Динамикалық айнымалылардың орташа мәндері
жүктеу/скачать 1.13 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 3 Физикалық шаманың дисперсиясы. Физикалық шама белгілі бір мәнге ие болатын шарт.
- 4 Екі динамикалық айнымалы белгілі бір мәнге ие болатын шарт (динамикалық шамалардың өлшемділік шарты)
- 5 Негізгі динамикалық айнымалылардың операторлары және олардың арасындағы коммутативтілік қатынасы.
- 6. Себеп-салдарлық байланыстың кванттық механикалық формасы. Шредингер теңдеуі.
|
§2 Динамикалық айнымалылардың орташа мәндері. Динамикалық айнымалылардың операторлар арқылы бейнеленуі. Де – Бройль толқындарының статикалық тұжырымдалуымен, бір уақыт мезетінде элементар бөлшектің күйін, классикалық материалдық нүктемен салыстырғанда, белгілі координаталар және импульс проектиялары мәндерімен сипаттауға болмайтындығы шығады. Көрсетілген шамаларды өлшеудің нәтижесә қандай болатындығын алдын ала болжауға болмайды. Тек көлемнің берілген элементінде бөлшектің болу және берілген аралықта координаттары мен импульстерінің проекцияларына ие болу ықтималдығы қандай болатындығын ұсынуға болады. Координаттар мен импульстардың функциялары болатын, басқа динамикалық айнымалылардың мәндерін де жалпы айтсақ, дәл анықтап және осы динамикалық айнымалыны өлшеу нәтижесі қандай болатындығын дәл болжауға болмайды. Сондықтан да кванттық механикада динамикалық айнымалылар кездейсоқ шамалар ретінде қарастырылып, ықтималдылық теориялар әдістерімен сипатталуы керек. Алайда, динамикалық айнымалылар белгілі бір мәнге ие болатын, жеке, бірақ өте маңызды, жағдайлар болады. Бұл жағдайлар жеке қарастырылатын болады. Ықтималдылық теориясынан кездейсоқ шамаларды сандық сипаттамалармен сипаттауға болатындығы белгілі. Оның ішінде ең маңыздылары математикалық үміт (ол орташа мән деп те аталады) және дисперсия. Біз осы параграфта математикалық үміт түсінігін анықтауымыз керек. Тек қана координатаға тәуелді болатын шаманың математикалық үмітін анықтау ең оңайы. Рі ықтималдығы бар, Li мәнін қабылдайтын, дискреті L кездейсоқ шаманың математикалық үміті мына формуламен өрнектеледі: (1) Бөлшек орналасуы мүмкін V кқлемін элементтеріне бөліп, әрбір элементте Мі нүктесін таңдап алайық. элементіне бөлшектің түсу ықтималдығы былай жазылады: мұнда, - ықтималдықтың тығыздығы. Осы кезде (1) формуласы былайша түрге қайта жазылады: (2) Max о кезінде шекке ауысудан мынаны аламыз: (3) Бөлшекті анықтау ықтималдылығының тығыздығы толқындық функцияның модулінің квадратына тең екені -ден белгілі: (4) (4)-ті (3)-ке қойып, көбейтінділердің орнын ауыстыру арқылы мынаны аламыз: (5) Бұл формуланың түрі жалы жағдайғы формула түріне келу үшін, көбейтінділер орны ауыстырылды. Динамикалық айнымалылардың кейбіреуі ғана тек координатаға тәуелді болады. Бұл айнымалыларға потенциалдық энергия жатады. Динаикалық айнымалылрадың көпшілігі координатаға да, импульс проекциясына да тәуелді немесе тек импульс проекциясына ғана тәуелді болып келеді. Осы жағдайға арналған математикалық ожиданияның өрнегінің теориялық қорытыдысы өте күрделі. Сондықтан кванттық механика курсында математикалық ожиданияның фрмуласы постулат ретінде беріледі. Содан кейін ол постулат салдармен тексеріледі. Математиканың постулаттарымен салыстырғанда кванттық механика постулаттары айқын емес. Математикалық ожидания туралы постулатты түсіндіру үшін біз оған қарапайым жеке жағдайдан шығып барамыз, яғни индуция әдісін пайдаланамыз. Белгілі импульсі бар бөлщектің күйі де-Бройльдің жазық толқынымен сипатталатындығы белгілі: (6) Егер бөлек V көлемінде локальденген болса, онда нормалаушы А тұрақтысы мәніне тең. Бұл жағдайда (7) (7) теңдігін импульстің қандай да бір проекциясына, мысалға рх-ке көбейтеміз. Бұл жеке жағдайда орташа мәні рх нақты мәнімен дәл сәйкес келетіндігін ескеріп жазуға болады: (8) туындысы (6) формуласы кезінде түрінде жазуға болады. Сондықтан (8) өрнегін қайта жазамыз: (9) (9) өрнегі (6)-толқындық функциясы мен күйі сипатталатын еркін бөлшек қана үшін емес, сонымен қатар кез келген күйдегі бөлшек үшін де ақиқат екен деп болжам жасайық. (5) формуласымен салыстыру арқылы, шамасының ролін рх импульс проекциясы жағдайында -операторы атқаратындығын көреміз. (9)-ға ұқсас формулалар және проекциялар үшін де жазылуы мүмкін. Осылайа импульстің құраушылары үшін операторлары қойылса, векторына операторы қойылады мұнда («набла») операторы Енді келесі постулатты қарастырайық. Динамикалық айымалының математикалық үміті есептеу үшін (10) операторын динамикалық L айнымалымен сәйкестендіріп, импульстар поекциясының L шамасының классикалық өрнегінде операторларымен ауыстырып, төмендегі формула бойынша L шамасының математикалық үмітін есептеу керек: (11) Кванттық механикада операторлардың мәні математикалық ожиданияны табумен ғана шектелмейді. Динамикалық айнымалыларды білдіретін операторлар негізінде келесі параграфтарда басқа да сұрақтарды қарастыратын боламыз. Динамикалық айнымалылардың орташа мәні әрине санық шамалар болуы керек, алайда толқындық функцилар комплекстік болуы мүмкін. Егер L операторы эрмиттік болса, онда сандық екенін оңай көруге болады. Шыныменде мынаны қарастырайық: (12) Параграф 1-дің (3) формуласынан ескеріп, екенін көреміз, яғни сандық болатындығын. Осылайша, динамикалық айнымалыларды білдіретін операторлардың элементтік шарттары, олардың орташа мәдерінің сандық шарттарын білдіреді. (12)-ге L операторының өздік функциялары бойынша толқындық функцияларының таралуын қоямыз: (13) сонымен қатар комплексті түйіндескен функцияны да қоямыз (13а) операторын қосынды таңбасының астына енгізу арқылы, қосындыларды көбейтіп және де мүшелеп интегралдау арқылы мынаны аламыз: 14 операторының өздік функцияларын болатындықтан, мұнда -оператордың өздік мәндері. -ді интеграл таңбасына енгізіп, функциясының ортонормаландырушылығын қолданып: Осы кезде мынаны аламыз: (15) Бұл екі мәрте қосындыда болатын мүшелері ғана нөлден өзгеше, сәйкесінше алатынымыз: (16) функциясының нормалау шартынан мынау шығады: (17) (16) мен (1)-ді алмастыру арқылы, операторының өздік мәндері кездейсоқ шамасының жіберілетін мәндері болып табылады, ал толқындық функцияның өздік функциялары бойынша Фурье қатарына жіктелу коэффициентінің модульдерінің квадрттары осы мәндердің ықтиалдықтары болып табылғандығын көреміз. Егер толқындық функция кез келген өздік функциямен сәйкес келсе, онда (13) таралуы тек қана бір мүшеге ие болады және . Бұл дегеніміз жеке жағдайда шамасын өлшеу кезінде біз бірге тең, ықтималдықпен мәнін аламыз. Егер толқындық функциясы (бөлшектің күйін сипаттайтын функция) физикалық шаманың операторының өздік фукциясы болса, онда физикалық шама белгілі бір мәнге ие болады деген сөз.Сонымен қатар оператордың өздік мәні физикалық шаманың белгілі бір мәні болып табылады. Келесі параграфта біз бұл қорытындыға келесі бір басқа жолмен келетін боламыз. Мысалы: Бөлшек аралығында Ох осі бойымен қозғалады. Оның күйі толқындық функциямен сипатталады. А номалаушы көбейткішті, бөлшектің орташа координатасын, бөлшектің орташа кинетикалық энергиясын табу керек. Шешімі: А көбейтікіші төмендег шарттан табылады: ; ; Осы жерден Орташа координата аралығының ортасында орналасқан. Бұл жағдайда бөлшек тек Ох осі бойынша ғана қозғалады, сондықтан кинетикалық энергияның опеаторы мына түрге ие болады: ; §3 Физикалық шаманың дисперсиясы. Физикалық шама белгілі бір мәнге ие болатын шарт. Кездейсоқ шаманың дисперсиясы-бұл кездейсоқ шама мәннің шашыраңқылығын сипатайтын, кездейсоқ шаманың сандық сипаттамасы. Ықтималдылық теориясында дисперсия кездейоқ шаманың оның өзінің математикалық үмітінен ауытқуының квадратының математикалық үміті ретінде анықталады: (1) Осы формуланы динамикалық айнымалыға қолданайық. шамасының операторы болып табылады. Екінші парграфтағы (2) формуласындағы операторының орынына операторын қойып, алатынымыз: (2) операторының квадратын операторларының көбейтіндісіне ауыстыру арқылы бұл формуланы қайта көшіріп жазайық: (3) Параграф бірдің үшінші формуласынан екенін ескеріп, оператордың өзаратүйіндесуін қарастырайық: (4) -теріс емес сандық шама болғандықтан, болады. Егер физикалық шамасы бөлшектің осы күйінде белгілі бір мәнге ие болса, онда орташа мәндерін осы мәндерімен сәйкес келеді және де дисперсия нолге тең болады. Бұл (4) өрнегіндегі интеграл астындағы функция нөлге сөзсіз тең болғанда ғана орынды болады: немесе (5) Керісінше, егер (5) шарты орындалатын болса, онда дисперсия нөлге тең болады. (5) шарты дегеніміз өздік мәніне сәйкес келетін операторының өздік функциясы екендігін білдіреді. Сонымен, бөлшектің осы берілген күйінде шамасы бір белгілі мәнге ие болуы үшін бөлшектің осы күйінің толқындық функциясы операторының өздік функциясы болғаны қажет және жеткілікті. Себебі, толқындық функциялар (5) теңдігінің шешімінің кейбір қоымша шарттарын (үздіксіздік, бірмәнділік, шексіздікте нолге айналушылық) қанағаттандыру керек, мүмкін барлық үшін емес тек өздік мәндерінің спетріне жататын, мәндері үшін ғана мүмкін болуы керек. (5) теңдігін шеше отырып, тек қана өздік функцияларды анықтап қана қоймай, сонымен қата шешімі мүмкін болатын, қосымша шарттарды қанағаттандыратын, мәндерін табу, яғни өздік мәндердің спектрін табу керек. Осылайша, Бор теориясында физикалы шаалардың шамалардың жіберілетін стационар мәндері, электродинамика заңдарына қайшы келіп, жасанды түрде енгізілген кванттау заңдары негізінде болған уақытта, кванттық механикада физикалық шамлардың мүмкін болатын белгілі мәндері бірыңғай алгоритм бойынша сәйкес келеті операторлардың өздік мндері ретнде болады. Мысалы: потенциалдық энергиясы бар өрісте Ох өсінің нүктесінен нүктесіне дейінгі кесінді бойымен қозғалатын, бөлшектің импуьсінің квадратының өздік мәнін табу керек. Бөлек кесінді сыртына шықпайды. Шешімі: (Екінші параграфты қара) Импульстің х құрастырушысының операторы мына түрде екені белгілі: (6) Сәйкесінше, импульс квадратының операторы мына түрде болады: (7) Бұл жағдайда (5) теңдігі мына түрге ие болады: (8) Бұл жағдайда айнымалы біреу ғана, сондықтан Есептің шартына сәйкес шекаралық шарттар: (9) (8) теңдігі тұрақты коэффициенттері бар екінші реттік теңдік болып табылады. Сипаттамалық теңдеу құрастырайық: (10) Оның түбірлері: (11) (8) теңдеуінің жалпы шешімі мына түрде болады: (12) функциясы (9)-дың шекаралық шарттары қанағатандыруын талап етейік: (13а) (13б) десек, онда (12) функциясы нөлге айналады. Мұндай шешім қызығушылық тудырмайды, ол бөлшектің жоқ болуына сәйкес келеді. Сондықтан (13) ден шығатындай деп есептейміз, осы жерден ; және (14) -қа таңбасы -тың өздік мәндерін нөмірлеу үшін қойылған. (14) нәтижесін снымен қатар тікелей де-Бройль гипотезасынан алуға болады. Шектелген кесініде де-Броиль толқыны, түйіндері кесінді ұштарында болатын тұрғын толқын болуы керек. Сондықтан ұзындығында жарты толқындардың бүтін саны жатуы керек: осы жерден (15) Бұл мәнді импульс пен толқын ұзындықтары арасындағы де-Бройль қатынасына қойып алатынымыз: (16) бұл (14) формуласына сәйкес келетіндігіне көз жеткізуге болады. §4 Екі динамикалық айнымалы белгілі бір мәнге ие болатын шарт (динамикалық шамалардың өлшемділік шарты) Алдыдағы тараудағы қарастырылған, анықталмағандық қатынасы, координата мен бір есімді импульс проекциясы бір уақытта белгілі бір мәнге ие болмайтындығын көсетеді. Бір уақытта белгілі бір мәнге ие болмайтын, динамикалық айнымалылардың басқа да жұптары бар. Сонымен қатар динамикалық айнымалылар жұптары бір уақытта белгілі бір уақытта белгілі мәнге ие болатын жағдайлар бар, мысалы, екі координата, координата мен әр түрлі есімді импульс проекцясы және т.б. Динамикалық айнымалылардың мұндай жұбы бірігіп өлшеніп, ал бір уақытта бір мәнге ие бола алмайтын динамикалық айнымалылар жұбын – бірігіп өленбейтін деп атайды. Бұл параграфтың мақсаты – динамикалық айнымалылардың бірге өлшене алудың жалпы шарттарын (жалпы критериилерін) табу. Бұл шарт келесі теориямен анықталынған: Теорема: және динамикалық айнымалылары бірге өлшенуі үшін олардың операторлары коммутирленуі керек және жеткілікті, яғни (1) Қажеттілік дәлелдемесі: және динамикалық айнымалылары бір уақытта белгілі бір мәнге ие болатындығы берілген. Олардың операторлары коммутирленетіндігін дәлелдеу керек. Шартқа сәйкес, толқындық функциялары бір уақытта және операторларының өздік функциялары бола алатын,бөлшектер күйі болады: (2а) (2б) (2а) теңдігінің оң және сол жақ бөліктеріне операторымен әсер етейік, ал (2б) формуласының оң және сол бөліктеріне - операторымен әсер етейік. Операторлардың сызықтылығын пайдаланып: (3а) (3б) (3а) және (3б) теңдіктерінің оң жақтары тең, және де сол жақ бөліктерін де теңестіреміз: (4) (4) теңдігі және операторларының коммутирленетіндігін білдірмейді, себебі комутативтіліктің дәлелі үшін мынаны көрсету керек: , мұнда операторлар әсер ететін функциялар тобының кез келген функциясы екі оператордың да өздік функциясы. Алайда біз кез-келген функциясын өздік функциялары бойынша жіктей аламыз: Осылайша (4) теңдігін қолданып алатынымыз: (5) Қажеттілік дәделденді! Қажеттілік дәлелдемесін біз жалпы жағдай үшін емес, ал және операторының өздік мәндері қарапайым болатын жағдай үшін қарастырамыз. және операторының коммутирлейтіндігі, берілген. Олар ортақ өздік функциялар жүйесіне ие болатындығын дәлелдеу керек. - операторының өздік функциялары болсын, яғни (6) Сонымен қатар - операторының да өздік функциялары болатындығын дәлелдейік. Ол үшін операторымен (6) оң және сол жақ бөліктеріне әсер етейік. Операторлардың коммутативтілігі мен операторының сызықтылығын қолдана отырып алатынымыз: (7) Бұл жерден біз шамасы өздік мәні кезіндегі операторының өздік функциясы болатындығын көреміз. Осылайша өздік мәніне операторының екі өздік функциясы сәйкес келеді: және . Бірақ қойылған шектеулерге байланысты біз өздік мәндерін қарапайым деп есептейміз. Бұл дегеніміз, операторының әрбір өздік мәніне тек бір ғана сызықтық – тәуелсіз өздік функция сәйкес келе алады, ал алынған екі функция сызықтық-тәуелді болулары керек, яғни біз деп белгілейтін тұрақты көбейткішпен ерекшеленуі керек: (8) (8) теңдігі операторының өздік функциясы, яғни операторының өздік функциялары операторының өздік функциялары да бола алатындығын білдіреді. Теорема дәлелденді! Мысалы: потенциалдық энергия мен импульсінің проекциясы бір уақытта белгілі бір мәнге ие бола ала ма? Шешімі: Потенциалдық энергияның операторы көбейту операторы болып табылады. болып табылады. импульс проекциясының операторы түрінде болады. Осы операторлардың көбейтіндісімен берілген топтың кез-келген функциясына әсер етейік: Басқаша алғанда: Бұл жерден, жалпы айтқанда екендігі көрінеді, яғни операторлар коммутирлемейді және бұл дегеніміз сәйкес шамалар бір уақытта анықталған мәндерге ие бола алмайды дегенді білдіреді. Тек жеке жағдайда, шамасы х ке тәуелсіз болған жағдайда сәйкесінше операторлары коммутирлейді және де және шамалары белгілі мәнге ие бола алады. §5 Негізгі динамикалық айнымалылардың операторлары және олардың арасындағы коммутативтілік қатынасы. Негізгі динамикалық айнымалылардың операторлары мен классикалық өрнектелуінің бөлшектер декарттық координат жүйесіндегі кестесін қарастырайық.
Аталған операторлардың қай жұптары коммутирлейтіндігін, қайсылары коммутирлемейтіндігін қарастырайық. x,y,z, U(x,y,z) операторлары жұптанып коммутирлейтіндігі айқын, себебі бұл көбейту операторлары мен олардың көбейтінділері функцияларының қарапайым көбейтінділері блып табылады. Сонымен бірге аралас көбейтінділердің дифферанциалдану ретінде байланысты тәуелсіз болатын импульс проекцияларының жұяпталып коммутирлейтіндігі айқын: (1) Әрбір координата импульстің бір типті емес проекцияларымен коммутирлейді, себебі координатаны басқа тәуелсіз айнымалы бойынша көбейту таңбасының сыртына шығаруға болады: (2) Координата мен біртипті импульс проекцияларының коммутаторын қарастырайық: Осы жерден , осыған ұқсас (3) Операторлардың бұл коммутативсіздігі анықталмағандық қатынастарының өрнектерінде орын табады: Импульстің кез келген проекциясының операторы кинетикалық энергияның операторынмен коммутирледі, бірақ потенциалдық энергия оераторы мен коммутирлемейді, бұл дегеніміз толық энергия операторымен де коммутирлемейді дегенді білдіреді. Координаттар керісінше потециалдық энергиямен коммутирлейді де, ал бірақ кинетикалық энергия операторымен коммутирлемейді, ал бұл толық энергия операторымен де солай екендігін білдіреді. Координаттар мен импульс проекцияларының толық эрнергямен коммутаторларын өз бетінше қоытыту ұсынылады. Импульс моментінің пероекциялары бір бірімен коммутирлемейтігін көрсетейік. Мысалға мынаны қарастырайық: Операторларды көбейту кезінде, көбейткіштер ретімен ғана ерекшеленетін, көбейтінділерді жұптап біріктіреміз. Импульс проекциялары операторларының анық өрнектерін қоюдың қажеті жоқ. Екінші және үшінші жақшадағы операторлардың көбейтінділері коммутирлейді, сондықтан бұл коммутаторлар нөлге тең. Бірінші және төртінші жақшаларындағы операторлардың көбейтінділерінің құрамында және коммутирленбейтін операторлар бар, сонықтан бұл коммутаторлар нөлге айнала алмайды. Координаттардың импульстің біртипті емес проекцияларының операторларымен коммутивтілігін ескере отырып, бірінші жақшадан ал төртіншіден шығарамыз: (3) формуласын және операторының өрнегін (кестені қара) ескере отырып алатынымыз: , осыған ұқсас (4) Қозғалыс мөлшері моментінің әрбір проекциясының операторы қозғалыс мөлшерінің моментінің (операторының) квадратының операторымен коммутирлейтіндігін көрсетейік. Мысалға мынаны қарастырайық: (5) (4) коммутативтілік қатынасы негізінде, алатынымыз: Осы өрнектерді (5) формуласына қойып, мынаны аламыз: (6) Өз бетімен шешуге арналған жұмыстар: Импульстің кез келегн проекциясы және кез келген бір координатының толық энергия операторымен коммутаторларын табыңыз. импульс проекциясы қозғаыс мөлшерінің моментінің проекциясымен өлшенетіндігін және пен пен өлшенбейтіндігін көрсетіңіз. коммутаторларын табыңыз. коммутаторларын табыңыз. Бақылау сұрақтары (1-5 арналған) Қандай операторлар сызықты деп аталады? Қандай операторлар эрмитті деп аталады? Қандай операторлар коммутирлейтін деп аталады? Коммутирлейтін және коммутирлемейтін операторларға мысалдар келтіріңіз? Сызықтық операторлардың өздік мәндері мен өздік функцияларының анықтамаларын беріңіз? Өздік мәндердің еселілігі деген не? Қандай функциялар сызықты тәуелсіз деп аталады? Эрмиттік операторлардың өздік мәндері мен өздік функциялары қандай қасиеттерге ие болады? Қадай функциялар ортогональдыө деп аталады? Кез келген функцияның эрмиттік операторының өздік функциясы бойынша Фурье қатарына жіктелуін жазыңыз. Бөлшек координатына тәуелді, физикалық шаманың орташа мәнін жазыңыз. Бұл өрнек ықтималдылық теорияның қай формуласына шығады? Бөлшектің импульстері мен координатына тәуелді, динамикалық айнымалының операторын қалай құруға болады? Оператордың өзін өзі түйіндеу талабының қандай физикалық мағынасы бар? Кез келген динамикалық айнымалының математикалық үміт өрнегін жаз? Ықтималдылы теориясында дисперия нені сипатайды және нені анықтайды? Бөлшектің динамикалық айнымалысының дисперсиясының кванттық механикалық кванттық механикалық өрнегін жазып беріңіз? Қандай шартта динамикалық айнымалы белгілі бір мәнге ие болады? Динамикалық айнымалылардың қай жұбын бір өлшенетін деп атайды? Динамикалық айнымалылардың өлшемдестік шарты туралы теореманы тұжырымдаңыз? Қозғалыс мөлшері моменті және оның проекцияларының, толық энергияның, кинетикалық энергиясының импульс проекцияларының операторларын жаз. Өлшеді және өлшемсыз динамикалық айнымалылар жұптарына мысалдар келтіріңдер. §6. Себеп-салдарлық байланыстың кванттық механикалық формасы. Шредингер теңдеуі. Кез келген физикалық үрдіс (процесс) зерттелетін материалдық объекінің күйінің үздіксіз ауысып отыруымен сипатталады. Күйлердің өзгеруі материяның ең негізгі қасиеті-қозғалыстың туындауы болып табылады және де ол объектінің өз қоғалысы және оның құрама бөлшектерінің өзара әсерлесуі нәтижесінде де, сонымен қатар осы объектке сыртқы әсерлер нәтижесінде де пайда болады. Себептілік принципі-әрбір объект үшін оның күйінің өзгеруі мен осы объектіге сыртқы әсерлердің болуы арасындағы тәуелділіктің бар негізделеді. Физиканың кез келген тарауының неізгі теңдеуі осы аталған тәуелділікті, осы оқылатын тарауда зерттелетін, материалдылық объектілер үшін құрастырады. Сбептілік принципі-материалдық объектілердің қасиеттерін білу, оның қандай да бір уақыт мезентіндегі күйі мен сыртқы әсерлерін білу объектлердің кез келген келесі уақыт мезетіндегі күйін анықтай алуға мүмкіндік беруін талап етеді. Осылайша, классикалық механикада себептілік принципі жалпы түрде Гамильтон теңдеулерімен өрнектеледі. (1) Мұнда, -жалпыланған координаттар, -жалпыланған импульстер, -Гамильтон функциясы. Егер Гамильтон функциясы уақытқа тәуелді болмаса, ол жүйенің толық механикалық энергиясы ретінде жұмасалды (кинеикалық және потенциалдық энергиялар қосындысы). Гамильтон функциясы жүйенің ішкі өзара әсерлесуі мен жүйе күйінің өзгеруін анықтайтын, жүйеге сырттан өзара әсер ететін ақпараттардан тұрады. және туындыларын білу шексіз аз уақыт аралығындағы жалпыланған координаттар мен импульстердің өзгерін тікелей анықтауға мүмкіндік берсе, ал (1) теңдігін интегралдау кез келген келесі бір уақыт мезетіндегі мен -ді анықтауға мүмкіндік береді. Ғарыш кемелері мен серіктердің қозғалысын есептеу, басқа да астрономиялық құбылыстардың болуын бірнеше жыл бұрын алдыға есептеп болжау, күннің және айдың тұтылуын болжау осылардың барлығы, механикалық жүйенің күйін болжаудың жақсы мысалы бола алады. Электродинамикада, себептілік принципін білдіретін, өрнектер Максвелл-Лоренц теңдеулері болып табылады. (2) Осы теңдеулерден және векторларының бастапқы уақыт мезетіндегі өріске және ток тығыздығына тәуелді болған кездегі қалай өзгеретіндігін табуға болады. Токтар мен зарядтардың таралуының өзгеріске тәуелді болып келетін электромагнитік өрістің өзгерісі, мысалы кешігуші потенцалдармен өрнектеледі. (3) Осы парагафтың мақсаты кванттық механиканың негізгі теңдеуін құру болып табылады, яғни кванттық механикадағы себептілік принципін білдіретін, Шредингер теңдігін құру болып табылады. Физиканың кез келген тарауының негізгі теңдіктері қорытындыланбайды, ал ол аналогиялардан, индуктивтік талқылаулардан, жалпыланған жекеше заңдылықтардан негізделініп құрылады. Теңдіктер олардан шығатын салдармен тәжірибелер нәтижесін салыстыру жолымен тексеріледі. Кванттық механикада бөлшектің күйі толқындық функциясымен анықталады. Бөлшектің бастапқы күйі берілген делік, яғни бастапқы уақыт мезетіндегі толқындық функция берілген болсын. Себептілік принципі бойынша, -ны арқылы өрнектеуге мүмкіндік беретін, тек қана кеңістік айнымалыларға әсер ететін, операторы абылу керек: (4) уақыт мезеті ойша алынғандықтан, (4) теңдігін кез келген уақыт мезетіне жазуға болады. операторы кординаттар мен уақытқа тәуелді бола алады, бірақ айнымалысына әсер ете алмайды: (5) Егер оператор анықталған болса, онда мәнін анықтау арқылы, -ге шексіз жақын, -уақыт мезетіндегі функциясын өрнектеуге болады: (6) Кез келген уақыт мезетіндегі анықтау үшін (5) теңдігін шешу керек. операторының түрін анықтау үшін еркін бөлшектің қозғалысын қарастырайық, яғни кеңістіктің барлық нүктелерінде потенциалдық энергиясы тұрақты мәніне ие болатын, шексіз кеңістіктегі қозғалатын бөлшектің қозғалысын қарастырамыз. Потенциалдық энергияның тұрақтылығы, болғандықтан, күшке күштер әсер етпейді дегенді білдіретіндігін, ескертейік. Осы жағдайда бөлшектің күйі де –Броильдің жазық толқынымен сипатталады: (7) Мұнда бөлшектің толық энергиясы, -кинетикалық энергия. Әрбір координаты бойынша (7) өрнегін екі рет дифферанциалдамыз: (8) Бұл теңдіктерді қосып мына өрнекті аламыз: (9) (7) өрнегін бойынша дифферциалдап, алатынымыз: (10) (9) бен (10)-нан -ді өрнектеп шығарайық: (11) (12) (11) және (12) теңдіктерінің оң жақ бөліктерін тексеру арқылы мына теңдікті аламыз: (13) Енді кеңістік, әрбіреуінде потенциалдық энергия тұрақты мәніне ие болатын, облыстар қатарына бөлінсін, ал осы облыстар шекараларында секіруге душар болсын делік. Онда, функциясының әрбір облысына мына теңдікке қанағаттандыру керек екені, айқын болады: (13а) ал облыстар шекараларында функция және оның туындылары үздіксіз болу керек. Егер енді біз шекараларда секірулерді кеміте отырып, облыстар саны шексіз арттыратын болсақ, онда шекте (13) теңдікті, координаттардың үзіксіз функциясы болатын, потенциалдық энергиясын алатын боламыз: (14) Міне осы Шредингердің теңдеуі-кванттық механиканың негізгі теңдеуі болып табылады. (15) Операторы толық энергия операторы болып табылады және (5 парарафтағы кестені қараңыз) гамильтоннан деп аталады. Шредингер теңдеуінің қысқаша түрі былайша жазылады: (16) Осы жерден көретініміз, ізделінді, толқындық функцияны оның уақыт бойыншатуындысымен байланыстыратын, операторы мына түрге ие болады: (17) Шредингер теңдеуі элементар бөлшектердің толқындық қасиеттерін сипаттайды. Кванттық механиканың дамуының бірінші сатысында ол толқындық теңдеу деп аталған. Механикалық және электромагниттік толқындарды сипаттайтын, толқындық теңдеу мына түрде болатыны анық: (18) Мұнда -тербелістерді (бөлшектердің тепе-теңдік жағдайынан ауытқуы, электрлік және магнит өрісінің кернеулігінің құрушысы, скалярлық потенциал немесе векторлық потенциалдық құраушысы) сипаттайтын, функция; -толқыннның таралу жылдамдығы. Шредингер теңдеуінің классикалық толқындық теңдеуден принципиалдық ерекшелігі мынада: Шредингер теңдігі уақытқа байланысты бірінші реттік теңдеу, ал классикалық теңдеу-екінші реттік теңдеу болып табылады. Бұл, кванттық механикада толқындық функция толығымен бөлшектің күйін сипаттаса, механика да тербелмелі ортаның күйін сипаттау үшін тек қана ортасының бөлшегінің ығысуын ғана беру жеткіліксіз, сонымен қатар олардың жылдамдықтарын да беру қажет болатын, осы фактілерді білдіреді. Шредингер теңдігін шешу кезінде бастапқы берілгендер ретінде -ны беру жеткілікті, ал классикалық толқындық теңдікті шешу үшін және беру қажет. Шредингер теңдігінің құрамында ойша бірлік бар екендігіне көңіл аударайық. Сәйкесінше, толындық функция комплекстік шама болып табылады. Әрине, комплекстік шамалар физикалық шама бола алмайды, яғни өлшенілмейді. Физикалық мағынаға толқындық функцияның өзі емес, біз білетіндей бөлшектің анықталу ықтималдылығының тығыздығы болып табылады, оның модулінің квадраты ие болады. уақыт бойынша өзгеруі арналған теңдік арқылы емес, функциясына арналған Шредингер теңдігі арқылы өрнектеледі. Де-Бройль толқындары өзінің физикалық мазмұны бойынша да, математикалық сипаттамасы бойынша да, механика мен электродинамикада зерттелінетін (қарастырылатын), толқындардан сапалы түрде ерекшелінетіндігін, көріп отырамыз. Де-Бройль толқыны, қысқаша айтқанда, бұл бөлшекті анықтау ықтималдылығының толқыны. Шредингер теңдеуінен алып, ықтималдылық тығыздығы (энергия тығыздығы, заряд тығыздығы және зат тығыздығы үшңн алынған белгілі үздіксідік теңдеулеріне ұқсас) үздіксіздік теңдеуін қанағаттандыратындығын, көрсетуімізге болады: (19) мұнда ықтималдылық ағынының тығыздығы мын түрде болады: (20) ( векторы заттық екенін, (20) өрнегінде ойша бірлік болғанына қарамастан, ойша анықтаңыздар), (19), (20) формулаларының қорытындыларын кванттық механиканың кез келген оқулығынан тауып алуға болады. (19) теңдігінен, егер уақыттың бастапқы мезетінде норалау шартын қанағаттандырса, онда кез келген келесі уақыт мезетінде бұл шарт орындалатын болады қорытынды шығады. Шынымен де, бөлшек локалданған көлем бойынша (19) теңдігін интегралдау арқылы және де Остроградский-Гаусс теоремасын қолдана отырып алатынымыз: Себебі, көлемнің бетінде , онда , осыдан шығатындай: жүктеу/скачать 1.13 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|