Дирак дельта функциясы
жүктеу/скачать 18.6 Kb.
|
|
Жалпыланған функциялар теориясы – бұл физикалық шамалардың үзілмелі және сингулярлық үлестірімдерімен жұмыс істеуге мүмкіндік беретін математикалық обьектілер. Математикалық талдаудың бір бөлігі болып саналатын бұл бөлім функцияның жалпыланған қасиеттерін зерттеуде қолданылады деп айтсақта болады. Олардың кіріспесі математикалық модельдеудегі нағыз жетістік болды. Теорияның пайда болуының негізгі бастамасы жалпыланған функциялар теориясының қажеттілігі физикада пайда болды. Біршама физикалық құбылыстар жарылғыш немесе тіпті сингулярлық үлестірімдермен сипатталады. Мысалғы, электр заряды белгілі бір нүктеде шоғырлануы мүмкін. Математик Н.М.Гюнтер 1916 жылы осындай үлестірімдерді сипаттау үшін функция ұғымын жалпылауға тырысты. Кванттық механика шеңберінде дельта функциясын және оның туындыларын элементар бөлшектердің қасиеттерін сипаттау үшін жүйелі түрде қолданған Пол Дирак үлкен үлес қосты. Алайда, ол кезде дельта функциясының ресми математикалық анықтамасы әлі болған жоқ. Теорияның негізгі ұғымдары 1930 жылдары С.Л.Соболев функционалды талдау идеялары негізінде жалпыланған функция ұғымын енгізді. Жалпыланған функция негізгі функциялардың кейбір кеңістігінде сызықтық үздіксіз функционал ретінде қарастырылып, анықталған болатын. Жалпыланған функциялардың мысалдарын төмендегідей көрсетсек болады: Дирак дельта функциясы - Хевисайд функциясы - Жалпыланған функциялар теориясының көмегімен үлестірмелі және сингулярлық үлестірімдерді орнатуға болады. Сонымен қатар жалпыланған функцияларда операциялардың үлкен классы анықталған. сызықтық операциялар (қосу, санға көбейту) дифференциалдау және интеграциялау свертка (конволюция) фурье түрлендірулері Лоран Шварц жалпыланған функциялар теориясының дамуына зор үлкен қосқан ғалым болып табылады. Ол қолында бар білімін бір жүйеге келтіріп, жалпыланған функцияларды, атап айтсақ теориялық физикада қолданудың көптеген салаларын көрсетті. Әрі қарай жалпыланған функциялар дифференциалдық теңдеулерді шешуде, сондай-ақ, инженерлік есептеулерде және басқада салаларда қолданыс тапқан. Универсалдығының арқасында жалпыланған функциялар теориясы әртүрлі салаларда кең қолданылады: теориялық физика және механика математикалық биология сигналдарды өңдеу басқару теориясы Оларды пайдалану математикалық модельдеуде едәуір жеңілдетуге және шешілетін есептер классын кеңейтуге мүмкіндік береді. Дирак дельта функциясы – нүктелік масса немесе нүктелік заряд сияқты идеалдандырылған нүктелік объектіні бейнелеуге арналған математикалық құрылымға берілген атау. Ол кванттық механикада және кванттық физиканың қалған бөлігінде көп қолданылады Өйткені, ол әдетте кванттық толқындық функцияда қолданылады. Дельта функциясы функция ретінде жазылған гректің кіші дельта белгісімен ұсынылған: . Дельта функциясы келесі түрде жұмыс жасайды. Бұл көрініске Дирактың дельта функциясын 0 мәнінен басқа барлық жерде 0 мәніне ие болатындай етіп анықтау арқылы қол жеткізіледі. Бұл кезде ол шексіз биіктіктің шашырауын білдіреді. Барлық түзу сызықта алынған интеграл 1-ге тең. Оны есеп шығару барысында міндетті түрде байқауға болады. Басқа түрде айтсақ, бір өлшемді айнымалысы бар ең қарапайым функциясының кейбір кездейсоқ мәндері келесідей: Функцияны тұрақтыға көбейту арқылы үлкейтуге болады. Есептеу ережесіне сәйкес, тұрақты мәнге көбейту интегралдың мәнін осы тұрақты коэффициентке арттырады. Барлық нақты сандар бойынша интегралы 1 болғандықтан, оны тұрақтыға көбейту жаңа интеграл береді, сол тұрақтыға тең болады. Мысалы, барлық нақты сандар бойынша интегралы -ге тең. Бұл қысқаша кіріспе болып табылады. Жалпы бұл тақырып өте күрделі. Түсіну керек ең басты нәрсе ол, Дирак дельта функциясы негізінен функцияның интеграциясын мағыналы ету үшін қолданылады. Ағылшын теориялық физигі Пол Дирак 1930 жылғы жазылған өзінің «кванттық механика принциптері» кітабында кванттық механиканың негізгі элементтерін, соның ішінде жақша белгілерін, сондай-ақ оның Дирак дельта функциясында сипаттады. Олар Шрединге теңдеуінің бөлігі ретінде кванттық механика саласындағы стандартты ұғымдарға айналды. Хевисайд функциясы – бөліктік тұрақты функция аргументтің теріс мәндері үшін нөлге тең және оң мәндері үшін біреу болып саналады. Нөлде бұл функция, жалпы айтқанда анықталмаған, бірақ ол әдетте осы нүктеде функцияның анықталу облысы нақты осьтің барлық нүктелерін қамтитындай белгілі бір санмен толықтырылады. Бұл функция атауы Оливер Хевисайдтың құрметіне аталған. Бұл қадамдық функциялардың жалпы класының мысалы, олардың барлығы осы функцияның аудармаларының сызықтық комбинациялары ретінде ұсынылуы мүмкін. Көбінесе, функция нөлде қандай мән алатыны маңызды емес, сондықтан Хевисайд функциясының әртүрлі анықтамаларын қолдануға болады, мысалы: Функция бастапқыда операциялық есепте дифференциалдық теңдеулерді шешу үшін әзерленді, мұнда ол белгілі бір уақытта қосылатын және шексіз қосылып қалатын сигналды білдіреді. Операциялық есептеуді телеграфтық хабарламаларды талдау құралы ретінде әзірленген Оливер Хевисайд бұл функцияны 1 ретінде енгізді. Хевисайд функциясы басқару теориясы мен сигналдарды өңдеу теориясының математикалық аппаратында белгілі бір уақытта бір күйден екінші күйге ауысатын сигналдарды көрсету үшін кеңінен қолданылады. Математикалық статистикада бұл функция, мысалы, эмпирикалық үлестіру функциясын жазу үшін қолданылады. жүктеу/скачать 18.6 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|