Дерево решений

с ней показателем коэффициента корреляции.

Коэффициент корреляции является более общим показателем, так как он

стандартизирует показатель ковариации, позволяя проводить сравнение степени

взаимозависимости доходов по разным группам инвестиций на общей основе. Он

рассчитывается как частное от деления показателя ковариации на произведение

стандартных девиаций по группам инвестиций:

=σσBA BA rVO CAB/.

Знак коэффициента будет совпадать со знаком показателя ковариации и нести тот

же экономический смысл.

Для портфеля из двух групп инвестиций, где х - доля одной группы инвестиций, а

(1 - х) - доля второй группы инвестиций, риск, или стандартная девиация, будет

определяться следующим образом:

pABBAAB

=+−+−22 22(1 )2( 1)σσσx x σ xxrσ

существует специальный показатель бета (β). Он характеризует неустойчивость доходов

по данному виду ценных бумаг относительно доходов по “среднему”, хорошо

диверсифицированному рыночному портфелю ценных бумаг. По определению, бета для

так называемой “средней” акции (движение по которой совпадает с общей для рынка)

равна 1,0. Это значит, что при изменении на рынке курса вверх или вниз на 10

процентных пунктов курс данной акции изменится таким же образом.

Бета по ценным бумагам группы А рассчитывается как отношение ковариации

доходов по ценным бумагам А и рыночного портфеля инвестиций М к ковариации

доходов по рыночному портфелю:

,,

,

AM

AА

r

вариацияМ

яицаиравокАМ

σσ

σσ

где: rAM - коэффициент корреляции между доходом по ценным бумагам А и

доходом по рыночному портфелю инвестиций М; σА и σМ - стандартные девиации дохода

по ценным бумагам группы А и портфеля М.

Бета для портфеля инвестиций рассчитывается как взвешенная средняя бета

каждой отдельной инвестиции:

βp=∑ A A .W β

Сфера применения коэффициента β достаточно широка:

• прогнозирование возможных сдвигов на финансовом рынке;

• отбор ценных бумаг для формирования портфеля;

• определение благоприятных условий для инвестирования и т.п.

Коэффициент β можно выразить как:

.

ксирогончонырпортфеля

β=

объясняется довольно высокой стабильностью риска рыночного портфеля, который

пересматривается через определенные промежутки времени.

Степень неопределенности портфеля инвестиций зависит не только от

систематического риска, который не может быть сокращен при помощи диверсификации,

но и от количества акций, облигаций, входящих в портфель. При прочих равных условиях,

чем выше разнообразие ценных бумаг, входящих в него, тем меньше риск . Наибольший

эффект диверсификация дает на первой дюжине ценных бумаг при условии, что они

представляют корпорации, осуществляющие свою деятельность в относительно

независимых отраслях. Важно и то, что наступает момент, когда риск начинает

определяться главным образом своей недиверсифицируемой частью.

Созданный портфель инвестиций затем постоянно изменяется вследствие его

пополнения новыми ценными бумагами и продажи ненужных инвестору. Встает задача

управления портфелем. Управление может быть активным и пассивным. Активное

управление портфелем (например по методу Трейнора - Блека) предполагает, что

портфель должен быть разделен на две части активную и пассивную. Управление

пассивной частью сводится к поддержанию “рыночных” пропорций между входящими в

нее ценными бумагами. Активная часть (которая намного меньше) формируется из

недооцененных акций, т.е. таких, которые обладают наибольшим потенциалом роста.

Затем с помощью специальных расчетов определяется пропорция вхождения ценных

бумаг в активный портфель и соотношение между активной и пассивной составляющими

портфеля.

Пассивное управление портфелем может осуществляться стихийно, т.е.

исключительно по опыту и интуиции менеджера, и планомерно, т.е. по системе.

Существует множество видов планов управления портфелями. К ним относятся:

• план постоянной суммы, в котором сумма средств, вложенная в ценные бумаги

каждого вида поддерживается постоянной (т.е. при повышении курса каких-

либо ценных бумаг соответствующая часть их продается);

• план постоянного соотношения, при котором поддерживается постоянным

удельный вес каждого вида ценных бумаг в общей стоимости портфеля;

• план переменного соотношения, при котором удельный вес отдельных ценных

бумаг в общей стоимости увязывается с биржевым индексом;

• план затратного усреднения.

Последняя из названных систем наиболее часто применяется в условиях

спокойного состояния рынка при отсутствии каких-либо тенденций в сторону снижения

или повышения курсов акций. Суть ее сводится к следующему: постоянная сумма денег

через определенные периоды времени вкладывается в простые акции какой-либо

компании. Если курс этих ценных бумаг растет, то инвестор их реализует, а превышение

(дисконт) идет на депозит в банк или вкладывается в облигации как фонд для следующей

плановой покупки. Поскольку чаще всего акции продаются по цене ниже среднего уровня,

инвестор может иметь относительно стабильный доход на курсовой разнице, продавая

акции, как только их цена достигает среднего значения. Данный план предусматривает

также стихийное переключение с одних акций на другие, более перспективные с точки

зрения инвестора.

Глава 4.3. Метод Монте-Карло

Имитационное моделирование по методу Монте-Карло (Monte-Carlo Simulation)

позволяет построить математическую модель для проекта с неопределенными значениями

параметров, и, зная вероятностные распределения параметров проекта, а также связь

между изменениями параметров (корреляцию) получить распределение доходности

проекта.

Блок-схема, представленная на рисунке отражает укрупненную схему работы с

моделью.

Применение метода имитации Монте-Карло требует использования специальных

математических пакетов н(апример, специализированного программного пакета

Гарвардского университета под названием Risk-Master), в то время, как метод сценариев

может быть реализован даже при помощи обыкновенного калькулятора.

Как уже отмечалось, анализ рисков с использованием метода имитационного

моделирования Монте-Карло представляет собой “воссоединение” методов анализа

чувствительности и анализа сценариев на базе теории вероятностей.

Результатом такого комплексного анализа выступает распределение вероятностей

возможных результатов проекта (например, вероятность получения NPV<0).

Программный пакет Risk-Master позволяет в диалоговом режиме осуществить

процедуру подготовки информации к анализу рисков инвестиционного проекта по методу

Монте-Карло и провести сами расчеты.

Первый шаг при применении метода имитации состоит в определении функции

распределения каждой переменной, которая оказывает влияние на формирование потока

наличности. Как правило, предполагается, что функция распределения являются

нормальной, и, следовательно, для того, чтобы задать ее необходимо определить только

два момента (математическое ожидание и дисперсию).

Как только функция распределения определена, можно применять процедуру

Монте-Карло.

Алгоритм метода имитации Монте-Карло

Шаг 1.Опираясь на использование статистического пакета, случайным образом

выбираем, основываясь на вероятностной функции распределения значение переменной,

которая является одним из параметров определения потока наличности.

Шаг 2. Выбранное значение случайной величины наряду со значениями

переменных, которые являются экзогенными переменными используется при подсчете

чистой приведенной стоимости проекта.

Шаги 1 и 2 повторяются большое количество раз, например 1000, и полученные

1000 значений чистой приведенной стоимости проекта используются для построения

плотности распределения величины чистой приведенной стоимости со своим

собственным математическим ожиданием и стандартным отклонением.

Используя значения математического ожидания и стандартного отклонения, можно

вычислить коэффициент вариации чистой приведенной стоимости проекта и затем

оценить индивидуальный риск проекта, как и в анализе методом сценариев.

Теперь необходимо определить минимальное и максимальное значения

критической переменной, а для переменной с пошаговым распределением помимо этих

двух еще и остальные значения, принимаемые ею. Границы варьирования переменной

определяются, просто исходя из всего спектра возможных значений.

По прошлым наблюдениям за переменной можно установить частоту, с которой та

принимает соответствующие значения. В этом случае вероятностное распределение есть

то же самое частотное распределение, показывающее частоту встречаемости значения,

правда, в относительном масштабе (от 0 до 1). Вероятностное распределение регулирует

вероятность выбора значений из определенного интервала. В соответствии с заданным

распределением модель оценки рисков будет выбирать произвольные значения

переменной. До рассмотрения рисков мы подразумевали, что переменная принимает одно

определенное нами значение с вероятностью 1. И через единственную итерацию расчетов

мы получали однозначно определенный результат. В рамках модели вероятностного

анализа рисков проводится большое число итераций, позволяющих установить, как ведет

себя результативный показатель (в каких пределах колеблется, как распределен) при

подстановке в модель различных значений переменной в соответствии с заданным

распределением.

Задача аналитика, занимающегося анализом риска, состоит в том, чтобы хотя бы

приблизительно определить для исследуемой переменной (фактора) вид вероятностного

распределения. При этом основные вероятностные распределения, используемые в

анализе рисков, могут быть следующими: нормальное, постоянное, треугольное,

пошаговое. Эксперт присваивает переменной вероятностное распределение, исходя из

своих количественных ожиданий и делает выбор из двух категорий распределений:

симметричных (например, нормальное, постоянное, треугольное) и несимметричных

(например, пошаговое распределение).

Существование коррелированных переменных в проектном анализе вызывает

порой проблему, не рассмотреть которую означало бы заранее обречь себя на неверные

результаты. Ведь без учета коррелированности, скажем, двух переменных - компьютер,

посчитав их полностью независимыми, генерирует нереалистичные проектные сценарии.

Допустим цена и количество проданного продукта есть две отрицательно

коррелированные переменные. Если не будет уточнена связь между переменными

(коэффициент корреляции), то возможны сценарии, случайно вырабатываемые

компьютером, где цена и количество проданной продукции будут вместе либо высоки,

либо низки, что естественно негативно отразится на результате.

Проведение расчетных итераций является полностью компьютеризированная часть

анализа рисков проекта. 200-500 итераций обычно достаточно для хорошей

репрезентативной выборки. В процессе каждой итерации происходит случайный выбор

значений ключевых переменных из специфицированного интервала в соответствии с

вероятностными распределениями и условиями корреляции. Затем рассчитываются и

сохраняются результативные показатели (например, NPV). И так далее, от итерации к

итерации.

Завершающая стадия анализа проектных рисков - интерпретация результатов,

собранных в процессе итерационных расчетов. Результаты анализа рисков можно

представить в виде профиля риска. На нем графически показывается вероятность каждого

возможного случая (имеются в виду вероятности возможных значений результативного

показателя).

Часто при сравнении вариантов капиталовложений удобнее пользоваться кривой,

построенной на основе суммы вероятностей (кумулятивный профиль риска). Такая кривая

показывает вероятности того, что результативный показатель проекта будет больше или

меньше определенного значения. Проектный риск, таким образом, описывается

положением и наклоном кумулятивного профиля риска.

Кумулятивный и(нтегральный, накопленный) профиль риска, показывает

кумулятивное вероятностное распределение чистой текущей стоимости (NPV) с точки

зрения банкира, предпринимателя и экономиста на определенный проект. Вероятность

того, что NPV < 0 с точки зрения экономиста - около 0.4, в то время как для

предпринимателя эта вероятность менее 0.2. С точки зрения банкира проект кажется

совсем безопасным, так как вероятность того, что NPV > 0, около 95%.

Будем исходить из того, что проект подлежит рассмотрению и считается

выгодным, в случае, если NPV > 0. При сравнении нескольких одноцелевых проектов

выбирается тот, у которого NPV больше при соблюдении сказанного в предыдущем

предложении.

Рассмотрим 5 иллюстративных случаев на Рис.3 принятия решений (см. учебные

материалы Института экономического развития Всемирного банка). Случаи 1-3 имеют

дело с решением инвестировать в отдельно взятый проект, тогда как два последних случая

(4, 5) относятся к решению-выбору из альтернативных проектов. В каждом случае

рассматривается как кумулятивный, так и некумулятивный профили риска для

сравнительных целей. Кумулятивный профиль риска более полезен в случае выбора

наилучшего проекта из представленных альтернатив, в то время как некумулятивный

профиль риска лучше индуцирует вид распределения и показателен для понимания

концепций, связанных с определением математического ожидания. Анализ базируется на

показателе чистой текущей стоимости.

Случай 1: Минимальное возможное значение NPV выше, чем нулевое (см. Рис.4.4,

кривая 1).

Рис. 4.4. Чистая текущая стоимость

Вероятность отрицательного NPV равна 0, так как нижний конец кумулятивного

профиля риска лежит справа от нулевого значения NPV. Так как данный проект имеет

положительное значение NPV во всех случаях, ясно, что проект принимается.

Случай 2: Максимальное возможное значение NPV ниже нулевого(см. Рис.4.4,

кривая 2).

Вероятность положительного NPV равна 0 (см. следующий рисунок)., так как

верхний конец кумулятивного профиля риска лежит слева от нулевого значения NPV. Так

как данный проект имеет отрицательное значение NPV во всех случаях, ясно, что проект

не принимается.

Случай 3: Максимальное значение NPV больше, а минимальное меньше нулевого

(см. Рис. 4.4 , кривая 3).

Вероятность нулевого NPV больше, чем 0, но меньше, чем 1, так как вертикаль

нулевого NPV пересекает кумулятивный профиль рисков. Так как NPV может быть как

отрицательным, так и положительным, решение будет зависеть от предрасположенности к

риску инвестора. По-видимому, если математическое ожидание NPV меньше или равно 0

(пик профиля рисков слева от вертикали или вертикаль точно проходит по пику) проект

должен отклоняться от дальнейшего рассмотрения.

Случай 4: Непересекающиеся кумулятивные профили рисков альтернативных

(взаимоисключающих) проектов (см. Рис.4.5.).

Рис. 4.5. Чистая текущая стоимость

При фиксированной вероятности отдача проекта В всегда выше, нежели у проекта

А. Профиль рисков также говорит о том, что при фиксированной NPV вероятность, с

которой та будет достигнута, начиная с некоторого уровня будет выше для проекта В, чем

для проекта А. Таким образом, мы подошли к правилу 1.

Правило 1: Если кумулятивные профили рисков двух альтернативных проектов не

пересекаются ни в одной точке, тогда следует выбирать тот проект, чей профиль рисков

расположен правее.

Случай 5: Пересекающиеся кумулятивные профили рисков альтернативных

проектов (см. Рис.4.6.).

Рис. 4.6. Чистая текущая стоимость

Склонные к риску инвесторы предпочтут возможность получения высокой

прибыли и, таким образом, выберут проект А. Несклонные к риску инвесторы предпочтут

возможность нести низкие потери и, вероятно, выберут проект В.

Правило 2: Если кумулятивные профили риска альтернативных проектов

пересекаются в какой-либо точке, то решение об инвестировании зависит от склонности к

риску инвестора.

Ожидаемая стоимость агрегирует информацию, содержащуюся в вероятностном

распределении. Она получается умножением каждого значения результативного

показателя на соответствующую вероятность и последующего суммирования результатов.

Сумма всех отрицательных значений показателя, перемноженных на соответствующие

вероятности есть ожидаемый убыток. Ожидаемый выигрыш - сумма всех положительных

значений показателя, перемноженных на соответствующие вероятности. Ожидаемая

стоимость есть, конечно, их сумма.

В качестве индикатора риска ожидаемая стоимость может выступать как надежная

оценка только в ситуациях, где операция, связанная с данным риском, может быть

повторена много раз. Хорошим примером такого риска служит риск, страхуемый

страховыми компаниями, когда последние предлагают обычно одинаковые контракты

большому числу клиентов. В инвестиционном проектировании мера ожидаемой

стоимости должна всегда применяться в комбинации с мерой вариации, такой как

стандартное отклонение.

Инвестиционное решение не должно базироваться лишь на одном значении

ожидаемой стоимости, потому что индивид не может быть равнодушен к различным

комбинациям значения показателя отдачи и соответствующей вероятности, из которых

складывается ожидаемая стоимость.

2. Издержки неопределенности. Издержки неопределенности или ценность

информации, как они иногда называются, - полезное понятие, помогающее определить

максимально возможную плату за получение информации, сокращающей

неопределенность проекта. Эти издержки можно определить как ожидаемую стоимость

возможного выигрыша при решении отклонить проект или как ожидаемую стоимость

возможного убытка при решении принять проект.

Ожидаемая стоимость возможного выигрыша при решении отклонить проект

иллюстрируется на Рис.4.7 и равна сумме возможных положительных значений NPV,

перемноженных на соответствующие вероятности.

Рис. 4.7. Ожидаемая стоимость возможного выигрыша при решении отклонить

проект

Ожидаемая стоимость возможного убытка при решении принять проект,

отрицательных значений NPV, перемноженных на соответствующие вероятности.

Рис. 4.8. Ожидаемая стоимость возможного убытка при решении принять проект

Оценив возможное сокращение издержек неопределенности при приобретении

дополнительной информации, инвестор решает, отложить решение принять или отклонить

проект и искать дополнительную информацию или принимать решение немедленно.

Общее правило таково: инвестору следует отложить решение, если возможное

сокращение в издержках неопределенности превосходит издержки добывания

дополнительной информации.

3. Нормированный ожидаемый убыток. Нормированный ожидаемый убыток (НОУ)

- отношение ожидаемого убытка к ожидаемой стоимости:

НОУ = ожидаемый убыток/(ожидаемый выигрыш + ожидаемый убыток)

Этот показатель может принимать значения от 0 (отсутствие ожидаемого убытка)

до 1 (отсутствие ожидаемого выигрыша). На Рис.5 он представляется как отношение

площади под профилем риска слева от нулевого NPV ко всей площади под профилем

риска.

Проект с вероятностным распределением NPV, таким, что область определения

означает абсолютную неподверженность риску проекта. С другой стороны, проект,

область определения профиля риска NPV которого ниже 0, полностью подвержен риску.

Данный показатель определяет риск как следствие двух вещей: наклона и

положения профиля риска NPV по отношению к разделяющей вертикали нулевого NPV.

4. Коэффициент вариации. Он представляет собой стандартное отклонение

результативного показателя, деленное на его ожидаемую стоимость. При положительной

ожидаемой стоимости чем ниже коэффициент вариации, тем меньше проектный риск.

Как видим, два последних рассмотренных показателя характеризуют риск

исследуемого проекта. Однако, если нормируемый ожидаемый убыток есть

относительный показатель и дает возможность судить о риске отдельно взятого проекта

(скажем, неудовлетворительным считается проект, НОУ которого более 40%), то

коэффициент вариации - это абсолютный показатель, и потому представляется более

удобным его использовать при сравнении альтернативных проектов.

5. Показатели предельного уровня. Степень устойчивости проекта по отношению к

возможным изменениям условий реализации, а значит и степень риска может быть

охарактеризована показателями предельного уровня объемов производства, цен

производимой продукции и других параметров проекта. Предельное значение параметра

проекта для некоторого t-го года его реализации определяется как такое значение этого

параметра в t-ом году, при котором чистая прибыль участника в этом году становится

нулевой. Одним из наиболее важных показателей этого типа является рассмотренная

ранее точка безубыточности, характеризующая объем продаж, при котором выручка от

реализации продукции совпадает с издержками производства. Для подтверждения

работоспособности проектируемого производства (на данном шаге расчета) необходимо,

чтобы значение точки безубыточности было меньше значений номинальных объемов

производства и продаж (на этом шаге). Чем дальше от них значение точки

безубыточности (в процентном отношении), тем устойчивее проект. Проект обычно