ДЩрістіЈ ›ыс›аша тезистері
§ Сонымен эллипстіЈ теЈдеуі: µ §
жүктеу/скачать 4.79 Mb.
|
|
Есеп шарты бойынша 2а = 2, сонда а = 1, b = µ § Сонымен эллипстіЈ теЈдеуі: µ §. Гипербола жЩне оныЈ ›асиеттері Аны›тама. Гипербола деп фокустары деп аталатын нЇктелерден ›ашы›ты›тары айырмасыныЈ модулі сол фокустары ара›ашы›ты“ынан (F1F2 = 2c) кем болатын т±ра›ты 2а санына теЈ болатын жазы›ты›та“ы нЇктелердіЈ геометриялы› орнын айтады, оны былайша белгілейді: ѓмF1М - F2Мѓм = 2а (5) .
с ЁC фокустары ара ›ашы›ты“ыныЈ жартысы; 2а - т±ра›ты шама. F1М жЩне F2М ›ашы›ты›тарын r1= F1М, r2= F2М деп белгілесек, онда (5) теЈдік мына тЇрде жазылады: „Вr1 ЁC r2„В= 2a (51) ГиперболаныЈ бойынан кез келген М(х, у) нЇкте алайы›. y M(x, y) b r1 r2 x a F1 А2(-а;0) А1(а;0) F2 c Сонда: µ § µ §
µ § µ §
µ § µ §
µ § µ §
µ § с2 ЁC а2 = b2 деген белгілеме енгіземіз (геометриялы› тЇрдегі б±л шама ЁC кіші жарты ось) µ § µ §
ГиперболаныЈ жабайы (канонды›) теЈдеуін алды›.. Гипербола фокустарын ›осатын кесіндініЈ ортасына (О нЇктеге), жЩне координат осьтеріне ›ара“анда симметриялы. 2а гиперболаныЈ на›ты йсі деп аталады. 2b гиперболаныЈ жорамал йсі деп аталады. ГиперболаныЈ ›асиеттерін студенттерге йз беттерімен ›арастыру“а тапсырылады. ГиперболаныЈ екі асимптотасы болады жЩне олар µ § теЈдеулері ар›ылы беріледі. Аны›тама. µ § ›атынасы гиперболаныЈ эксцентриситеті деп аталады, м±нда“ы с ЁC фокустары ›ашы›ты“ыныЈ жартысы, а ЁCна›ты жарты йсь. с2 ЁC а2 = b2 екеніні ескерсек: µ § µ §
Егер а = b, µ § = µ § болса, онда гипербола теЈбЇйірлі (теЈ ›абыр“алы) деп аталады. Аны›тама. ГиперболаныЈ на›ты йсіне перпендикуляр, оныЈ центріне ›ара“анда симметриялы жЩне одан a/µ § ›ашы›ты›та болатын екі тЇзу гиперболаныЈ директрисалары деп аталады.ОлардыЈ теЈдеулері: µ §. Теорема. Егер r ЁC гиперболаныЈ кез келген М нЇктесінен ›андай да бір фокусына дейінгі ›ашы›ты“ы, ал d ЁC осы фокус›а сЩйкес директриса“а дейінгі ›ашы›ты“ы болса,онда r/d ›атынас ЁC эксцентриситетке теЈ т±ра›ты шама. Мысал. Тйбелері мен фокустары µ § эллипсініЈ сЩйкес тйбелері мен фокустарында болатын гиперболаныЈ теЈдеуін жаз. Эллипс Їшін : c2 = a2 ЁC b2. Гипербола Їшін: c2 = a2 + b2. µ §
µ §
µ § µ § ГиперболаныЈ теЈдеуі: µ §. Мысал. Егер гиперболаныЈ эксцентриситеті 2-ге теЈ, ал фокустары µ § теЈдеуімен берілген эллипстіЈ фокустарымен беттессе, онда гиперболаныЈ теЈдеуін жаз. Шешу. ЭллипстіЈ фокусты› ара ›ашы›ты“ын табамыз: c2 = 25 ЁC 9 = 16. Гипербола Їшін: c2 = a2 + b2 = 16, µ §= c/a = 2; c = 2a; c2 = 4a2; a2 = 4; b2 = 16 ЁC 4 = 12.
Парабола жЩне оныЈ ›асиеттері Аны›тама. Парабола деп фокусы деп аталатын нЇктеден ара ›ашы›ты“ы центрі ар›ылы йтпейтін директрисасы деп аталатын берілген тЇзуден бірдей ара ›ашы›ты›та болатын жазы›ты›та“ы нЇктелердіЈ жиынын айтады. Координат басын фокус пен директрисаныЈ ортасына орналастырамыз. у А М(х, у) О F x p/2 p/2 р шама (фокустан директриса“а дейінгі ›ашы›ты›) параболаныЈ параметрі деп аталады. ПараболаныЈ жабайы теЈдеуін ›орытып шы“арайы›. Геометриялы› кескіндемеден: AM = MF; AM = x + p/2; MF2 = y2 + (x ЁC p/2)2 (x + p/2)2 = y2 + (x ЁC p/2)2 x2 +xp + p2/4 = y2 + x2 ЁC xp + p2/4
рѓ®0 бол“анды›тан, (*) теЈдеуден х„d0. Сонды›тан, парабола Оу йсініЈ оЈ жа“ында орналасады. х ѓ 0 бол“анда, у ѓ 0. Демек, парабола координат басы ар›ылы йтеді. х шектеусіз йскен сайын у-тіЈ модулі де шектеусіз йседі. О(0; 0) нЇкте параболаныЈ тйбесі , ’М ѓ г М нЇктесініЈ фокальды› радиусыболады. y2 = - 2px , х2 = 2pу, х2 = - 2pу (рѓ®0 ) теЈдеулері де параболаларды аны›тайды. Мысал. у2 = 8х параболаныЈ бойынан директриса“а дейінгі ›ашы›ты“ы 4 ЁC ке теЈ болатын нЇктені тап. Шешу. ПараболаныЈ теЈдеуінен р = 4 табамыз. r = x + p/2 = 4; Сонда x = 2; y2 = 16; y = „b4. Ізделінді нЇктелер: M1(2; 4), M2(2; -4). Аны›тама. Фокусы деп аталатын, бер!лген F нЇктесінен жЩне директрисасы деп аталатын, беоілген d тЇзуінен теЈ›ашы›ты›та жат›ан жазы›ты› нЇктелері жиынын парабола деп атайды. ПараболаныЈ канонды› теЈдеуі у2=2px немесе х2 =2ру ПараболаныЈ директрисасы х=µ § немесе у=µ §. Аны›тама. Фокустары деп аталатын, берілген екі нЇктеден ›ашы›тарыныЈ ›осындысы т±ра›ты 2а санына теЈ жазы›ты› нЇктелерініЈ жиынын эллипс деп атайды. ЭллипстыЈ канонды› теЈдеуі µ §. М±нда“ы 2а ЁC Їлкен йсі, 2в ЁC кіші йсі. Фокустар F1(-c,0), F2(c,0), c2=a2-b2. ЭллипстіЈ эксцентриситеті e=µ §. Егер b=a онда теЈдеу былай х2+у2=a2 жазылады, я“ни ол шеЈбер теЈдеуі болып табылады Аны›тама. Фокустары деп аталатын, берілген екі нЇктеден ›ашы›тары айырымыныЈ модулі т±ра›ты 2а санына теЈ жазы›ты› нЇктелерініЈ жиынын гипербола деп атайды. ГиперболаныЈ канонды› теЈдеуі µ §. М±нда“ы 2а ЁC Їлкен йсі, 2в ЁC кіші йсі. Фокустар F1(-c,0), F2(c,0), c2=a2+b2. ГипеболаныЈ эксцентриситеті e=µ § ГипеболаныЈ асимптоталар у=µ § љайталау с±ра›тары. Жазы›ты›та“ы екінші ретті сызы›тар. ШеЈбер.
Эллипс, оныЈ ›асиеттері. Гипербола, оныЈ ›асиеттері. Парабола, оныЈ ›асиеттері
Та›ырып: КеЈістіктегі тЇзулер мен жазы›ты›тар Ма›саты: КеЈістіктегі тузу, жазы›ты› ±“ымдары, олар“а ›олданылатын амалдар. љарастыратн с±ра›тар: КеЈістіктегі жазы›ты›. КеЈістіктегі тЇзу. Жазы›ты›ты аны›тау тЩсілдері Жазы›ты›тардыЈ йзара орналасуы Жазы›ты›тыЈ нормальды› теЈдеуі. НЇктеден жазы›ты››а дейінгі ара ›ашы›ты› 4. Жазы›ты›тардыЈ арасында“ы б±рыш. Перпендикулярлы› жЩне параллельдік шарттары 5. µ § кеістігінде тЇзудіЈ аны›талу тЩсілдері 6. КеЈістіктегі екі тЇзудіЈ йзара орналасуы 7. ТЇзулердіЈ арасында“ы б±рыш 8. ТЇзу мен жазы›ты›тыЈ арасында“ы б±рыш КеЈістіктегі жазы›ты›. 1. Берілген М0(x0, y0, z0) нЇкте ар›ылы йтетін жЩне берілген µ §=(A,B,C) нормаль векторына перепендикуляр жазы›ты›тыЈ теЈдеуі A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 2. Ax+By+Cz+D=0 теЈдеуі, м±нда“ы А, В, С коэффициенттерініЈ кемінде біреу нйлге теЈ емес, жазы›ты›тыЈ жалпы теЈдеуі деп аталады. М±нда“ы µ §=(A,B,C) нормаль векторы. 3. Жазы›ты›тыЈ нормалан“ан теЈдеуі. Ax+By+Cz+D=0 теЈдеуін нормалан“ан теЈдеуіне келтіру Їшін, оны µ § нормалаушы кйбейткішіне кйбейту ›ажет. Егер Dµ §0 , болса, онда б±л кйбейткіштіЈ таЈбасы D- ніЈ таЈбасына ›арама ЁC ›арсы алынады. Ал егерде D=0 болса, онда µ §- ныЈ таЈбасы ретінде екі таЈбаныЈ кез келгеніЈ алу“а болады, я“ни Ax+By+Cz=0 теЈдеудіЈ сол жа“ын µ § векторыныЈ ±зынды“ына бйлеміз. М1(x1 ,y1 ,z1), М2(x2 ,y2 ,z2), М3(x3 ,y3 ,z3) Їш нЇктеден йтетіЈ жазы›ты›тыЈ теЈдеуі аны›тауыш ар›ылы табылады µ §
М0(x0, y0, z0) нЇктесінеЈ йтетін жЩне µ § вектор“а параллель тЇзудіЈ канонды› теЈдеуіµ § ТЇзудіЈ параметрлік теЈдеуі канонды› теЈдеуден шы“ады µ §=t , µ §, немесе µ § М1(x1 ,y1 ,z1), М2(x2 ,y2 ,z2) екі нЇктеден йтетіЈ тЇзудіЈ теЈдеуі мына формуламен табылады µ §µ §
4. ТЇзуді екі жазы›ты›тыЈтыЈ ›иылысу ар›ылы былай аны›таладыµ § ТЇзудіЈ ба“ыттауыш вектордыЈ координатталары µ § 5. d1 жЩне d2 тЇзулер берісін дейік µ §, µ §, онда екі тЇзудіЈ арасында“ы б±рыш мына формуламен аны›таладыµ § ТЇзулердіЈ параллелдік жЩне перпендикулярлы› шартты. Егер d1 „К„Кµ §d2, онда µ § Егер d1 ѓО d2, онда l1 l2+m1 m2+n1 n2=0 Жазы›ты›ты аны›тау тЩсілдері КеЈістікте µ § координаттар жЇйесіндегі µ § жиыныныЈ теЈдеуі деп осы жиынныЈ кез келген нЇктесініЈ координаталары ›ана“аттандыратын µ § теЈдеуді атайды. КеЈістіктегі ›арапайым, біра› йте маЈызды жиындардыЈ бірі ЁC жазы›ты› теЈдеуі. µ § ТДКЖ-де µ § жазы›тыЈ µ § нЇктесімен жЩне µ §, µ § параллель емес µ § ішкі кеЈістігімен берілсін. Сонда µ §. µ §, µ §, µ § параллель емес µ § болсын. µ § бол“анды›тан µ § немесе µ §. (4.1) (4.1) - µ § жазы›ты“ыныЈ теЈдеуі. µ §. µ §; µ §; µ §. µ § деп белгілеп µ § жазы›ты›тыЈ теЈдеуін келесі тЇрде жазу“а болады: µ § (4.2) 2. Жазы›ты›тыЈ параметрлік теЈдеуі. µ § векторлардыЈ компланарлы“ын параметрлер ар›ылы йрнектейік: µ §, м±нда µ §, µ § нЇктеніЈ параметрлері. Осы векторлы› теЈдеуді координатты› тЇрде жазып, µ § жазы›ты›тыЈ параметрлік теЈдеуін табамыз: µ § (4.3) µ § 3. Бір тЇзудіЈ бойында жатпай Їш нЇкте ар›ылы йтетін жазы›ты›тыЈ теЈдеуі. КеЈістікте аффиндік координаттар жЇйесі жЩне µ §, µ §, µ §, µ § Їш нЇкте берілсін. µ § жазы›ты“ын µ § нЇкте жЩне µ §, µ § коллинеар емес векторларымен аны›тау“а болады. Сонда µ § (4.4) жазы›ты›тыЈ теЈдеуі. 4. НЇкте жЩне нормаль вектормен берілген жазы›ты›тыЈ теЈдеуі. КеЈістікте µ § ТДКЖ, µ § нЇкте жЩне µ § вектор берілсін. µ § нЇкте ар›ылы йтетін жЩне µ § векторын перпендикуляр жазы›ты›ты µ § деп белгілейік. Сонда µ § немесе µ § (4.5) (4.5) ЁC жазы›ты›тыЈ теЈдеуі. 5. Жазы›ты›тыЈ жалпы теЈдеуі. Теорема. µ § (4.6) теЈдеу жазы›ты›тыЈ теЈдеуі болу Їшін µ § сандарыныЈ бірі нйлге теЈ емес (я“ни теЈдеу бірінші дЩрежелі) болуы ›ажетті жЩне жеткілікті. (4.6) ЁC жазы›ты›тыЈ жалпы теЈдеуі: Сызы›ты тЩуелсіз µ §, µ § векторлары жазы›ты›тыЈ ба“ыттаушы векторлары. Егер координаттар жЇйесі ЁC тікб±рышты декартты› боолса, онда µ § (4.6) жазы›ты“ына перпендикуляр. Жазы›ты›тардыЈ йзара орналасуы Аффиндік координаттар жЇйесінде µ § жЩне µ § жазы›ты›тар теЈдеулерімен берілсін: µ § (4.7) µ § жа“дайын ›арастырайы›, егер µ § - (3.7) шешімі, берілген жазы›ты›тардыЈ ›иылысуын зерттеу (4.7) жЇйеніЈ Їйлесімділігін зертеге келтіріледі. Егер µ §, µ §, онда µ §, µ §, µ §. Кронекер-Капелли теоремасы бойынша (4.7) Їйлесімді болу Їшін µ § шарты орындалу керек. Келесі жа“дайлар кездесуі мЇмкін: 1. µ §;
2. µ §; 3. µ §, µ §. 1. Егер µ §. Сонда екі теЈдеу мЩндес, я“ни олар бір µ § жазы›ты›ты кйрсетеді. 2. Егер µ § болса, онда (4.7) Їйлесімді жЩне екі жазы›ты›тыЈ орта› нЇктесі болады. Ал стереометрия аксиомалары бойынша жазы›ты›тар тЇзу бойымен ›иылысады. 3. Егер µ §, µ § болса, онда (4.7) Їйлесімсіз, я“ни жазы›ты›тар ›иылыспайды:µ § Жазы›ты›тыЈ нормальды› теЈдеуі. НЇктеден жазы›ты››а дейінгі ара ›ашы›ты› ТДКЖ-де жазы›ты› µ § теЈдеуімен берілсін. Егер µ §, я“ни µ § теЈдігі орындалса, онда жызы›ты›тыЈ теЈдеуі нормальды› теЈдеу деп аталады. Жазы›ты›тыЈ µ § теЈдеуі нормальды› тЇрге келтіру Їшін оныЈ екі жа“ын да µ § санына кйбейту керек. Егер µ § нЇктесінен µ § жазы›ты“ына дейінгі ара ›ашы›ты›ты табайы›. µ §, м±нда µ § µ § жЩне
µ § Осыдан
µ §. (4.8) Жазы›ты›тардыЈ арасында“ы б±рыш. Перпендикулярлы› жЩне параллельдік шарттары ТДКЖ екі жазы›ты› берілсін: µ § µ §
Екі жазы›ты›тыЈ ›иылысуында тйрт екіжа›ты б±рыштар ›±ралады. ОлардыЈ ішіндегі еі кіші б±рыш екіжа›ты›тыЈ арасында“ы б±рыш деп аталады. µ § жЩне µ § векторларыныЈ арасында“ы б±рыш бір екіжа›ты сызы›ты› б±рышына теЈ. Сонда,
µ §, м±нда µ § - жазы›ты›тардыЈ арасында“ы б±рыш. егер µ § егер µ §. µ § кеістігінде тЇзудіЈ аны›талу тЩсілдері 1. µ § тЇзу µ § нЇкте жЩне µ § ба“ыттаушы векторымен аны›талады. µ § Осыдан:
а) µ § - тЇзудіЈ канонды› теЈдеуі; б) µ § - тЇзудіЈ параметрлік теЈдеуі; (µ § - парметр). 2. µ § тЇзу µ §, µ §, µ § нЇктелері мен аны›талуы мЇмкін. Сонда µ § - ба“ыттаушы векторы деп, ал берілген нЇкте - µ § нЇктесін алып, µ § тЇзудіЈ теЈдеуін жазу“а болады: µ §. 3. Екі жазы›ты›тыЈ ›иылысуы тЇзуді аны›тайды. µ § жЩне µ § жазы›ты›тар теЈдеулерімен берілсін: µ § (5.1) µ §. Егер µ §, онда (4.1) теЈдеулер жЇйесі тЇзудіЈ теЈдеуі болады. КеЈістіктегі екі тЇзудіЈ йзара орналасуы µ § жЩне µ § тЇзулер теЈдеулерімен берілсін: µ §: µ §, µ §, µ § µ §: µ §, µ §, µ §. Тйрт жа“дай болуы мЇмкін. 1. Егер µ § векторлары компланар болса, онда µ § жЩне µ § тЇзулері бір жазы›ты›та жатады; я“ни µ § 2. Егер µ § болса, онда µ § жЩне µ § тЇзулері ай›ас тЇзулері болады. 3. µ § 4. µ §
ТЇзулердіЈ арасында“ы б±рыш ТДКЖ µ § жЩне µ § тЇзулері теЈдеулерімен берілсін: µ §: µ §, µ §: µ §. Кез келген бір µ § нЇкте ар›ылы µ §, µ § тЇзулерін жЇргізейік.
жЩне µ § тЇзулері тйрт б±рыш жасайды. ОлардыЈ еЈ кішісі тЇзулердіЈ арасында“ы б±рыш деп аталады. µ § жЩне µ § векторларыныЈ арасында“ы б±рыш тйрт б±рыштыЈ біріне теЈ. ТЇзулердіЈ арасында“ы б±рышты µ § деп белгілейік. Сонда µ §.
Егер µ §; Егер µ §. ТЇзу мен жазы›ты›тыЈ арасында“ы б±рыш µ § тЇзу мен µ § жазы›ты“ына теЈдеулерімен берілсін: µ §: µ §; µ §. Егер µ §, онда µ §, Егер µ § перпендикуляр емес µ §, онда тЇзу мен жазы›ты›тыЈ арасында“ы б±рыш деп осы тЇзу мен жазы›ты›та“ы проекциясыныЈ арасында“ы б±рышты атайды, µ §. Екі жа“дай кездесуі мЇмкін: а) µ §; б) µ §.
µ §. Егер: а) µ §; б) µ §.
ТЇзудіЈ канонды› теЈдеуі ТЇзудіЈ параметрлік теЈдеуі Жазы›ты›тыЈ параметрлік теЈдеуі 2. Бір тЇзудіЈ бойында жатпай Їш нЇкте ар›ылы йтетін жазы›ты›тыЈ теЈдеуі 3. НЇкте жЩне нормаль вектормен берілген жазы›ты›тыЈ теЈдеуі 4. Жазы›ты›тыЈ жалпы теЈдеуі
№20-22 саба›. Та›ырып: Екніші ретті сызы›тардыЈ канонды› тЇрге келтіру. Жазы›та“ы полярлы› координаттар жЇйесі Жазы›та“ы полярлы› координаттар жЇйесі Конусты› ›ималар Тік б±рышты декартты› координаттар жЇйесіндегі конусты› ›ималардыЈ теЈдеулері Конусты› ›ималардыЈ диаметрлері 1. Жазы›та“ы полярлы› координаттар жЇйесі Полярлы› коордииаттар жЇйесі деп µ § нЇкте жЩне µ § бірлік вектордан т±ратын µ § ж±бын атайды. µ § нЇкте полюс, µ § йсі полярлы› йс деп аталады. Сонда жазы›ты›та“ы кез келген µ § нЇктесіне µ § сандар ж±бы сЩйкестікке ›ойылады келеді, м±нда µ §, µ §, µ § сандары µ § нЇктеніЈ полярлы› координаттары деп аталады µ §. µ § - полярлы› радиус, µ § - полярлы› б±рыш. Полярлы› координаттарды декартты› координаттар ар›ылы йрнектеуге болады: µ § декартты› координаттар полярлы› координаттар ар›ылы µ § формулаларымен аны›талады. 2. Конусты› ›ималар ДйЈгелек конусты оныЈ тйбесіне йтпейтін жазы›ты›пен ›и“анда пайда бол“ан ›исы›ты конусты› ›има деп атайды. Егер µ § ›има жазы›ты› µ § йсіне перпендикуляр болса, онда конусты› ›има шеЈбер болады. Конкусты› ›ималардыЈ негізгі ›асиеті: Шрбір конусты› ›има фокус деп аталатын µ § нЇктеден дисектриса деп аталатын µ § тЇзуге дейінгі ара ›ашы›ты›тарыныЈ ›атынасы т±ра›ты болатын жазы›ты›та“ы нЇктелердіЈ геометриялы› орындары, я“ни µ §. µ § саны конусты› ›иманыЈ эксцентриситеті деп аталады. Егер µ §, онда конусты› ›има эллипс деп аталады. Егер µ §, онда конусты› ›има парабола, ал µ §, онда конусты› ›има гипербола деп аталады.
µ § (6.2) µ § (6.3) (6.1) ЁC (6.3) ЁC конусты› ›ималардыЈ канонды› теЈдеулері; µ § жЩне µ § сандары ЁC жарты йстері. (6.1) ЁC эллипстіЈ канонды› теЈдеуі. : 1. Координаттар йстері ЁC эллипстіЈ симметрия йстері; 2. Координаттар бас нЇктесі ЁC эллипстіЈ симметрия центрі (эллипстіЈ цнетрі): 3. ЭллипстіЈ µ § екі фокусы жЩне µ § екі директисалары бар; 4. Фокустарына дейінгі ара ›ашы›ты›тарыныЈ ›осындысы µ § т±ра›ты шамасына теЈ нЇктелердіЈ геометриялы› орындары ЁC эллипс; 5. Эллипс Їшін µ § теЈдігі орындалады, м±нда µ § саны келесі шарттан аны›талады: µ §, µ §; 6. µ § жЩне µ § тЇзулер эллипстіЈ директисалары, м±нда µ §; 7. Эллипс µ §, µ § тік б±рышпен шектелген; 8. Эллипс µ § шеЈбері µ § йсі бойымен µ § формулалар бойынша бір ›алыпты сы“уынан пайда болады; 9. ЭллипстіЈ параметрлік теЈдеуі: µ §, µ § - на›ты сан. 1-9 ›асиеттерін пайдаланып эллипсті салу“а болады. (6.2) ЁC гиперболаныЈ канонды› теЈдеуі. ГиперболаныЈ ›асиеттері. 1. Координаттар йстері - гиперболаныЈ симметpия йстері; 2. Координатrар бас нЇктесі ЁC гиперболаныЈ симметрия центрі (гиперболаныЈ центрі); 3. ГиперболаныЈ µ § екі фокусы, µ § екі директриса жЩне екі тарма“ы бар; 4. Фокустарына дейінгі ара ›ашы›ты›тарыныЈ айырмасыныЈ абсолют шамасы т±ра›ты шама“а теЈ болатын, я“ни µ § нЇктелердіЈ геометриялы› орындары - гипербoла; 5. Гипербола Їшін µ §, м±нда µ § саны µ §, µ § шартынан аны›талады; 6. µ § жЩне µ § тЇзулері гиперболаныЈ директисалары, м±нда µ §; 7. Гипербола µ §, µ § тік тйртб±рыштан тыс орналас›ан. 8. 1-ші жЩне 2-ші вертикаль б±рыштарыныЈ ішінде гиперболаныЈ нЇктелері жо›; 9. (Асимптотикалы› ›асиет). Егер (6.2) гиперболаныЈ µ § нЇктесі координаттар бас нЇктесінен шексіз алыстайтын болса, онда оныЈ µ §; µ § тЇзулеріне (µ § тік тйртб±рыштыЈ диагональдары) дейінгі ара ›ашы›ты› нйлге ±мтылады. µ § жЩне µ § тЇзулері гиперболаныЈ асимптоталары деп аталады. 1 - 9. ›асиеттерін пайдаланып гиперболаны салу“а болады. Ескерту. µ § гипербола µ § гипербола“а тЇйіндес деп аталады, µ § - на›ты йсі; µ §, µ § - - тйбелері. (6.3) - параболаныЈ канонды› теЈдеуі. ПараболаныЈ ›асиеттері: 1. µ § - симметрия йсі; 2. µ § фокустыЈ координаттары: µ §, µ § директрисаныЈ теЈдеуі; 3. егер µ § болса, онда парабола оЈ жарты жазы›ты›та орналасад µ §, егер µ § - теріс жарты жазы›ты›та. 4. Конусты› ›ималардыЈ диаметрлері ЭллипстіЈ (гиперболаныЈ) центрінен йтетін тЇзуді атайды. ПараболаныЈ диаметрі деп оныЈ йсіне параллель жЩне йстіЈ йзін атайды. Кез келген тЇзу конусты› ›имамен екіден арты› емес нЇктелерде ›иылысад. Егер ›иылысу нЇктелері екеу болса, онда ±штары ›иылысу нЇктелерінде жататын кесінді хорда деп аталады. Конусты› ›ималардыЈ ›асиеті: Конусты› ›ималардыЈ барлы› параллель хордалардыЈ орталары оныЈ диаметрінде жатады. изін-йзі ба›ылау“а арнал“ан с±ра›тар: Полярлы› коордииаттар жЇйесі деп Конусты› ›има ГиперболаныЈ ›асиеттері Шдебиеті: [1], [3], [4]. ДЩріс 23-26 Та›ырып: Айналу беттері Ма›стаы: Айналу беттері, эллипсоид, гиперболоид, параболоид ±“ымдары. Цилиндрлік жЩне сфералы› координаталар жЇйесін ›арастыру. љарастыратын с±ра›тар: Айналу денелері. Цилиндрлік жЩне сфералы› координаталар системалары Цилиндрлі беттер Аны›тама. љандай да бір ›исы›тыЈ ›оз“алмайтын d тЇзуін айналудан шы››ан бет d осін айналудан шы››ан бет деп аталады. Егер тік б±рышты координат системасында беттіЈ теЈдеуі F(x2 + y2, z) = 0 тЇрінде берілсе, онда бет Оz осін айналудан шы››ан бет болады. ДЩл сол сия›ты: F(x2 + z2, y) = 0 ЁC Оу осін айналудан шы››ан бет, F(z2 + y2, x) = 0 ЁC Ох осін айналудан шы››ан бет. Дербес жа“дайда“ы айналу беттерініЈ теЈдеулерін жазайы›. µ § - айналу эллипсоиды µ § - бір ›уысты айналу гиперболоиды µ § - екі ›уысты айналу гиперболоиды µ § - айналу параболоид ДЩл осылайша жо“арыда“ы айналу беттердіЈ теЈдеулерін айналу осьтері Ох немесе Оу бол“ан жа“дайда да жазу“а болады Алайда жо“арыда“ы беттер жалпы жа“дайда“ы екінші ретті беттердіЈ дербес жа“дайы боп табылады. ОлардыЈ кейбіреулерін тйменде ›арастырамыз. Сфера: µ § ®ш осьті эллипсоид: µ § ЭллипсоидтыЈ координататалар жазы›ты›тарына параллель ›ималары эллипстер болады. Бір ›уысты гиперболоид: µ § Екі куысты гиперболоид: µ § Эллипстік параболоид: µ § Гиперболалы› параболоид: µ § Екінші ретті конус: µ § Цилиндрлік жЩне сфералы› координаталар системалары
КеЈістікте О нЇктені жЩне сол нЇктеден шы“атын l сЩулені жЩне µ § векторын алайы›. О нЇкте ар›ылы µ § нормаль векторына перпендикуляр болатын жал“ыз “ана жазы›ты› жЇргізуге болады. Цилиндрлік, сфералы› жЩне тік б±рышты декарт координат системаларыныЈ арасында сЩйкестіктер енгізу Їшін О нЇктені тік б±рышты декарт координат системасыныЈ басымен беттестіреді, l сЩуле ЁC х осініЈ оЈ ба“ытымен, ал нормаль вектор z осініЈ бойымен кетеді. Цилиндрлік жЩне сфералы› координат системалары ›исы›тыЈ немесе беттіЈ тік б±рышты декарт координат системасында“ы теЈдеулері барынша кЇрделі жЩне м±ндай теЈдеулермен ›иын операциялар жЇргізу кезінде ›олданылады. ТеЈдеулерді цилиндрлік жЩне сфералы› системада кйрсету есептеуледі барынша оЈайлатады. z
ѓЪ ѓв 0 ѓб h x
г M1
y µ § ОМ1 = r; MM1 = h; Егер М нЇктеден жазы›ты›та ММ1 перпендикулярын тЇсірсек, онда М1 нЇктеніЈ жазы›ты›та“ы полярлы› координаталары (r, ѓб) болады.
Цилиндрлік жЩне тік б±рышты декартты› координаталар системаларыныЈ байланысы Поляр координат системасы сия›ты жазы›ты›та кеЈістікте ЩртЇрлі координат системасын байланыстыратын ›атынастарды жазу“а болады. Цилиндрлік жЩне тік б±рышты декарт координат системасы Їшін б±л ›атынастар тймендегідей болады: h = z; x = rcosѓб; y = rsinѓб; cosѓб = µ §; sinѓб = µ §. Сфералы› координат системасыныЈ тік б±рышты декартты› системамен байланысы
Аны›тама. Екінші ретті беттер ЁC б±л теЈдеулері тік б±рышты координат системасында екінші ретті теЈдеулер болатын беттер. Цилиндрлі беттер Аны›тама. Цилиндрлік беттер деп ›андай да бір аны›тал“ан тЇзуге параллель болатын сызы›тардан пайда бол“ан беттерді айтады. ТеЈдеуінде ›±раушысы z болмайтын, я“ни ба“ыттаушылары Оz осіне параллельи беттерді ›арастырайы›.Тип линии на плоскости ХOY жазы›ты“ында“ы сызы›тыЈ типі (б±л сызы› беттіЈ ба“ыттаушысы деп аталады) цилиндрлік беттіЈ ситпатын аны›тайды. Ба“ыттаушысыныЈ теЈдеуіне байланысты бірнеше дербес жа“дайларды ›арастырайы›.
2) µ § - гиперболалы› цилиндр. x2 = 2py ЁC параболалы› цилиндр. №27-28 саба›. Та›ырып: Комплекс сандар. Комплекс санныЈ геометриялы› интерпретациясы. Комплекс саннан квадрат тЇбір алу. ТЇйіндес сандар. Комплекс санныЈ тригонометриялы› тЇрі Комплекс саннан n-ші дЩрежелі тЇбір алу. Шдебиеті: [1], [3], [4]. №29-30 -саба›. Та›ырып: КйпмЇшелер са›инасында бйлінгіштік. Бір айнымалысы бар кйпмЇшеніЈ ›алды›пен бйлінуі. КйпмЇлердіЈ еЈ Їлкен орта› бйлгіші, Евклид алгоритмі. Горнер схемасы. КеЈістіктегі тЇзу. Ай›ыш тЇзулердіЈ арасында“ы ара›ашы›ты›. Практикалы› саба››а Щдістемелік н±с›аулы› №1 тЩжірибелік саба›. Матрица жЩне о“ан ›олданылатын амалдар. Квадратты› матрица аны›тауыштары. Ма›саты: Матрица ±“ымын енгізу. Олар“а ›олданылатын амалдарды Їйрету. жүктеу/скачать 4.79 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|