзгертілген түрлері. Полиномиалдық жүйелерді Mapple, Mathematica және басқа компьютерлік пакеттері көмегімен шешу. Алгебралық алгоритмика саласындағы Қазақстан математиктерінің жетістіктері. Банах кеңістігіндегі Вейерштрасс теоремасы. Лионстың вариациялық теңсіздігі. Функционалдық кеңістіктердегі минимумдау әдістері. Кәдімгі дифференциалдық теңдеулермен және дербес туындылы дифференциалдық теңдеулермен сипатталатын процесстерді тиімді басқару.

1. 
   Бір-біріне енген кесінділер қағидасы.
   
2. 
   Монотонды тізбектер. Шектің бар болуы туралы теорема. Монотонды тізбектің шегі ретіндегі e саны.
   
3. 
   Маңай және тізбек терминдеріндегі функция шегінің анықтамаларының эквиваленттілігі. Екі тамаша шектер.
   
4. 
   Бір айнымалы функцияның нүктедегі үзіліссіздігі, үзіліс нүктелері және олардың классификациясы. Кесіндіде үзіліссіз функцияның шенелгенділігінің қасиеттері.
   
5. 
   Функцияның кесіндідегі бірқалыпты үзіліссіздігі. Кантор теоремасы.
   
6. 
   Бір айнымалы функцияның дифференциалдануы. Туынды. Жалғыздығы.
   
7. 
   Ролль, Лагранж және Коши теоремалары.
   
8. 
   Шектік көшулер кезіндегі Лопиталь ережесі.
   
9. 
   Үзіліс нүктелер жиыны терминіндегі функцияның Риман бойынша интегралдану критерийі. Интегралданатын функциялар кластары.
   
10. 
    Алғашқы функциялар. Әрбір үзіліссіз функцияның алғашқы функцияларының бар болуы туралы теорема. Ньютон-Лейбниц формуласы.
    
11. 
    Жоғары шегі айнымалы болатын анықталған интеграл. Үзіліссіздік. Дифференциалдану.
    
12. 
    Тейлор формуласы. Функцияның дәрежелік қатарға жіктелуі. , функцияларын жіктеу.
    
13. 
    -дегі сызықты функционалдар. Локалды сызықтылық ретіндегі көп айнымалы функциялардың нүктеде дифференциалдануы. Дифференциал.
    
14. 
    Көп айнымалы функциялардың нүктеде дифференциалдануы. Дифференциалданудың жеткіліктілік шарттары.
    
15. 
    Айқындалмаған функцияның анықтамасы, бар болуы, үзіліссіздігі және дифференциалдануы.
    
16. 
    Сандық қатарлар. Қатар жинақталуының Коши критерийі .
    
17. 
    Оң таңбалы қатарлар. Жинақтылық. Оң таңбалы қатарлардың жинақтылық белгілері.
    
18. 
    Таңбасы ауыспалы қатарлар. Лейбниц теоремасы.
    
19. 
    Кез келген функционалдық қатардың жинақталу облысының құрылымы. қатардың Дәрежелік қатардың жинақталу облысының құрылымы. Коши-Адамар формуласы. Жинақталу радиусы.
    
20. 
    Функционалдық қатарларды мүшелеп интегралдау және мүшелеп дифференциалдау.
    
21. 
    Сақина. Өріс. Аксиоматика және мысалдар.
    
22. 
    Өріс сипаттамасы. Минималды ішкі өріс.
    
23. 
    n модулі бойынша қалдықтар сақинасы. өрісі.
    
24. 
    Сақинадағы бөлінгіштік, сақинаның қайтарымды элементтері.
    
25. 
    Ішкі сақина, идеал. Жай және максимал идеалдар. Нөлдің бөлгіштері.
    
26. 
    Фактор-сақина. Сақинадағы гомоморфизмдер теоремасы.
    
27. 
    Модуль, модулдер гомоморфизмі. Модулдердің тура көбейтіндісі және қосындысы.
    
28. 
    Ақырлы өлшемді векторлық кеңістіктер. Аксиоматика және мысалдар. Базис. Өлшемділік.
    
29. 
    Векторлық кеңістіктің ішкі кеңістігі. Ішкі кеңістіктердің қосындысы және қиылысуы. Фактор-кеңістік.
    
30. 
    Векторлық кеңістіктердің изоморфизмі.
    
31. 
    Евклидті кеңістіктердегі ортонормаланған жүйелер.
    
32. 
    Унитарлы кеңістіктердің изоморфизмі.
    
33. 
    Евклид кеңістігінің ішкі кеңістігі, ортогоналды толықтауыштар.
    
34. 
    Группалардың гомоморфизмі және изоморфизмі. Группалардың гомоморфизмдері туралы теорема.
    
35. 
    Ішкі групплар, нормалды ішкі группалар.
    
36. 
    Алмастырулар группалары. Кэли теоремасы.
    
37. 
    Бір айнымалы көпмүшеліктер. Көпмүшеліктердің жіктелу өрістері.
    
38. 
    n айнымалы көпмүшеліктер. Лексикографиялық рет, бас бірмүшеліктер.
    
39. 
    Рационалды бөлшектер өрісі.
    
40. 
    Әртүрлі базистердегі ақырлы өлшемді сызықты операторлар матрицаларының арасындағы байланыс.
    
41. 
    Ақырлы өлшемді кеңістіктердегі сызықты оператордың Жордан формасы.
    
42. 
    Өзіне-өзі түйіндес сызықты операторлар. Анықтама. Негізгі қасиеттері.
    
43. 
    Евклид кеңістіктердегі унитарлы және ортогональды операторлар.
    
44. 
    Квадрат формаларға арналған инерция заңы.
    
45. 
    Сильвестр критерийі.
    
46. 
    Түзу мен жазықтық теңдеулерін берудің әртүрлі түрлері.
    
47. 
    2-ші ретті қисықтардың классификациясы.
    
48. 
    Канондық теңдеулері бойынша 2-ші ретті беттерді зерттеу.
    
49. 
    Аффинді және евклидті көпөлшемді кеңістіктер.
    
50. 
    Бірінші ретті қарапайым дифференциалдық теңдеулер және оларды шешу әдістері.
    
51. 
    Бірінші ретті қарапайым дифференциалдық теңдеулерге арналған Коши есебі шешімінің бар болуы және жалғыздығы туралы теорема.
    
52. 
    Бірінші ретті қарапайым дифференциалдық теңдеулерге арналған Коши есебі шешімінің параметрлерден және алғашқы шарттардан үзіліссіз тәуелділігі туралы теорема.
    
53. 
    Сызықты қарапайым дифференциалдық теңдеулер (ҚДТ). Жалпы қасиеттері. Біртекті ҚДТ. Шешімдердің фундаменталды жүйесі. Вронскиан. Біртекті ҚДТ-ның жалпы шешімі.
    
54. 
    Тұрақты коэффициентті біртекті сызықты қарапайым дифференциалдық теңдеулер. Шешімдердің фундаменталды жүйесін құру.
    
55. 
    Сызықты қарапайым дифференциалдық теңдеулердің (ҚДТ) біртекті жүйесі. Шешімдердің фундаменталды жүйесі. ҚДТ-ның біртекті жүйесінің жалпы шешімінің құрылымы.
    
56. 
    Тұрақты коэффициентті сызықты дифференциалдық теңдеулердің біртекті жүйесі. Шешімдердің фундаменталды жүйесін құру.
    
57. 
    Біртекті емес сызықты қарапайым дифференциалдық теңдеулер. Жалпы шешім. Тұрақтыларды вариациялаудың Лагранж әдісі.
    
58. 
    Сызықты қарапайым дифференциалдық теңдеулердің біртекті емес жүйесі. Тұрақтыларды вариациялаудың Лагранж әдісі.
    
59. 
    Екінші ретті сызықты қарапайым дифференциалдық теңдеулерге шектік есептердің қойылымы. Шектік есептер шешімдерінің бар болуы және жалғыздығы туралы теорема.
    
60. 
    Грин функциясы және оның айқын берілуі. Шектік есеп шешімінің интералдық түде берілуі. Шектік есептер шешімдерінің бар болуы және жалғыздығы туралы теорема.
    
61. 
    Математикалық физиканың негізгі теңдеулері, олар үшін Коши есепбінің және шектік есептің қойылымы. Есеп қойылымының корректлігі. Адамар мысалы.
    
62. 
    Дербес туындылы теңдеулердің классификациясы және оларды канондық түрге келтіру. Сипаттатама ұғымы.
    
63. 
    Лаплас теңдеуі. Фундаменталді шешімдер. Лаплас теңдеуі үшін Дирихле есебінің шешімінің жалғыздығы туралы.
    
64. 
    Лаплас теңдеуі үшін Грин функциясы және оның қасиеттері. Дөңгелек үшін Грин функциясы. Пуассон формуласы. Пуассон формуласынан шығатын кейбір салдар. (Гарнак теңсіздігі, Лиувилль және Гарнак теоремалары).
    
65. 
    Фурье әдісімен толқын теңдеулері үшін аралас шектік есептерді шешу. Меншікті мәндер және меншікті функциялар туралы есеп.
    
66. 
    Жылу өткізгіштік теңдеулер үшін бастапқы – шектік есептерді Фурье әдісімен шешу. Меншікті мәндер мен меншікті функциялар және олардың қасиеттері.
    
67. 
    Ішек тербелісі теңдеуіне арналған Коши есебін шешу. Даламбер формуласы.
    
68. 
    Жылу өткізгіштік теңдеулер үшін Коши есебін шешу. Пуассона формуласы.
    
69. 
    Метрикалық кеңістіктегі компакт жиындар. Хаусдорф теоремасы.
    
70. 
    Толық метрическалық кеңістіктер. Бір біріне енген шарлар теоремасы.
    
71. 
    Гильберт кеңістіктері, l² және L²(a,b) кеңістіктері. Гильберт кеңістіктерінің изоморфизмі.
    
72. 
    Сызықты функционалды жалғастыру туралы Хан – Банах теоремасы.
    
73. 
    Метрикалық кеңістіктер. Барлық жерде тығыз және ешбір жерде тығыз емес жиындар.
    
74. 
    Нормалы кеңістіктердегі сызықты операторлар. Үзіліссіздік және шенелгенділік.
    
75. 
    Гильберит кеңістігіндегі сызықты функционалдың жалпы түрі (Рисс теоремасы).
    
76. 
    Рисс – Фишер теоремасы.
    
77. 
    Ортонормаланған жүйе бойынша Фурье қатарына жіктеу. Бессель теңсіздігі.
    
78. 
    Евклид кеңістігіндегі ортонормаланған жүйенің толықтығы. Толықтық критерийі.
    
79. 
    Гильберт кеңістігіндегі ортогональды толықтауыштар. Жіктелу теоремасы.
    
80. 
    Сығымдаушы бейнелеулер қағидасы және оның қолданысы.
    

Ұсынылған әдебиеттердің тізімі

1. 
   Н. Темiрғалиев. “Математикалық анализ”, т.1, 2, 3.
   
2. 
   У.Рудин. «Основы математического анализа». М.: Мир, 1976 г.
   
3. 
   Л.А. Люстерник, В.И. Соболев. ”Элементы функционального анализа”. М. Наука, 1965 г.
   
4. 
   А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. “Элементы теории функций и функционального анализа”. М.: Наука, 1968 г.
   
5. 
   У. Рудин ”Функциональный анализ”. М.: Мир, 1975 г.
   
6. 
   Тихонов А.Н., Васильева А.В., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М., «Наука», 1965.
   
7. 
   8. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., «Наука», 1976.
   
8. 
   Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., «Наука», 1977.
   
9. 
   Михлин С.Г. Курс математической физики. М., «Наука», 1979.
   
10. 
    Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М., Физматгиз, 1958.
    
11. 
    Кострикин А.И. Введение в алгебру. – М., 1982
    
12. 
    Курош А.Г. Теория групп. – М., 2005
    
13. 
    Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра - М., 1979
    
14. 
    Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп – М., 1982
    
15. 
    Курош А.Г. Курс высшей алгебры – М., 1979
    
16. 
    Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии. – М.: Наука, 1968.
    
17. 
    Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч.1,2 – М.: Просвещение, 1986.
    
18. 
    Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. М., Наука, 1990.
    
19. 
    Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Наука, 1980.
    
20. 
    Ван дер варден Б. Алгебра - М., 1980.