БӨлшектер әлеміне саяхат
жүктеу/скачать 60.58 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Бөлшек периодының ұзындығы
- Тоғыздықтар құпиясы
- Периодты бөлшектердің тағы да бір қасиеті
- Қолданылған әдебиеттер
| БӨЛШЕКТЕР ӘЛЕМІНЕ САЯХАТ
Булгунаев Н., Медет Е. 7 А, «Мұрагер» мектебі, Қарағанды қаласы жетекшісі: Бекмағамбетова Э.К. Жұмыстың мақсаты: Периодты бөлшектердің қасиеттерін зерттеу. Міндеттері: - бөлшектің бөлімі мен периодының ұзындығы арасындағы байланысты қарастыру; - Периодты бөлшектерге әртүрлі амалдар қолдана отырып, қандай да бір қасиеттерді байқау. Жұмыста периодты бөлшектердің оқушылардың барлығы біле бермейтін қасиеттері, олардың дәлелдемелері қарастырылады. Периодты бөлшектермен әртүрлі амалдар орындай отырып, олардың кейбіреулерінде ортақ қасиет орындалатыны байқалды және құпияның түп төркінін іздеуде біз, оқушылар біраз қызықты нәрселерге жолықтық, беттері ашылмай шаң басқан біраз кітаптардыңбетін аштық. Мынадай 3 мысалды қарастырып көрейік:  =0,142857142857...,
 =0,83333333333...,
 =0,076923076923...,
Біз көріп тұрғандай, 1/7 және 1/13 бөлшектерінің периодтары бірден үтірден кейін басталады және алты саннан тұрады (142857 және 076923), ал 1/12 бөлшегінде үшіншісінен басталады және жалғыз 3 цифрынан тұрады. Зер сала қарап, талқыласақ, кейін тағы бір жағдайды көруге болады. N=142857 (1/7 бөлшегінің периоды) деп алып, оны 2,3,4, ... сандарына көбейтіп көрейік: N2 =285714, N3 =428571, N4 =571428, N5 =714285, N6 =857142, N7 =999999. Біз көріп тұрғандай, алдынғы бесеуі N санының цифрларын «шеңбер бойы алмастыруы» арқылы жасалған: санның соңындағы бірнеше цифры алға қарай көшеді; ал 7N бірыңғай тоғыздықтардан тұрады. Енді тура соны 1/13 бөлшегінің периодына жасап көрейік (N=076923): N2=153846, N3=230769, N4=307692, N5=384615, N6=461538, N7=538461, N8=615384, N9=692307, N10=769230, N11=846153, N12=923076, N13=999999. Бұл жерде сәл өзгешелеу, бірақ бәрібір қызықты, жазылғандардың бесеуі (3N, 4N, 9N, 10N, 12N) N санының цифрларының орындарын алмастыру арқылы жасалады, ал басқа алтауы ( 2N, 5N, 6N, 7N, 8N, 11N ) бір-бірінен шеңбер бойы алмастыру арқылы жасалады да, аяғында 13N бірыңғай тоғыздықтардан жасалады. Тағы да мынаны байқауға болады. Егер жоғарыда жазылып кеткен алты таңбалы сандардың 999999 санынан өзге кез-келгенін алсақ, және тең ортасынан бөліп, әрқайсысыларын бір-біріне қоссақ 999 саны шығады; мысалы, 142+857=999 және т.б. Көріп тұрғандай, периодтық бөлшектердің көптеген сырлары бар. Олардың көбі әлі жұмбақ күйінде. Жоғарыда айтылған қасиеттің сырын ашып көрелік. 1-теорема. Егер  натурал саны 2-ге де, 5-ке де бөлінбесе,  -ге тең ондық бөлшектің периоды бірден үтірден соң басталады. Оның периодтың ұзындығы  тоғыздықтан құралған сан -ге бөлінетіндей ең кіші -ге тең. Ал периодтың өзі тоғыздықтардан құралған санның -ге бөлгендегі - таңбалы сан ретінде жазылған бөліндіге тең(басында нөлдері болуы мүмкін). Салдар:
1. Егер 2. Егер 3. Егер 
Бөлшек периодының ұзындығы 2-теорема. Егер р - 2 мен 5-тен өзгеше жай сан болса,  бөлшегінің периодының ұзындығы  санының бөлгіші болады.
Дәлелдемесі. 1-теорема бойынша период ұзындығы дегеніміз- тоғыздықтан тұратын сан  -ға бөлінетіндей -ның ең кіші мәні және сонымен қоса, Ферманың кіші теоремасы бойынша  саны, яғни тоғыздықтан тұратын сан -ға бөлінеді. Бізге санының -ге бөлінетінін дәлелдеу керек.
 жағдайы дәлелдеуді қажет етпейді.
< болсын делік. және тоғыздықтан тұратын сан -ға бөлінеді; олардың екіншісін  -таңбалы санға дейін нөлдермен толтырып, пайда болған екі санның айырмасын табайық.
_999…999999…999 999…999000…000 999…999
Бұл сан  тоғыздықтан тұрады және ол да -ға бөлінеді. Тағы да тура сондай айырманы орындағанннан соң,  , т.с.с. тоғыздықтан тұратын сандардың да -ға бөлінетіндігін аламыз. Ең соңында тоғыздықтар саны -нан аз санды аламыз. Мұнда екі мүмкіндік бар: сан не нөл болады (бізге қажетті  санының -ге бөлінетіндігін көрсетеді), не бұл санда тоғыздықтар саны 0-ден үлкен, ал -нан аз болады. Екінші мүмкіндік -ның p-ға бөлінетін тоғыздықтардан құралған санның ең кіші мүмкін мәні екендігіне қайшы келеді. Теорема дәлелденді.
 арқылы  бөлшегінің периодының ұзындығын белгілейік. Біз
 -жай сан болса,  санының бөлгіші болатындығын дәлелдедік. И.Бернуллидың кестесіне қарай отырып,   , L(31)=15, L(41)=5 т.б
 бөлшегтің периодының ұзындығы мен p- ның арасындағы байланыс бойынша барлық жай сандарды 3 топқа бөлуге болады:
1. Периодының ұзындығы бөлшек бөлімінен 1-ге кем болатын «толық периодты» жай сандар: 2. Периодының ұзындығы тақ сан болатын «толық емес периодты» жай сандар: 3. Периодының ұзындығы жұп сан болатын «толық емес периодты» жай сандар: Тоғыздықтар құпиясы Теорема
 - 5-тен үлкен жай сан, ал  болсын.  бөлшегінің периоды  -таңбалы  саны болсын делік. Периодтың алғашқы цифрынан құралған санды  арқылы, ал соңғы цифрынан құралған санды  арқылы белгілейік.
Сонда Дәлелдемесі. Шарт бойынша,  
Соған сәйкес 
 .
дегеніміз-  саны -ға бөлінетіндей,  саны -ға бөлінбейтіндей  -ның ең кіші мәні болғандықтан, ал жай сан болғандықтан, мен өзара жай. Яғни  саны -ге бөлінеді. Ал  сандарының екеуі де тоғыздықтардан тұратын -таңбалы сандар. Яғни,  . Бұл теңсіздіктен бізге дәлелдеу қажет  екендігі шығады.
Периодты бөлшектердің тағы да бір қасиеті  бөлшегінің периодын қарастырайық:  . Оны квадраттап ( ), соңғы алты цифрды бөліп алып, қалғанымен қоссақ, қайтадан бастапқы санды аламыз:
 .
Тура осындай амалдарды 
 .
Алғашқы мысалдағыдай периодтың тура өзі шықпаса да, зер сала қарасақ, бұл сан бастапқы периодтың цифрларын шеңбер бойы алмастыру арқылы пайда болған. Есеп. Соңғы цифрларды басынан аяғына көшіргенде бүтін бірнеше санға көбейетін, барлық алты таңбалы санды табайық. Біз әдеттегідей, сан 0-ден басталмайды деп есептейміз. Есепті бұл болжамсыз да шығара аламыз, бірақ оның жауабы өте күрделі болады: ол өзіне 000001, 000002, ..., Шешуі. A берілген санның соңғы цифры болсын және оны басына көшіргенде сан l есе көбейетін болсын. Сонда 1 9, 2 9 болады. 4-ші теоремаға сәйкес біздің сан Жауап: 102564, 128205, 142857, 179487, 205128, 230769. Қолданылған әдебиеттер: 1.«Что такое математика» Р.Курант және г.Роббинс 1976 Москва. 2. Ю.Дадаев «Теория арифметических кодов» 1981 Москва 3.Интернаттан алынған мәліметтер. жүктеу/скачать 60.58 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|
бөлшегінің ұзындығымен бірдей болады.
, т.с.с.
т.с.с.
т.с.с.
(
бөлшегінің периодына жасап көрелік. 
.
болып табылады. Бұл бөлшектің бөлімі (қысқарғанға дейін) 19, 29, 39,... , 89 сандарының бірі болуы мүмкін; бір таңбалы санға қысқарғаннан кейін бөлімі 39 =13, 49 =7, 69 3=23 сандарына айналуы мүмкін. Бөлшектің периоды алты таңбалы болғандықтан, бөлімі 999999 = 33·7·11· 13· 37 санының бөлгіші болу керек. (1-теорема).Осы қосымша 3 мүмкіндік қана қалдырады:7, 13, 39. Сонымен l не 4-ке не 5-ке тең болуы мүмкін. l =4 
-ға тең, мұнда A = 4, 5,... , 9 (период 0-ден басталмайтындықтан, бөлшек 0,1-ден көп болуы керек). Мұнда бөлшектің периоды (025641- бөлшегінің периоды) болып табылады. l =5 болғанда, бөлшек тең және 7-ге бөлінетін бір ғана мүмкіндік болады. периоды 142857-ге тең.