Теорема. Задача 2* имеет единственное решение.  Доказательство

«Молодой учёный» . № 52 (342)  . Декабрь 2020 г.
4
Математика
Литература:
1. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики, М.: Наука, 19722–724 с.
2. Бицадзе А. В. Уравнения математической физики, М.: Наука, 1976–336 с.
3. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных, М. Наука, 1981–448 с.
4. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии, М.: Высшая школа, 1995–301 с.
5. Алдашев С. А. Краевые задачи для многомерных гиперболических и сммешанных уравнений, Алматы: Гылым, 1994–170 с.
6. Курант Р. Уравнения с частными производными, М.: Мир.1964–830 с.
7. Бейтмен Г., Эрдейн А. Высшие трансцендентные функции, т. 2, М.: Наука, 1974–295 с.
8. Смирнов В. И. Курс высшей математики, т. 4, ч. 2, М.: Наука, 1974–334 с.
Анализ простейших правил раскрытия неопределенностей
Юлдашева Саодат Бекпулатовна, учитель математики
ОСШ № 17 имени Лермонтова г. Шымкента (Казахстан)
З
начительное место в школьном курсе математики занимают элементы математического анализа, в том числе и пределы функций 
с раскрытием неопределенностей. Целью изучения в школьной программе этой темы является формирование интеллектуального 
развития учащихся, формирование качеств мышления, необходимых человеку для свободной ориентации в современном мире; овла-
дение математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин, 
где 
2
4
,
c = λ
( , )
(
,
),
2
2
ξ + η ξ − η
ω ξ η = υ
1
1
( )
(
).
2
+ η
ϕ η = ϕ
Так как в (6) 
( , )
( , ) 0,
a
b
ξ η = ξ η ≡
2
( , ) 4
c
const
ξ η = λ =
, то из решения задачи Коши ([3–5]) для уравнения (6) получим 
следующую формулу 
1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
( , )
( ) ( , ; , )
( ) ( , ; , )
[ ( ) ( , ; , )
( )
( , ; , )
]
,
2
2
2
R
R
R
R
d
N
=η
ξ
ξ
η
∂
ω ξ η = τ η
η η ξ η + τ ξ
ξ ξ ξ η +
ν ξ
ξ ξ ξ η − τ ξ
ξ η ξ η
ξ
∂
∫
(8) 
где 
1
1
( , ; , )
R ξ η ξ η
— функция Римана уравнения (6). 
Известно ([6]), что эта функция представимо в явном виде 
2
2
1
1
0
1
1
( , ; , )
(
(
)
(
) ),
2
R
J
λ
ξ η ξ η =
ξ − ξ − η − η
где 
0
( )
J z
-функция Бесселя первого рода нулевого порядка [7] 
1
( )
(
)
,
2
N
ξ=η
ξ=η
∂ω
∂ω ∂ω
ν ξ =
=
−
∂
∂ξ ∂η
( , )
( ),
ω ξ ξ = τ ξ
1
(1)
(1,1)
(1)
(1).
τ
= ω
= ϕ
= ϕ
Из (8) при 
1
ξ =
будем иметь 
1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
( )
1
1
1
( )
(1, )
( ) ( , ;1, )
(1) (1,1;1, )
[ ( ) ( , ;1, )
(
) ( , ;1, )
]
2
2
2
2
n
n R
R
R
R
d
=η
ξ
ξ
η
τ ξ
∂
∂
ϕ η = ω
= τ
η η η + τ
η +
ν ξ
ξ ξ
η −
−
ξ η
η
ξ
∂ξ
∂η
∫
(9) 
Проведя некоторые вычисления относительно 
1
1
( , ; , )
R ξ η ξ η
из (9), а также из 
'
0
0
1
(0) 1, ( )
( )
J
J z
J z
=
= −
([7]) получим 
интегральное уравнение Вольтерра второго рода относительно 
( )
τ ξ
1
1
1
1
( )
( )
( ) ( , )
,
g
k
d
η
η = τ η + τ ξ
η ξ
ξ
∫
0
1,
≤ η ≤
(10) 
Которое имеет единственное решение ([8]) и она выписывается в явном виде. 
Здесь 
1
1
1
1
0
1
1
0
0
2 ( )
1
( )
(1)
( ) (
(1
)(1
2 ))
,
2
( (1
))
2 ( (1
))
2
2
g
J
d
J
J
η
ϕ η
λ
η =
− ϕ
−
ν ξ
− η
+ η − ξ
ξ
λ
λ
− η
− η
∫
1
1
'
1
0
1
1
1
0
0
(1
2 )
(1
2 )
( , )
(
(1
)(1
2 ))
(
(1
)(1
2 ))
2
2
( (1
))
( (1
))
2
2
k
J
J
J
J
λ
+ η − ξ
λ
+ η − ξ
λ
λ
η ξ =
− η
+ η − ξ
=
− η
+ η − ξ
λ
λ
− η
− η
Таким образом задача (6),(7)(т. е. задача 2’) имеет единственное решение вида (8), где 
( )
τ ξ
определяется из 
интегрального уравнения (10). 
Отсюда следует и задача 2* имеет решение вида 
(
)
( , ) (exp(
)) ( , ) (exp(
)) (
,
)
2
2
2
2
u x y
x
y
x y
ξ + η
ξ − η
ξ + η ξ − η
=
α + β
υ
=
α
+ β
ω
и можно записать ее в явном виде, где 
( , )
ω ξ η
находится из (8). 
Теперь покажем, что решение задачи 2* (т. е. задача 2’) единственно. Пусть 
1
2
( , ), ( , )
u x y u x y
— два решения задачи 2* 
с данными (2). Тогда функция 
1
2
( , )
( , )
( , ),
u x y
u x y
u x y
=
−
удовлетворяет уравнению (1) с однородными данными 
( , ) 0,
y
u x y =
( ,1
) 0,
u x
x
−
= 0
1
x
≤ ≤
(11) 
Тогда из задачи (1),(11) приходим к задаче для уравнения (6) с условием 
(
)
0,
ξ=η
∂ω ∂ω
−
=
∂ξ ∂η
(1, ) 0,
ω η = 0
1
≤ η ≤
(12) 
Далее из решения задачи Коши (8), с учетом (12) будем иметь 
1
1
1
1
0
( )
( ) ( , )
,
k
d
η
= τ η + τ ξ
η ξ
ξ
∫
0
1
≤ η ≤
которое имеет тривиальное решение ([8]) т. е. 
( ) 0.
τ ξ ≡
Значит, из (8) получим 
( , ) 0
ω ξ η ≡
т. е. 
( , ) 0.
u x y ≡
Следовательно, 
1
2
( , )
( , ).
u x y
u x y
=
Единственностьзадачи 2* показана. 
Теорема доказана. 

“Young Scientist” .  # 52 (342) .  December 2020

жүктеу/скачать 7.68 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: