ДЩрістіЈ ›ыс›аша тезистері

Та›ырып: Матрица жЩне о“ан ›олданылатын амалдар.

Ма›саты: Матрица ±“ымын енгізу. Олар“а ›олданылатын амалдарды Їйрету.

љарастырылатын с±ра›тар:

Матрица тЇсінігі.

Матрица йлшемі, тЇрлері.

Матрицаларды ›осу, кйбейту. Матрицаны сан“а кйбейту.

Элементар тЇрлендірулер.

А=µ §

µ § санын А матрицасына кйбейту Їшін, оныЈ Щрбір элементін сол сан“а кйбейту ›ажет

Бірдей йлшемді А жЩне В матрицаларыныЈ ›осындысы деп йлшемі А мен В йлшеміндей, элементтері А мен В элементтерініЈ ›осындысыны теЈ матрицаны атайды.

А жЩне В матрицаларыныЈ кйбейтіндісі деп сij ЁC элементтері А матрицасыныЈ i ЁC ші жаты› жолы элементтерін В матрицасыныЈ j ЁC ші тік жолыныЈ сЩйкес элементтеріне кйбейтіп ›ос›ан“а теЈ С матрицасын атайды.

МатрицаныЈ рангісі.

N матрицаныЈ саны. r ЁC матрицаныЈ рангісі.

µ § µ §

µ §µ §

µ §

µ §

љасиеттері.

10 µ § Їлестірімділік заЈы. Дистрибутивтілік.

20 µ §

Транспандал“ан матрица.

А)Егер матрицаныЈ жолы мен ба“аныныЈ ф-нфЈ олардыЈ ретін са›тай отырып ауыстырса, онда шы››ан матрицаны транспандал“ан матрица деп атайды.

АТ- белгіленуі.

µ § µ §

љайталау с±ра›тары:

Трансондан“ан матрица.

Матрица, реті, тЇрі.

Матрицаны элементар тЇрлендіру.

Матрицалар ›осындысы, кйбейтіндісі.

Шдебиеті: [1], [3], [4].

Та›ырып: Аны›тауыштар жЩне оныЈ ›асиеттері. Екінші, Їшінші ретті аны›тауыштар.

Ма›стаы: Екінші, Їшінші ретті аны›тауыш ±“ымын енгізу, ›асиеттерімен таныстыру. Оларды табу жолдарын ›арастыру.

љарастырылатын с±ра›тар:

Аны›тауыш тЇсінігі.

Екінші, Їшінші ретті аны›тауыштар, табу жолдары.

Аны›тауыш ›асиеттері.

Аны›тама. Екінші ретті квадрат А матрицасына сЩйкесті екінші ретті аны›тауыш деп санды атайды жЩне былай белгілейді

µ §=а11а22 ЁC а21а12

Мысал. Мына аны›тауышты µ § есептеу керек

µ §= µ §

Екінші ретті аны›тауыш екі жаты›, екі тік жолдардан аны›тал“ан, а11, а12 элементтері ЁC екінші ретті аны›тауыштардыЈ бірінші, ал а21, а22 , екінші жаты› жолдарын ›±райды, а11, а12 ЁC екінші ретті аны›тауыштыЈ бірінші, ал а12, а22 екінші тік жолдарын ›±райды.

Аны›тауыштыЈ аij элементтерініЈ бірінші і индексі оныЈ жаты› жолыныЈ нймірін, ал екінші j индексі тік жолыныЈ нймірін аны›тайды. Аны›тауыштыЈ жо“ар“ы сол элементі (а11) мен тйменгі оЈ жа› элементі (а22) осы аны›тауыштыЈ негізгі диоганалын білдіреді, я“ни а11 мен а22 элементтері ЁC екінші ретті аны›тауыштыЈ негізгі диоганалыныЈ элементтері, ал жо“ар“ы оЈ элементі а12 мен а21 ЁC›осал›ы диоганалыныЈ элементтері.

Екінші ретті аны›таушты есептеу Їшін оныЈ негізгі диоганал элементтерініЈ кйбейтіндісінен, я“ни а11 а22 кйбейтіндіден ›осал›ы диоганал элементтернініЈ кйбейтіндісін, я“ни а21 *а12 кйбейтіндіні, алса› жеткілікті. Сонымен, екінші ретті аны›тауыштыЈ есеттеуіндегі Щр ›осыл“ыш, осы аны›тауыштыЈ екі элементініЈ кйбейтіндісінен аны›тал“ан жЩне кйбейтіндідегі кйбейткіш аны›тауыштыЈ тік жЩне жаты› жолдарыныЈ тек бір “ана элементінен аны›тал“ан.

®шінші ретті аны›тауыш туралы тЇсінік.

Аны›тама. ®ш ретті квадрат матрица“а сЩйкесті Їшінші ретті аны›тауыш деп

а11 а22 а33 +а12 а11 а23 а31 +а13 а21 а32 -а13 а22 а31 -а12 а21 а33 -а11 а23 а32 санын атап, мына симвро ар›ылы белгілейді:
µ §= а11 а22 а33 +а12 а11 а23 а31 +а13 а21 а32 -а13 а22 а31 -а12 а21 а33 -а11 а23 а32

Енді аны›тауыш мЇшелерін ›±рудыЈ мынадай ›арапайым ережесін келтірейік (Їшб±рыш ережесі)

µ § µ §

Мысал. Мына аны›тауышты µ § есептеу керек

Аны›тауыштыЈ жаты› жолдарын оныЈ сЩйкес тік жолдарымен орын алмастыр“аннан ол аны›тауыштыЈ сан мЩні йзгермейді.

Егер аны›тауыштыЈ ›андай болса ды бір жаты› жолыныЈ барлы› элементтері нйлге теЈ болса, онда аны›тауыш нйлге теЈ болады.

Егер аны›тауыштыЈ екі жаты› жолын бірі мен біріЈ орындарынан алмастырса›, ондааны›тауыш таЈбасы ›арама ›арсы таЈба“а ауады.

Егер аны›тауыштыЈ кез келген екі жаты› жолы йзара теЈ болса, онда ол нйлге теЈ болады.

Егер аны›тауыштыЈ ›андай болса ды бір жаты› жолыеыЈ барлы› эоементтерін бір “ана µ § санына кйбейтсек, онда аны›тауыштыЈ йзі осы µ § санына кйбейтіледі.

Екінші ретті аны›тауышта“ыдай Їшінші ретті аны›тауыш Їш жа›тыЈ жЩне Їш жолдан т±рады. а11 , а22 , а33 , а13, а22 , а31 ЁC ›осал›ы диоганалыныЈ элементтері.

®шінші ретті аны›тауышты есептеу Їшін Їшб±рыштар немесе Сарюс ережесі деп аталатын тймендегі схеманы еске са›та“ан тиімді. ®шінші ретті аны›тауыштыЈ есептелуіндегі плюс таЈбасымен алын“ан бірінші Їш ›осыл“ыш «+» схема, ал минус таЈбасымен алын“ан екінші Їш ›осыл“ыш «-» схема бойынша есептеледі.

а11 а12 а13 а11 а12 а13

а21 а22 а23 а31 а32 а33

а21 а22 а23 а31 а32 а33

µ §
µ §

Аны›тауыш ±“ымы

Екінші ретті аны›тауышты табу жолы

®шінші ретті аны›тауыш

Саррюс Щдісі

Шдебиеті: [1], [3], [4].

ДЩріс 3.

Та›ырып: n-ші ретті аны›тауыштардыЈ ›асиеттері. Жол немесе ба“ан бойынша аны›тауыштарды жіктеу.

Ма›саты: n-ші ретті аны›тауыштар тЇсінігін енгізу, оны табу жолдарын ›арастыру: жол жЩне ба“ан бойынша жіктеу Щдісі, алдын ала нйлдерге келтіру жолы.

љарастырылатын с±ра›тар:

n-ші аны›тауыш тЇсінігі.

Матрица миноры мен алгебралы› толы›тырылуы.

Жол жЩне ба“ан бойынша жіктеу Щдісі.
n ЁC шi реттi аны›тауыштар.

МатрицаныЈ жанына жа›ша ›ойылмайды, аны›тауыш болса ›ойылады.

µ § n ЁCретті аны›тауыш

Егер n=2, n=3 болса, онда аны›тауыштарды есептеудi бiлемiз.

Ал n=4 одан жо5ары болса, ондай анытауыштарды есептейтiн ережелер жо›, сонды›тан аны›тауыщтардыЈ ретiн тймендету керек. Ол Їшiн аны›тауыштыЈ жолын немесе ба“аныныЈ элементтерi бойынша жiктеймiз. Жiктеуден Щрбiр элементтi оныЈ минорына кйбейтемiз:

Аны›тама: “aik” i=1,2,3,ЎK,n; k=1,2,3,ЎK,n;

iЁC шi жолмен; к ЁC шi ба“анды сызып таста“анда ›ал“ан элементтерден т±ратын (n-1) ЁC шi реттi µ § (аны›тауыш). aik элементiнiЈ миноры деп аталады.

aik элемнетiнiЈ минорын (“Mik”) (-1)i+k дЩрежесiне кйбейткендегi аны›тауышы мына элементiнiЈ алгебралы› толы›тырмасы (“Aik”) деп аталады. Сонымен Aik=(-1)i+k ЁC теЈ.

Мысалы: i=3; r=4; aik=-2.

µ §
µ §

µ §

µ §
1) Аны›тауыштардыЈ жолдарын сЩйкес ба“ан етiп ›ойып, жаз“анда шы“атын аны›тауыштыЈ мЩнi йзгермейдi. Б±ны транспанирлеу деп атайды.

3)Егер аны›тауыштыЈ бiрдей жолдары немесе бiрдей ба“андары болса, онда аны›тауыш нольге теЈ болады.

4)Аны›тауыштыЈ диоганальдарыныЈ жо“ар“ы немесе тйменгi жа“ында элементтерi нольге теЈ болса, онда б±ланы›тауыш кйбейтiндiсiне теЈ.
µ §

µ §
µ §

1-›асиет: аны›тауыштыЈ жаты› (тік) жолдарымен орын алмастырса› онда оныЈ мЩні йзгермейді.

2-›асиет: аны›тауыштыЈ кез клген екі жаты› жолдарыныЈ сЩйкес элементтерініЈ орнын алмастырса› онда оныЈ таЈбасы ›арама-›арсы таЈба“а йзгереді.

Аны›тауыштыЈ аны›тамасы бойынша:

µ §
љайталау с±ра›тары:

Жо“ар“ы ретті аны›тауыштар.

Алгебралы› толы›тауыш.

Минор.

Та›ырып: Бірлік жЩне кері матрица. Кері матрицаны есептеу.

Ма›саты: бірлік, кері матрица ±“ымдарын енгізу. Кері матрицаны табу жолдарымен таныстыру.

љарастыратын с±р›тар:

Бірлік матрица.

Кері матрица.

µ §

Кері матрица мына формуламен есептеледі А-1µ §=µ §

Мысал. Берілген А=µ § матрицасына кері матрица табу ›ажет

Шешімі. µ §detµ §=6µ §. Барлы› алгебралы› толы›тауыштарын есептеп табамыз

µ §, µ §, µ §,

µ §, µ §, µ §,

µ §, µ §, µ §

Сййтіп кері матрица

µ §

љайталау с±ра›тары:

Кері матрица.

Туындал“ан матрица.

Шдебиеті: [1], [3], [4].

Та›ырып: Сызы›ты› теЈдеулер жЇйесі, олардыЈ классификациясы. Крамер ережесі.

Ма›саты: Студенттерге сызы›ты› теЈдеулер жЇйесі ±“ымы тЇсінігін беру.Сызы›ты› теЈдеулер жЇйесін шешу Щдістерін Їйрету.

љарастыратын с±ра›тар:

Сызы›ты› теЈдеулер жЇйесі туралы тЇсінік.

Сызы›ты› жЇйесін шешу Щдістері.

Крамер Щдісі.

?

?

Екі жЩне Їш белгісізді сызы›ты› теЈдеулер жЇйесі. Крамер формулалары.

Бізге Їш белгісізді сызы›ты› Їш тендеулер

a11x1+ a12x2+a13x3=b1

a21x1+ a22x2+a23x3=b2

a31x1+ a32x2+a33x3=b3

жЇйесі берілсін дейік. М±нда“ы аij коэффициентері мен bi босмЇшелері на›ты сандар болсын. Мына белгілеулерді енгізейік

µ §=µ §, µ §=µ §, µ §=µ §, µ §=µ §

Егерµ §, онда Крамер ережесі бойынша µ §

n белгісіздігі m сызы›ты› теЈдеулер жЇйесі берілген:

a21 x1 + a22 x2 +ЎK + a2n xn = b2,

ЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK.. (2)
am1 x1 + am2 x1 + ЎK + amn xn = bm.
М±нда“ы аij кез келген на›ты сандар, хi ЁC белгісіз шамалар, ал bj -бос мЇшелер, і=1, m (1-ден mЁCге дейін), j=1,n. Егер бос мЇшелердіЈ барлы“ы нйлге теЈ болса, онда (2) теЈдеулер жЇйесі біртекті деп, ал еЈ болма“анда біреуі нйлден йзге болса, онда теЈдеулер жЇйесі біртекті емес деп аталады.

Аны›тама. a1, a2,ЎK, an сандарын (2) теЈдеулер жЇйесіндегі белгісіздердіЈ орнына ›ой“анда теЈдеулердіЈ бЩрі теЈдікке айналса, онда б±л сандар теЈдеулер жЇйесініЈ шешімі деп аталады.

Аны›тама. (2) теЈдеулер жЇйесініЈ еЈ болма“анда бір шешімі болса, онда жЇйе Їйлесімді, ал шешімі жо› болса Їйлеciмсіз деп атайды.

Аны›тама. ТеЈдеулер жЇйесніЈ тек бірі “ана (жал›ы) шешімі болса аны›тал“ан, ал бірнеше (кейде а›ырсыз кйп) шешімі болса аны›талма“ан деп аталады.

Мысалы,

2x1 + 3x2 = 5,

теЈдеулер жЇйесініЈ шешімі жо›, я“ни Їйлесімсіз, ййткені теЈдеулердіЈ сол бйліктері теЈ, ал оЈ бйліктері ЩртЇрлі.

3x1 - 3x2 = 6 жЇйесі Їйлесімді, біра› аны›талма“ан, ййткені а›ырсыз кйп шешімі бар. Егер екінші теЈдеуді 3-ке ›ыс›артса› йзара теЈ теЈдеулер шы“ады.

n белгісіздігі n сызы›ты› теЈдеулер жЇйесін ›арастырамыз:

a11x1 + a12 x2 +ЎK + a1n xn = b1,

a21 x1 + a22 x2 +ЎK + a2n xn = b2,

ЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK.. (3)

(3) жЇйесініЈ шешімдері x1, x2, ЎK., xn - лер аij коэффициенттері мен bj бос мЇшелері ар›ылы йрнектелуі керек, м±нда“ы і, j=1,n.

ТеЈдеулер жЇйесін шешу Їшін мектеп о›улы“ынан белгілі алгебралы› ›осу Щдісін ›олданамыз. (3) теЈдеулер жЇйесін шешу Їшін 1 теЈдеуді А11 - ге, 2-ні А21 ЁCге жЩне т.б., ал соЈ“ы теЈдеуді Аn1 ЁCге кйбейтемізде осы теЈдеулерді ›осып ±›сас мЇшелерін біріктіреміз.

(a11 A11 + a21A21 + ЎK + an1 An1) x1 + (a12 A11+a22 A21 + ЎK+ an2 An1)x2 + ЎK

+ (a1n A11 + a2n A21 + ЎK + ann An1)xn = b1 A11 + b2 A21 + ЎK + bn An1

(3) теЈдеулер жЇйесініЈ коэффициенттерінен ›±рыл“ан n-ретті аны›тауышты ›арастырамыз.

a11 a12 a13 ЎK a1n

a21 a22 a23 ЎK a2n

= a31 a32 a33 ЎK a3n . (4)

ЎK ЎK ЎK ЎK ЎK

an1 an2 an3 ЎK ann

љал“ан х2 , х3 , ЎK хn белгісіздерініЈ коэфициенттері екінші, Їшінші, ЎK, n-ба“ан элементтерініЈ бірінші ба“ан элементтерініЈ алгебралы› толы›тауышына кйбейтінділерініЈ ›осындысынан т±рады, ал олар 10-›асиет бойынша нйлге теЈ.

ОЈ жа“ы бос мЇшелер мен бірінші ба“анныЈ алгебралы› толы›тауыштарыныЈ кйбейтінділерініЈ ›осындысынан т±рады, ал б±л бірінші ба“ан элементтері бос мЇшелермен ауыстырыл“ан (4) аны›тауышты береді. Сонда

х1 = х1, µ § .

Осы тЩсілмен (3) теЈдеулер жЇйесініЈ ба“андарын сЩйкес алгебралы› толы›тауыштарына кйбейту ар›ылы ›ал“ан белгісізднрді табу формулалары ›орытылып шы“арылады:

µ § i = 1,n,, (5)

м±нда - жЇйеніЈ бас аны›тауышы, ал хi - аны›тауыштыЈ і ЁCба“ан мЇшелерін бос мЇшелерімен ауыстыр“аннан алын“ан ›осымша аны›тауыштар.

(5) формулада“ы жЇйеніЈ бас аны›тауышы нйлден йзге болу керек. Б±л жа“дайда (3) теЈдеулер жЇйесініЈ жал“ыз “ана шешімі болады.

Егер = 0 болса, ал ›осымша аны›тауыштардыЈ біреуі нйлден йзге (хi = 0), онда теЈдеулер жЇйесініЈ шешімі болмайды (мектеп ба“дарламасы бойынша нйлге бйлуге болмайды).

Егер = 0, жЩне барлы› ›осымша аны›тауыштар да нйлге теЈ (хi=0), онда жЇйеніЈ а›ырсыз кйп шешімі болады.

љайталау с±ра›тары:

СТЖ.

Біртекті емес СТЖ.

Біртекті СТЖ шешу жолдары.

Біртекті СТЖ шешудіЈ Крамер Щдісі.

Шдебиеті: [1], [3], [4].
ДЩріс 6.

Та›ырып: Сызы›ты› теЈдеулер жЇйесін Гаусс Щдісімен шешу

Ма›саты: Сызы›ты› теЈдеулер жЇйесін Гаусс Щдісімен шешу жолымен таныстыру.

љарастыратын с±ра›тар: Гаусс Щдісі

n белгісіздігі n сызы›ты› теЈдеулер жЇйесін Крамер ережесімен шешуде n-i ретті (n+1) аны›тауышты есептеу йте кЇрделі ж±мыс.

Екіншіден, бас аны›тауыш нйлге теЈ бол“анда жЩне белгісіздер саны теЈдеулер санымен сЩйкес келмесе Крамер Щдісі ›олданыла алмайды. Сонды›тан, бірте-бірте белгісіздерді жою Щдісі (Гаусс Щдісі) ›олданылады, ал б±л Щдіс матрицаларды ›олдану ар›ылы кеЈейтіледі.

Белгісіздер саны мен теЈдеулер саны бірдей бол“ан жа“дай Їшін Гаусс Щдісін ›арастырамыз

а11х1 + а12х2 + ЎK + a1nxn = b1

а21х1 + а22х2 + ЎK + a2nxn = b2

ЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK..

аn1х1 + аn2х2 + ЎK + annxn = bn

1

(а11х1 + а12х2 + ЎK + a1nxn = b1) = х1 + а12х2 + ЎK + a1nxn = b1 . (*)

а22х2 + а23х3 + ЎK + a2nxn = b2

жЩне дЩл осылай жал“астырамыз, соЈында (*) теЈдеуін (-аn1)-ге кйбейтіп соЈ“ы теЈдеуге ›осамыз, сонда

ЃЊ ЃЊ ЃЊ ЃЊ

аn2х2 + аn3х3 + ЎK + annxn = bn.

Сонымен, (n-1) белгісіздігі жаЈа теЈдеулер жЇйесін аламыз

а22х2 + а23х3 + ЎK + a2nxn = b2 ,

а32х2 + а33х3 + ЎK + a3nxn = b3 , (7)

ЎKЎK ЎKЎK ЎKЎK ЎKЎK ЎKЎK

ЃЊ ЃЊ ЃЊ ЃЊ

аn2х2 + аn3х3 + ЎK + annxn = bn .

(7) жЇйе (6) жЇйеден теЈдеулерді сызы›ты› тЇрлендірулер ар›ылы алын“анды›тан, б±л жЇйе (6) жЇйемен мЩндес, я“ни (7) жЇйеніЈ шешімдері берілген теЈдеулер жЇйесініЈ де шешімдері болады.

®шінші, тйртінші жЩне т.б. n-і теЈдеулердегі х2 ЁC ден ›±тылу Їшін (7) жЇйеніЈ бірінші теЈдеуін а22 санына бйлу ›ажет жЩне осы теЈдеуді х2 ЁC ніЈ кері таЈбасымен алын“ан коэффициентіне кйбейтіп жЩне оларды ›осып мына жЇйені аламыз:

ЃЊ ЃЊ ЃЊ ЃЊ

х1 + а12х2 + а13х3 ЎK + a1nxn = b1 ,

х2 + а23(2) х3 + ЎK + a2n(2) xn = b2(2) ,

а33(2) х3 + ЎK + a3n(2) xn = b3(2),

ЎKЎK ЎKЎK ЎKЎK ЎKЎK.. .

аn3(2) х3 + ЎK + ann(2) xn = bn (2) .
Б±л алгоритмді n рет ›айталап теЈдеулер жЇйесін диагональді тЇрге келтіреміз:

ЃЊ ЃЊ ЃЊ ЃЊ

х1 + а12х2 + а13х3 ЎK + a1nxn = b1 ,

х2 + а23(2) х3 + ЎK + a2n(2) xn = b2(2) ,

х3 + ЎK + a3n(2) xn = b3(3),

ЎKЎK ЎKЎK ЎKЎK ЎKЎK .

аnn (n) хn = bn (n) .

СоЈ“ы теЈдеуден xn ЁCі табамыз, оныЈ мЩнін алдында“ы теЈдеуге ›ойып xn-1-іЈ мЩнін аламыз, осылай жо“ары ›арай жылжи отырып x1-іЈ мЩнін табамыз. Б±л ГаусстыЈ классикалы› Щдісі. Енді n белгісізі бар m теЈдеулер жЇйесін ›арастырамыз:

а11х1 + а12х2 + ЎK + a1nxn = b1 ,

а21х1 + а22х2 + ЎK + a2nxn = b2 , (8)

ЎKЎK ЎKЎK ЎKЎK ЎKЎK ЎKЎK.

аm1х1 + аm2х2 + ЎK + amnxn = bm .

(8) теЈдеулер жЇйесініЈ белгісіздерініЈ коэффициенттерінен ›±рыл“ан матрица негізгі матрица деп аталады.

µ §

Егер осы матрица“а бос мЇшені (n+1) тік жолы (ба“аны) етіп алатын болса›, онда ол кеЈейтілген матрица деп аталады:

a21 a22 ЎK a2n b2

A = ЎK ЎK ЎK ЎK .

am1 am2 ЎK amn bm

Матрица жолдарына сызы›ты› амалдар ›олдану“а болады:

жолдарды ауыстыру;

жолды кез келген сан“а кйбейтуге жЩне оны бас› жолдыЈ сЩйкес элементтеріне ›осу“а;

ба“андарды ауыстыру (›ай белгісізге олар сЩйкес келетінін есте са›тау керек);

ба“ан элементтеріне амалдар (›осу“а, кйбейтуге жЩне т.б.)›олдану“а болмайды.

Гаусс-Жордан Щдісі жолдар“а сызы›ты› амалдар ›олдана отырып негізгі матрицаны бірлік матрица“а келтіру болып табылады, я“ни
1 0 ЎK 0 с1

0 1 ЎK 0 с2

ЎK ЎK ЎK ЎK ЎK .

0 0 ЎK 1 сm

Сонда, егер тік жолдар орындарын ауыстырмаса, онда жЇйеніЈ шешімі:

х1= с1; х2 = с2;ЎK; хm = сm

љайталау с±ра›тары:

Алдын ала нйлдерге келтіру

Тура жЇру Щдісі

Кері ›адам

Элементар тЇрлендіру

Шдебиеті: [1], [3], [4].

Та›ырып: Векторлы› алгебра.

Ма›саты: Векторлы› алгебра“а кіріспе. Векто𠱓ымы, о“ан ›олданылатын амалдарды ›аарастыру.

љарастыратын с±ра›тар:

1. Вектор. Векторлар“а ›олданылатын сызы›ты› амалдар

2. ВектордыЈ проекциясы

3. ВектордыЈ координаталарымен аны›талуы

4. НЇкте координаталары. Вектор координаталары

Вектор деп ба“ыттал“ан кесіндіні атайды. Егер вектордыЈ бас нЇктесі µ § нЇкесінде орналасса, ал ±шы - µ § нЇктесінде, онда векторды µ §, µ § деп белгілейді. Егер бас нЇктесі мен ±шы кйрсетілмесе, онда векторды кіші латын Щріптерімен белгілейді. Мысалы

µ § векторына ›арама ›арсы ба“ыттал“ан векторды µ § деп белгілейді. Бас нЇктесі мен ±шы беттесетін векторды нольдік вектор деп атайды жЩне µ § деп белгілейді. µ § вектордыЈ ба“ыты аны›талма“ан. µ § вектордыЈ ±зынды“ы немесе модулі деп оныЈ бас нЇкесі мен ЇшыныЈ ара ›ашы›ты“ын атайды жЩне µ § деп белгілейді.

Бір тЇзудіЈ бойында немесе параллель тЇзулерде жататын µ § жЩне µ § векторлар коллинеар деп аталады жЩне µ §ќќќќќќќ||µ § тЇрінде белгілейді.

Егер кеЈістіктегі Їш вектор бір жазы›ты›та немесе параллель жазы›ты›тарда жатса, онда оларды компланар деп атайды.

Егер µ § жЩне µ § векторларыныЈ коллинеар, бірдей ба“ыттал“ан жЩне ±зынды›тары йзара теЈ болса, онда µ § векторы µ § векторына теЈ µ §.

Векторлар“а ›олданылатын сызы›ты› амалдар - векторларды скаляр“а кйбейту жЩне векторларды ›осу.

µ § векторыныЈ µ § санына кйбейтіндісі деп

1. модулі µ §;

2. µ §||µ §;

3. µ §, µ § векторымен ба“ыттас, ал µ § болса µ § векторына ба“ыты ›арама-›арсы µ § векторын атайды.

µ § векторларыныЈ ›осындысы деп бас нЇктесі бірінші вектордыЈ бас нЇктесінде, ал ±шы ›осыЈды векторларыныЈ тізбегінен ›±растыр“ан сыны› сызы›тыЈ соЈ“ы µ § векторыныЈ ±шында орналасатын векторды атайды.

Екі µ § жЩне µ § векторларыныЈ ›осындысын табу Їшін «Їшб±рыш ережесін» (1-сурет) немесе «параллелограмм ережесін» (2-­сурет) пайдалану“а болады.

Ба“ыттал“ан µ § тЇзу µ § осі деп аталады. µ § векторныныЈ µ § йсіндегі проекциясы µ § деп µ § (м±нда µ §) - µ § йсініЈ оЈ ба“ытымен µ § вектор ба“ытыныЈ арасында“ы б±рыш санын атайды. Сонда µ § µ § вектор проекциясыныЈ геометриялы› ма“ынасы: егер µ § болса, онда µ § векторыныЈ «+» таЈбалы µ § кесіндісініЈ ±зынды“ы; егер µ § болса, онда «-» таЈбалы µ § кесіндісініЈ ±зынды“ы (3-сурет). µ § бол“анда µ § кесіндісі нЇктеге айналады жЩне µ §.

ПроекциялардыЈ ›асиеттері.

µ §. µ § векторыныЈ µ § йсіндегі проекциясы вектор модулі мен вектордыЈ йсімен жасайтын µ § б±рышыныЈ косинусына кйбейтіндісіне теЈ, я“ни µ §.

j Егер µ §, онда µ §.

Егер µ §, онда µ §. ЃЎ

µ §. Бір йстегі бірнеше векторлардыЈ проекцияларыныЈ ›осындысы олардыЈ осы йстегі проекцияларыныЈ ›осындысына теЈ.

j µ § берілген. Онда µ §. Осыдан µ § (4-сурет). ЃЎ

4-сурет

3. ВектордыЈ координаталарымен аны›талуы

КеЈістіктегі кез келген µ § векторыныЈ басын координаттар бас нЇктесімен беттестірейік: µ §. ВектордыЈ ±шынан координатты› жазы›ты›тар“а параллель жазы›ты›тар жЇргізіп олардыЈ координатты› йстерімен ›иылысу нЇктелерін µ § деп белгілеп µ § векторыныЈ координатты› йстеріндегі проекциясын табамыз:

µ §, µ §, µ §.

ВектордыЈ ›осындысыныЈ аны›тамасы бойынша

µ §.

М±нда µ §, µ § бол“анды›тан

µ §, µ §, µ § (І.2)

µ §, µ §, µ § деп белгілеп (І.1) жЩне (І.2) формулалардан

µ § (І.3)

µ § векторыныЈ координатты› йстері бойынша жіктелуі. µ § - µ § векторыныЈ координаталары, я“ни µ §

Тік б±рышты параллелепипедтіЈ диагональдары туралы теореманы пайдаланып келесі тепЈдікті шы“арып алу“а болады:

µ §,

я“ни

µ § векторыныЈ координатты› йстерімен жасайтын б±рыштарын µ § деп белгілеп тймендегі теЈдіктерді табу“а болады.

µ §, µ §, µ §. (І.5)

Осыдан µ §, µ §, µ §.

µ § µ § векторыныЈ ба“ыттаушы косинустары деп аталады.

(І.5) теЈдіктерді (І.4) ›ойып

µ §

табамыз. Осыдан

µ § координатты› йстеріндегі проекцияларымен берілген жЩне векторлары Їшін сызы›ты› амалдар мынадай теЈдіктерімен аны›талады:

1. µ §

µ §;

4. НЇкте координаталары. Вектор координаталары

КеЈістікте тік б±рышты координаталар жЇйесі берілсін. Кез келген µ § нЇктесі Їшін µ § векторы µ § нЇктесініЈ радиус векторы деп, ал µ § векторыныЈ координаталары µ § нЇктеніЈ координаталары деп аталады. Сонда, егер µ § жЩне µ § болса, онда µ § µ § нЇктеніЈ координаталары: µ §.

Тік б±рышты декартты› координаталар жЇйесінде µ § жЩне µ § нЇктелері берілсін. µ § векторыныЈ координаталарын табайы›.

µ §

Сонымен µ § векторыныЈ координаталары:

ВекторлардыЈ скаляр кйбейтіндісі

µ § жЩне µ § векторларыныЈ скаляр кйбейтіндісі деп олардыЈ модульдері мен олардыЈ арасында“ы б±рыш косинусына кйбейтіндісіне теЈ µ § санын атайды µ §. Сонда

µ § (І.5)

Скалярлы› кйбейтіндініЈ ›асиеттері:

µ §. µ §

µ §. µ §

µ §. µ §

µ §

µ § (І.6)

(І.5) формуладан µ § жЩне µ § векторларыныЈ арасында“ы б±рышты аны›тайы›: µ § немесе

µ §.

µ §.

Ретімен алын“ан компланар емес µ § векторлары берілсін. Егер µ § векторыныЈ ±шынан ›ара“анда µ § векторыныЈ µ § векторына жа›ын т±спен б±рылуы са“ат тіліне ›арама-›арсы болса, онда µ § - оЈ Їштік векторлар, ал са“ат тілімен ба“ыттас болса, онда µ § - теріс Їштік векторлар деп аталады.