§ жЩне µ § векторларыныЈ векторлы› кйбейтіндісі деп келесі Їш шартты ›ана“аттандыратын µ § векторларын айтады

µ § жЩне µ § векторларыныЈ векторлы› кйбейтіндісі деп келесі Їш шартты ›ана“аттандыратын µ § векторларын айтады:

1. µ § векторыныЈ модулі µ § жЩне µ § векторларыныЈ модульдері мен осы екі вектор арасында“ы б±рыш синусыныЈ кйбейтіндісіне теЈ:

µ §;

2. µ § - Щрбір µ § жЩне µ § векторларына ортогональ, я“ни ол µ § жЩне µ § ар›ылы йтетін жазы›ты››а перпендикуляр;

Векторлы› кйбейтінді аны›тамасынан µ § орттарыныЈ арасында“ы келесі теЈдіктер шы“ады:

µ §, µ §, µ §.

µ § теЈдігін дЩлелдейік.

m

1. µ §, µ §;

3. µ § векторларыныЈ оЈ Їштікті ±йымдастырады. ЃЎ

Векторлы› кйбейтіндініЈ ›асиеттері:

µ §. µ § (антикоммутативтік);

µ §. µ § (дистрибутивтік (векторларды ›осу“а ›атысты));

µ §. µ § (ассоциативтік (сан“а кйбейтуге ›атысты));

. Егер µ § болса, онда µ § жЩне µ § векторлары коллинеар векторлар.

µ § жЩне µ §

векторлары берілсін. ОлардыЈ векторлы› кйбейтіндісін табайы›.
µ §

немесе

ВекторлардыЈ аралас кйбейтіндісі

µ § векторларыныЈ аралас кйбейтіндісі деп µ § векторларыныЈ µ § векторлы› кйбейтіндісі мен µ § векторыныЈ скаляр кйбейтіндісін атайды:

µ §.

жЩне µ § деп белгілейік. Сонда µ §, µ §, м±нда µ § - µ § жЩне µ § векторларына салын“ан параллелограмм. Ал µ § сол Їштік вектоорлар Їшін (µ § - параллелепипед биіктігі). Сонымен:

µ § немесе µ §,

м±нда µ § - µ § векторларына салын“ан параллелепипедтіЈ кйлемі.

Аралас кйбейтіндініЈ ›асиеттері:

µ §. µ §;

µ §. µ §;

µ §. µ §;

. Егер µ § болса, онда µ § - компланар.

µ §, µ §, µ §.

µ §
изін-йзі ба›ылау“а арнал“ан с±ра›тар:
Векторлар“а ›олданатын сызы›ты› амалдар.

Коллинеар жЩне компланар векторлар.

ВекторлардыЈ сызы›ты› тЩуелділігі, ›асиеттері.

Векторлы› кеЈістіктіЈ базисі, йлшемі.

ВекторлардыЈ координаталарымен аны›талуы, ›асиеттері.

Ортонормалан“ан базис.

ВекторлардыЈ скалярлы› кйбейтіндісі, олардыЈ алгебралы› жЩне геометриялы› ›асиеттері.

Ортогональды› векторлар. Берілген В базисінен жаЈа В' базисіне кйшкендегі жазы›ты›та“ы жЩне кеністіктегі векторлардыЈ координаталарын тЇрлендіру.

ВекторлардыЈ векторлы› жЩне аралас кйбейтіндісі, ›асиеттері.

Шдебиеті: [1], [3], [4].

ДЩріс 10-11.

Та›ырып: Координаттар Щдісі. Жазы›ты›та“ы тЇзу. ТЇзулердіЈ йзара орналасуы

Ма›саты: Жазы›ты›та“ы тЇзу ±“ымы, аффиндік жазы›ты›та“ы тЇзу, координаталар жЇйесін ›арастыру. ЖаЈа координаталар жЇйесіне кйшкендегі нЇктеніЈ координаталарын тЇрлендіру формулаларын ›арастыру.

љарастыратын с±ра›тар:

1. Жазы›ты›та“ы жЩне кеЈістіктегі аффиндік координаттар жЇйесі

2. ЖаЈа координаталар жЇйесіне кйшкендегі нЇктеніЈ координаталарын тЇрлендіру формулалары

1. Аффиндік жазы›ты“ында“ы тЇзу

2. Евклид жазы›ты“ында“ы тЇзу

3. Бір ТДЖК-ен екіншіге кйшкендегі нЇктеніЈ координаттарын тЇрлендіру формулалары
Жазы›ты›та“ы жЩне кеЈістіктегі аффиндік координаттар жЇйесі

Жазы›ты›та“ы аффиндік координаттар жЇйесі деп µ § жЩне µ § базисінен ›±рыл“ан µ § жЩне µ § ж±бын атайды.

Сонда егерµ § µ § кеЈістігініЈ базисін, ал µ § µ § кеЈістігініЈ базисі болса, онда

µ § - жазы›ты›та“ы аффиндік координаталар (репер) жЇйесі болады;

µ § - кеЈістіктегі аффиндік координаттар жЇйесі (репер) болады.

µ § реперінде µ § нЇктеніЈ координаталары деп сЩйкес базистегі

µ § векторыныЈ координаталарын атайды:
µ § µ §
Егер µ § жЩне µ § нЇктелерініЈ координаталары белгілі болса, онда µ § векторыныЈ координаталары
µ § µ §

µ § µ §.
µ § нЇктелерініЈ жай ›атынасы деп µ § шартын ›ана“аттандыратын µ § шартын атайды.

µ § нЇктені бйлуші нЇкте деп атайды.

Егер µ § жЩне µ § нЇктелерініЈ координаталары мен µ § сан белгілі болса, онда µ § нЇктесініЈ координаталары келесі формулалар бойынша

µ §

µ §, µ §

µ §, µ §

µ §, µ §.

табылады.

ЖаЈа координаталар жЇйесіне кйшкендегі нЇктеніЈ координаталарын тЇрлендіру формулалары

µ § жЩне µ § - аффиндік реперлер. М±нда

µ §

µ §, µ §, µ §.

µ §

µ § нЇктеніЈ µ § бастап›ы координаталарын µ § жаЈа координаталары ар›ылы йрнектеп жазайы›.

µ §.

µ § (*)

Ескерту 2. Егер базис йзгермесе, онда (*)-дан координаталар бас нЇктесін кйшіргендегі нЇктеніЈ координаталарын тЇрлендіру формуласы келесі тЇрде жазылады:

µ §
Аффиндік жазы›ты“ында“ы тЇзу

ТЇзудіЈ аны›талу тЩсілдері.

1. µ § нЇкте ар›ылы йтетін жЩне µ § ба“ыттаушы векторымен аны›талатын µ § тЇзуі берілсін.

Берілген тЇзуге параллель кез келген нйлдік емес вектор тЇзудіЈ ба“ыттаушы векторы деп аталады. Сонда тЇзудіЈ шексіз кйп ба“ыттаушы векторлары болады.

Сонымен

µ § тЇзуініЈ теЈдеуі.

2. µ § жЩне µ § нЇктелері ар›ылы йтетін тЇзудіЈ теЈдеуін аны›тайы›.

µ § векторын ба“ыттаушы вектор ретінде ›арастырса›, онда µ § тЇзудіЈ теЈдеуі келесі тЇрде жазылады:

µ § немесе µ § (3.2)

3. ТЇзудіЈ кесінділік теЈдеуі.

µ § координаталар йстерінде µ § нЇктесінен бастап ±зынды›тары µ § жЩне µ § болатын кесінділерді йлшеп салайы›. Сонда µ § жЇйесінде µ § жЩне µ § нЇктелерініЈ координаталары: µ §, µ §. Сонда µ § тЇзуініЈ теЈдеуін жазу“а болады:

µ § (3.3)

4. ТЇзудіЈ параметрлік теЈдеуі.

µ § тЇзуі µ § нЇкте ар›ылы йтсін жЩне µ § ба“ыттаушы векторымен аны›талсын.

Сонда, егер µ §

немесе µ § (3.4)

(3.4)-іЈ геометриялы› ма“ынасы: ›андайда µ § на›ты саны Їшін координаталары (3.4) теЈдеулерін ›ана“аттандыратын µ § нЇктесі тЇзуде жатады.

5. ТЇзудіЈ жалпы теЈдеуі.

љарастырыл“ан жа“дайларда аффиндік координаттар жЇйесінде тЇзу µ § бірінші дЩрежелі теЈдеумен аны›талады. Кері т±жырым да д±рыс.

Теорема. Аффиндік координаттар жЇйесінде (3.5) µ § бірінші дЩрежелі теЈдеумен аны›талатын сызы› ЁC тЇзу болады. µ § векторы осы тЇзудіЈ ба“ыттаушы векторы.

ДЩлелдеу. µ § сандары (3.5) теЈдеуін ›ана“аттандыратындай µ § нЇктесін таЈдайы›, я“ни µ § (3.6) теЈдігі орындалады. (3.5) жЩне (3.6) теЈдеулерінен µ § немесе µ § теЈдеуі шы“ады. Б±л теЈдеу µ § нЇктесі ар›ылы йтетін жЩне µ § ба“ыттаушы векторымен аны›талатын тЇзу.
6. Екі тЇзудіЈ йзара орналасуы.

Аффиндік координаттар жЇйесінде µ § жЩне µ § тЇзулер теЈдеулерімен берілсін:

µ §

µ §;

µ § тЇзуініЈ ба“ыттауыш векторы.

µ § жЩне µ § тЇзулерініЈ йзара орналасуына Їш жа“дайда болуы мЇмкін.

1. Егер µ § параллель емес µ § онда µ § жЩне µ § тЇзулері ›иылысады, я“ни µ §,

2. Егер µ §,

3. Егер µ §,

онда µ § жЩне µ § параллель орналасады.

7. Жазы›ты›та“ы тЇзулер шо“ы.

Жазы›ты›та“а µ § нЇкте ар›ылы йтетін осы жазы›ты›та“ы барлы› тЇзулер жиыны центрі µ § нЇктесінде орналасатын тЇзулер шо“ы деп аталады. Сонда тЇзулер шо“ын аны›тау Їшін оныЈ цнетрін аны›тау керек. Ал кез келген екі тЇзудіЈ ›иылысуымен аны›талады. Сонымен, екі ›иылысатын тЇзулердіЈ теЈдеулерімен тЇзулері жо“ын бір мЩнді аны›тау“а болады.

µ § нЇктесінде ›иылысатын µ § жЩне µ § тЇзулері теЈдеулерімен берілсін:

µ §

µ §

Евклид жазы›ты“ында“ы тЇзу

µ § базис ортонормалан“ан базис болса, онда жазы›ты›та“ы µ § координаттар жЇйесін тік б±рышты декартты› координаттар жЇйесі деп атайды жЩне µ § деп белгілейді.

Тік б±рышты декартты› координаттар жЇйесінде (ТДКЖ) аффиндік координаттар жЇйесінде (АКЖ) шы“арылатын барлы› есептерді жЩне метрикалы› есептерді шешуге болады, я“ни:

а) ±штарыныЈ координаттары ар›ылы вектордыЈ координаттарын табу

µ §;

µ §µ §;

µ § (µ § немесе µ §) ЁC тЇзудіЈ жалпы теЈдеуі, µ § - тЇзудіЈ ба“ыттауыш векторы. µ § векторы тЇзуге перпендикуляр µ §.

ТДКЖ ерекшеліктері: ТДЖК-да:

1. °штарыныЈ координаттары ар›ылы вектордыЈ жЩне кесіндініЈ ±зынды“ын табу“а болады.

µ §;

2. НЇктеден тЇзуге дейінгі ара ›ашы›ты›ты;

4. ТЇзулердіЈ арасында“ы б±рышты табу“а болады.

µ § тЇзу µ § жалпы теЈдеуімен берілсін. ТеЈдеудіЈ екі жа“ын µ § санына бйліп жЩне µ §; µ §; µ § белгілеп тЇзудіЈ нормальды› теЈдеуін табамыз:

µ §, µ § (3.6)

(3.6) теЈдеудіЈ геометриялы› ма“ынасы:

1. - тЇзудіЈ нормалі мен йсініЈ арасында“ы б±рыш, я“ни µ §, м±нда µ § векторларыныЈ арасында“ы ба“ыттал“ан (ориентированный) б±рыш.

µ § - тЇзудіЈ нормалі.

2. µ § тЇзуі µ § жалпы теЈдеуімен берілсін, ал µ §. Сонда µ § нЇктесінен µ § тЇзуіне дейінгі µ § ара ›ашы›ты›

µ § (3.7)

формуласымен аны›талады.

Ескерту. (3.7) формуласы µ § тЇзудіЈ нормальды› теЈдеуіндегі µ § коэффициентініЈ геометриялы› ма“ынасын тЇсінуге мЇмкіндік береді.

µ § нЇктесінен µ § тЇзуіне дейінгі ара ›ашы›ты›ты есептейік:

µ §.

Сонымен, µ §.

µ §, µ § - µ § тЇзудіЈ ба“ыттаушы векторы.

µ §, µ § - µ § тЇзудіЈ ба“ыттаушы векторы.

Осы тЇзулердіЈ ›иылысуында екі ж±п вертикаль б±рыштар пайда болады. ОлардыЈ еЈ кіші тЇзулердіЈ арасында“ы б±рыш деп аталады да µ § тЇрінде белгіленеді.

µ §

(суретте екінші жа“жай кйрсетілген)

ТЇзулердіЈ перпендикулярлы› шарты:

µ §.

µ §.

Екі ТДКЖ берілсін: µ § жЩне µ §. Екі жа“дай кездесуі мЇмкін:

1. µ § (сурет а);

2. µ § (сурет б).

µ § - ден µ § - ке кйшіру матрицасын ›±растырайы›. Бірінші ба“ана µ § вектордыЈ µ § базисіндегі координаталардан т±рады, я“ни екі жа“дайда да µ §, м±нда µ §. Ба“ыттал“ан µ § б±рыш келесі формуламен аны›талады:

µ §

-б) жа“дайдаСонда µ §;

µ §-а) жа“дайда;-б) жа“дайда.Осыдан µ § - а) жа“дайда,

µ § - б) жа“дайда.

Сонымен, келесі формулалар шы“ады:

µ § µ § (3.8)

µ § µ § (3.9)
изін-йзі ба›ылау“а арнал“ан с±ра›тар:
Жазы›ты›та“ы аффиндік координаттар жЇйесі.

КеЈістіктегі аффиндік координаттар жЇйесі.

Аффиндік реперлер

ТЇзудіЈ кесінділік теЈдеуі

2. НЇктеден тЇзуге дейінгі ара ›ашы›ты›ты

3. Параллель тЇзулердіЈ ара ›ашы›ты“ы

4. ТЇзулердіЈ арасында“ы б±рыш

Шдебиеті: [1], [3], [4].

№12 -13 саба›.

Та›ырып: Векторлы› кеЈістіктер, ішкі кеЈістіктер. илшемі жЩне базисы. Біртектес сызы›ты› теЈдеулер жЇйесініЈ шешулерініЈ фундаментальді жЇйесі.

Саба›тыЈ ма›саты: Студенттерге векторлардыЈ сызы›ты тЩуелділігі туралы тЇсінік беру. Векторлар жЇйесініЈ базисі жЩне ранг ›асиеттерін баяндау. Студенттерге Евклид кеЈістігі,оныЈ нормасы, ортонормалдан“ан векторлар жЇйесі жЩне базис, ортогонал толы›тауыш тЇсінігін беру. Евклид кеЈістігініЈ негізгі ›асиеттерімен таныстыру

љарастыратын с±ра›тар:

ВекторлардыЈ сызы›ты тЩуелділігі.

Векторлар жЇйесініЈ базисі жЩне ранг.

Базис бойынша векторларды бйліп- ажырату.

а) На›ты евклид кеЈістігініЈ аны›тамасы жЩне оныЈ ›асиеттері.

б) Евклид кеЈістігініЈ нормасы жЩне оныЈ ›асиеттері.

в) Ортонормалдан“ан векторлар жЇйесі жЩне оныЈ ›асиеттері.

г) Ортонормалдан“ан базисте координаттарымен йрнектелген екі вектордыЈ скаляр кйбейтіндісі

д) Ортогонал толы›тауыш

е) Евклид кеЈістігініЈ изоморфтылы“ы.
ВекторлардыЈ сызы›ты тЩуелділігі.

Шр тЇрлі есептерді шы“ар“ан кезде, бір вектормен “ана емес кейбір бір тектес векторлар жиынымен Щрекеттер жасау“а тура келеді.М±ндай жиынды векторлар жЇйесі деп атайды да, оларды бір Щріппен жЩне реттік нЩмірмен белгілейді:

а1,а2,....,ак (1)

1-аны›тама. (1)йрнектегі векторлардыЈ сызы›ты› комбинациясы деп мына тЇрдегі векторлады атайды:

b=л1а1+л2а2 +лкак (2)

М±нда“ы,л1,...лк-кез-келген на›ты сандар.

Мысал“а айталы› Їш вектор берілсін, а1=(1,2,0),а2=(2,1,1)жЩне а3=(-1,-1,-2). ОлардыЈ 2,3 жЩне 4 коэффициенттерімен бірге сызы›ты› комбинациясы: b=(4.15.-5)

(2)-теЈдігіне сЩйкес b векторы (1) вектор жЇйесі ар›ылы сызы›ты йрнектелінеді немесе осы векторлар бойынша бйлініп ажырайды делінеді.

2-аны›тама. Егер бір мезгілде бЩрі бірдей нйлге теЈ болмайтын мынадай л1,л2....,лк сандар бар жЩне осы сандардыЈ векторлар жЇйесі нйлге теЈ болмайтын векторлар жЇйесімен сызы›ты› комбинациясы нйлдік вектор“а теЈ болса, я“ни

л1а1+л2а2+...+лк ак=0 (3)

онда (1) векторлар жЇйесі сызы›ты тЩуелді деп аталады.

Егер (3) теЈдігі (4) векторлар жЇйесі Їшін мына: л1=л2=....=лк=0 жа“дайда “ана орындалса, онда осы векторлар жЇйесі сызы›ты тЩуелсіз делінеді.

Мысал“а, а1=(1,0),а2=(0,2)-екі векторлар жЇйесі сызы›ты тЩуелсіз,ал b1=(1,2,1) жЩне b2=(2,4,2) ЁC векторлар жЇйесі сызы›ты тіелді, себебі b2- 2b1=0

Айтйлы› (1) векторлар жЇйесі сызы›ты тЩуелді векторлар (3) ›осындысын лs-коэффициенті нйлге теЈ емес(лs=0) ›осындыларын таЈдап алып, оларды бас›а ›осындылар ар›ылы йрнектейік:

аs=- л1а1/ лs- л2а2 / лs -....- лs-1аs+1/ л2-....- лк ак / лs

ТеЈдіктен (1.7) сызы›ты тЩуелді векторлар жЇйесініЈ бір векторы, осы жЇйеніЈ бас›а бір векторы ар›ылы йрнектелгені (немесе бас›а векторлар бойынша бйлініп ажыра“аны) бай›алады.

Сызы›ты тЩуелді векторлар жЇйесініЈ ›асиеттерін кйрсетейік.

1. Бір вектордан т±ратын жЇйе ЁC сызы›ты тЩуелді.

2. Нйлдік векторы бар жЇйе Щр›ашанда ЁC сызы›ты тЩуелді.

3. Бірнеше векторлардан т±ратын жЇйе, векторлардыЈ ішінде бас›алармен сызы›ты йрнектелетін бір вектор бол“ан жа“дайда “ана сызы›ты тЩуелді бола алады.

Геометриялы› т±р“ыдан ›араса› екі йлшемді векторлар жазы›ты›та, ал Їш йлшемді векторлар кеЈістікте сызы›ты тЩуелді болуы мЇмкін екені белгілі.Бір векторды екінші бір вектормен йрнектеген жа“дайда:

а2= ла2 б±л векторлар коллинеарлы делінеді, я“ни олар параллельді жазы›ты›та жатады, я“ни олар компланарлы делінеді.Арнайы кйбейткіштер ар›ылы осы векторлардыЈ ±зынды›тарын бейнелеу жЩне біреуін екеуініЈ ›осындысымен немесе солармен йрнектеу Їшін тЇзету (енгізу) жеткілікті.

Тймендегі теорема осы айтыл“ан мЩселелер жйнінде маЈызды.

1-теорема. Rn кеЈістікте m векторларды ±стайтын кез келген жЇйе мына m>n жа“дайда сызы›ты тЩуелді.

Векторлар жЇйесініЈ базисі жЩне ранг.

а1,а2,....,ак ЁCвекторлар жЇйесін ›арастырайы›.Жекелеп жинал“ан векторлар жЇйесі жЩне мынадай екі жа“дайды ›анаЈаттандыратын:а) жиындардыЈ векторлары сызы›ты тЩуелсіз;б) жЇйеніЈ кез келген векторы осы жиында“ы векторлрмен сызы›ты йрнектелетін векторлар осы жЇйелердіЈ максималь тЩуелсіз ›осымша жЇйесі деп аталады.

Берілген векторлар жЇйесініЈ барлы› максимальды тЩуелсіз ›осымша жЇйелері бір векторлар санын ›±райды деп бекітілген теорема на›ты. Векторлар жЇйесініЈ максимальды тЩуелсіз ›осымша жЇйедегі векторлар базистік деп, ал базиске кірген векторлар базистік векторлар деп аталады.Векторлар жЇйесініЈ базистік векторларыныЈ саны олардыЈ рангі делінеді.

Мысал“а, мына векторлар жЇйесініЈ:

А1=( а11,а12,.. ..,а1n)

А2=( а21,а22,.. ..,а2n)

..............................

Аm=( аm1,аm2,.. ..,аmn)

Мысал. Мына векторлар А1=( 5,4,3,2), А2=( 3,3,2,2), А3=( 8,1,3,-4) жЇйесі сызы›ты тЩуелді ме? Егер сызы›ты тЩуелді болса, онда оныЈмаксимальды сызы›ты тЩуелсіз ›осымша жЇйесін аны›тау керек.

Шешуі. ВекторлардыЈ компоненттері ар›ылы матрица ›±рып, оныЈ рангін аны›тайы›.

А=[5 4 3 2

3 2 2

1 3 -4]
Екінші ретті минор:[5 4

®шінші ретті екі минорды есептейік:

[5 4 3 [5 4 2

3 3 2 3 3 2

8 1 3 ]=118-118=0; 8 1-4]=2(59-59)=0.
А матрицасыныЈ рангі 2-ге теЈ, сонды›тан векторлар жЇйесі тЩуелді. Себебі, векторлар жЇйесініЈ кез келген компоненттері ар›ылы ›±рыл“ан екінші ретті минорлар нйлге теЈ емес.

Сонды›тан максимальды сызы›ты тЩуелсіз ›осымша жЇйе екі кез келген векторлардан т±рады, ал Їшінші вектор олардыЈ сызы›ты› комбинациялары.

Базис туралы тЇсінік n йлшемді векторлардыЈ шексіз жиынты›тарынан т±ратын кеЈістіктегі Rn ЁCде бйлініп-ажырайды.

3-аны›тама. n векторлар жЇйесі Rn кеЈістікте базис деп аталады ,егер

1.осы ж±йеніЈ векторлары сызы›ты тЩуелсіз болса

2. Rn-Ј кез келген векторы осы жЇйеніЈ векторларымен сызы›ты йрнектелсе.

Айталы›

векторлар жЇйесі базистік, ал b олардыЈ сызы›ты› комбинациясы болсын. Онда мына теорема орынды.

2 ЁC теорема. Базисте кез келген векторды бйліп-ажырату мЇмкін болса жЩне осындай Щрекет на›тылы орындалса, онда ол жал“ыз “ана.

ДЩлелдеу. Вектор b, (1.9) йрнектегі векторлардыЈ сызы›ты› комбинациялвры ар›ылы екі тЩсілмен берілсін.

b=б1a+ б2a2+ЎK..+ бmam жЩне b=в1a+ в2a2+ЎK..+ вmam

м±нда“ы бi жЩне вi - бір-біріне дЩл келмейтін сандар жиыны.Б±л жиындарда міндетті тЇрде бір-біріне дЩл келмейтін нйлге теЈ емес сандар болу“а тиісті.

Біріншісінен екінші теЈдікті алып тастап мынадай йрнекті алайы›.

(б1 + в2)* б1+(б2 - в2)* б2+.........+(бmЁC вm)* бm=0

Алын“ан теЈдік (1.9) йрнектегі векторлар жЇйесініЈ сызы›ты› комбинациялары. Онда коэффициенттердіЈ барлы“ы бірдей нйлге теЈ емес.(себебі бi жЩне вi - бір-біріне дЩл келмейді).ТеЈдік нйлге теЈ, я“ни берілген жЇйе сызы›ты тЩуелді болып шы›ты. Б±л жа“дай теореманыЈ шартына ›арсы.Сййтіп алын“ан ›айшылы› теореманыЈ на›тылы“ын дЩлелдейді.

Сонымен Rn кеЈістікте кез келген базисте

а1,а2,....,аn (1.10)

осы кеЈістіктіЈ кез келген векторын мына тЇрде бйліп ЁC ажырату ар›ылы бейнелеуге болады.

b=б1a+ б2a2+ЎK..+ бnan (1.11)

жЩне б±л бйліп- ажырату берілген базис Їшін жал“ыз “ана.

Жалпы айт›анда, (1.10) ЁCды кез келген базисінде бйліп- ажырату коэффициенттерін табу есебі оЈай емес. Сол жа›тан бастап сызы›ты комбинациялау векторларыныЈ координаттарын b-векторыныЈ (1.11) координаттарымен теЈестіру керек. Базистік векторлармен b-векторыныЈ координаттары мынадай ›алыпта берілсін

а1=( а11,а12,.. ..,а1n)

а2=( а21,а22,.. ..,а2n)

..............................

an=( аn1,аn2,.. ..,аnn)

b=( b1,b2,.. ..,bn)

Жо“арыда жазыл“ан тЩсілдермен белгісіз n координаттар бойынша b-векторды (1.10) базиске бйліп- ажырату барысында n сызы›ты› теЈдеулер жЇйесіне йтеміз

а11а1+а12а2+ЎK+а1nаn=b1

а21а1+а22а2+ЎK+а2nаn=b2

ЎK ЎK ЎK

Аn1а1+аn2а2+ЎK+аnnаn=bn

М±ндай теЈдеулер жЇйесі жЩне оларды шешу Щдістері арнайы пЩнде, я“ни векторлы› алгебрада кеЈірек ›арастырылады. Келесі бйлімдерде ›арастырылатын ›олданбалы математикалы› Щдістерге оларды онша ›ажеті болма“анды›тан Щрі ›арай векторлы› алгебраныЈ б±л бйлімдеріне то›талмаймыз.

а) На›ты евклид кеЈістігініЈ аны›тамасы жЩне оныЈ ›асиеттері.

Аны›тама. На›ты сызы›ты векторлы› R кеЈістіктіЈ кез келген екі х,уµ §R элементіне (векторына) скаляр кйбейтінді деп аталатын (х, у) на›ты саны сЩйкес келсе жЩне о“ан мына тймендегі аксиомалар орындалса:
1. (х, у) = (у, х),

2. (µ §х, у) = µ § (х, у), µ § ЎЄ на›ты сан,

3. (х + у, z) = (х, z) + (у, z),

4. (х, х) > 0, егер х µ § 0, (х, х) = 0, егер х = 0,

Евклид кеЈістігі кез келген шекті йлшемді немесе шексіз йлшемді болып бйлінеді.

Скаляр кебейтіндініЈ 1) ЎЄ 3) аксиомаларын пайдаланып, оныЈ мына тймендегі ›асиеттерін дЩлелдейік:
1. (х, µ § у) =µ §(х, у).

2. (х, у + z) = (х, у) + (х, z).

3. (µ §µ §х µ § + µ § ... +µ §) =µ §+... +µ §

4. µ §

1. (х, µ §) = (µ §у,х) = µ § (у, х) = µ § (х, у).

2. (х, у + z) = (у + z, х) = (у, х) + (z, х) = (х, у) + (х, z).

3.(µ §+ ... + акхк, у) =µ §

4. µ §

Мысалдар.

(х(t),у(t)) =µ §

формуламен йрнектелсін.

аны›тал“ан скаляр кйбейтіндіге жо“арыда“ы тйрт аксиома орындалады. Олай болса Їзіліссіз функциялар [а,b ] жиыны евклид кеЈістік: µ § жЩне ол шексіз йлшемді.

2. На›ты п сандар µ § жиынын µ § вектордыЈ координаттары деп ›арастыралы›: x = µ §

x = µ § пен у=(уµ § векторларды ›осу, оларды µ § на›ты сан“а кйбейту (х + у) = µ § µ §

формуларымен аны›тайы›, ал олардыЈ скаляр кйбейтіндісін

µ § (2)

б)Евклид кеЈістігініЈ нормасы жЩне оныЈ ›асиеттері

Евклид R кеЈістігініЈ аны›тамасында“ы 4-аксиома бойынша кез келген

х µ § 0 элементтіЈ (вектордыЈ) скаляр (х, х) кйбейтіндісі на›ты оЈ сан. Сонды›тан, б±л скаляр (х, х) кйбейтіндіден квадрат тЇбір былай табылады:

µ §

Аны›тама. Евклид R кеЈістігініЈ х µ § 0 элементіне сЩйкес келетін (х, х) скаляр кйбейтіндініЈ квадрат тЇбірін µ § оныЈ нормасы (немесе ±зынды“ы, модулі) деп атаймыз жЩне оны µ § символымен белгілеп, мына тймендегі µ §=µ § формуламен йрнектейміз.

(х, у)2µ § (х, х) (у, у) (3)

немесе

µ §

ДЩлелдеуі. Егер µ § на›ты сан болса, онда µ §х-у векторы Їшін

(µ § х - у, µ § х - у) µ §0

теЈсіздігі орындалады.

Б±дан µ §(х,х)-2µ §(х,у) + (у,у)µ §0.

µ §-байланысты б±л квадратты ЇшмЇшеліктіЈ теріс болмауы Їшін оныЈ дискриминанты оЈ болмауы:

(х, у)2 - (х, х) (у, у) µ § 0.

›ажетті Щрі жеткілікті. Осы теЈсіздіктен (4.3) теЈсіздігі алынады. Теорема дЩлелденді.

Теорема. Евклид R кеЈістігініЈ кез келген екі µ § элементіне (векторына):

µ § (4)

ДЩлелдеуі. НорманыЈ жЩне скаляр кйбейтіндініЈ аны›тамасы бойынша:

µ §

(3)Коши теЈсіздігін ескерсек, онда

Теорема дЩлелденді.

Ескерту.. Егер х, у векторлары сызы›ты тЩуелді болса: х = µ § у, онда (4.3) теЈсіздігі теЈдікке айналады:

µ §

µ §

µ §<µ §

(х - µ § у, х - µ § у) > 0 немесе (х, х) - 2µ § (х, у) +µ § (у, у) > 0,

Б±дан µ §<0 немесе µ §<µ §
Ескерту. Егер х жЩне у векторлары ба“ыттал“ан кесінділер болса, онда (4.4) Їшб±рыш теЈсіздігінен шы“атын ›орытынды: Їшб±рыштыЈ бір ›абыр“асыныЈ ±зынды“ы оныЈ бас›а екі ›абыр“асыныЈ ±зынды›тарыныЈ ›осындысынан кіші.