Целые числа
жүктеу/скачать 109.5 Kb.
|
|
Целые числа 1. Принцип расширения в арифметике и алгебре. 2. Кольцо целых чисел. 3. Свойства целых чисел. 4. Интерпретация системы целых чисел. 1. Принцип расширения в арифметике и алгебре. Прежде чем перейти к рассмотрению нового вида чисел, сделаем несколько общих замечаний о расширении числовых систем. Так как построение новой теории обычно начинается с определения основных понятий этой теории, то естественно побеспокоиться заранее о разумности новых определений и о целесообразной канве новой математической теории. При этом следует отметить, что в школьном преподавании новые понятия и положения базируются, как правило, на уже известных учащимся понятиях и положениях. Одним из путей введения новых для учащихся числовых множеств, в значительной степени отвечающим этой цели, является способ, называемый «расширением числовых систем». При этом стремятся построить расширение числовых систем так, чтобы оно удовлетворяло определенным требованиям. Сформулируем эти требования. Пусть нам нужно расширить числовое множество А до числового множества В, т. е. А — исходное, расширяемое множество, а B—его расширение. Тогда: 1) Множество чисел А должно быть подмножеством множества чисел В. Важнейшие операции и соотношения на множестве В должны быть определены так, чтобы для элементов множества В, являющихся в то же время элементами множества А, они совпадали с одно именными операциями и соотношениями, определенными на множестве А до его расширения. В множестве В должна стать выполнимой та операция, которая была выполнимой в множестве А лишь с ограничением (или вообще не была выполнима). Несоблюдение этого условия поставило бы под сомнение одну из основных целей расширения числового множества и тем самым оставило бы неразрешимыми те задачи практического характера, которые и привели к необходимости введения нового вида чисел. Таким образом, третье требование является целевым. Напри мер, построение множества Z целых чисел преследует цель: по строить числовое множество, в котором операция вычитания выполняется без ограничений. Заметим, что (как это было показано выше) в множестве натуральных чисел N вычитание выполнимо не всегда. Построение множества Q рациональных чисел производится с целью выполнимости в нем операции деления (кроме деления на нуль), ибо в множестве Z целых чисел деление не всегда выполнимо. Построение множества R действительных чисел обусловливается требованиями выполнимости операции извлечения корня из положительного числа и существования предела числовой последовательности». Необходимость же рассмотрения множества комплексных чисел обусловливается тем, что в множестве действительных чисел операция извлечения корня выполнима с ограничением. 4) Расширение числового множества А должно быть минимальным, т. е. не должно существовать промежуточного множества С, такого, что ACB и С удовлетворяет перечисленным выше условиям 1—3. Это требование устанавливает своеобразный «режим экономии» в построении нового числового множества. Несоблюдение этого требования привело бы к ненужному (для достижения поставленных конкретных целей расширения) и излишнему усложнению теории и практики. Так, для решения задачи об измерении величин явно нецелесообразно было бы расширить множество рациональных чисел до множества комплексных чисел, хотя множество действительных чисел (необходимое для решения задачи измерения вели чин) и является подмножеством множества комплексных чисел. Существует несколько способов расширения числового множества А до числового множества В, отраженных в различных учебных руководствах: а) можно построить множество В изолированно от множества A, а затем установить, что во множестве 5 имеют место условия 1—4; б) можно дополнить известное множество чисел A новым множеством чисел С, так чтобы множество В=A удовлетворяло условиям 1-4. Ясно, что с методической точки зрения второй способ расширения представляется более разумным; вместе с тем при соответствующей методической обработке первый способ расширения может быть также вполне приемлемым в процессе обучения. Скажем несколько слов о возможной последовательности расширений понятия числа. Хотя с алгебраической точки зрения последовательность расширений NZQRC представляется наиболее целесообразной, однако в школьном преподавании расширение понятия числа идет по „пути, соответствующему историческому развитию понятия числа, именно в последовательности NZQ+RC. В традиционном школьном курсе математики эта последовательность прослеживалась более явно; в соответствии с новой программой она видна не столь четко. По-видимому, это объясняется тем, что в первоначальном проекте программы по математике была отражена алгебраическая точка зрения, от которой авторы программ и пришли к последовательности расширений понятия числа, отраженной а новой программе по математике, выработав «методически компромиссную» схему (имея в виду начать изучение десятичных дробей ранее обыкновенных). Желая достигнуть определенной целостности в наложении учения о числе, мы примем следующую схему расширения числовых систем: NZQRC. Требования 1—4, предъявляемые к расширению числовых систем, можно считать аксиомами расширения, ибо они выражают основные свойства этих систем. Отметим, что, введя новую числовую систему, удовлетворяющую аксиомам расширения, каждый раз необходимо строить конкретное множество, служащее интерпретацией этой числовой системы. Такие интерпретации могут быть построены различными способами; укажем на один из них: множества целых, рациональных и комплексных чисел могут быть построены на основе теории пар. Именно: целые числа можно рассматривать как пары натуральных чисел; рациональные числа можно определять как некоторые пары целых чисел и, наконец, комплексные числа — как пары действительных чисел. жүктеу/скачать 109.5 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|