Единственность и устойчивость решения плоских и пространственных задач интегральной геометрии

ДИЛЬМАН Т.Б.

Обратными задачами для дифференциальных уравнений, как известно, принято называть задачи определения дифференциальных уравнений по известной информации о решениях этих уравнений [1-4]. Многие прикладные вопросы, касающиеся исследования кинематических задач сейсмики, теории потенциала, уравнения Штурма-Лиувилля и других процессов, привели к обратным задачам [5-8].

Многомерные обратные задачи часто некорректны в классическом смысле Адамара. Поэтому актуальность приобретают вопросы единственности и поиск минимальной информации, которая делает обратную задачу определенной. Требуется установить условную корректность в смысле Тихонова некорректно поставленных задач [9-13].

Обратные задачи приводят к операторным уравнениям первого рода. Например, некоторые обратные задачи для гиперболических уравнений могут быть редуцированы к исследованию интегральных уравнений Вольтерра первого рода. Это позволяет для одномерных задач получить интегральное уравнение Вольтерра второго рода с операторами, обладающими достаточно хорошими свойствами [14-15]. В многомерных обратных задачах информации о решениях дифференциальных уравнений задается лишь на части границы рассматриваемой области и поэтому такую обратную задачу невозможно свести к интегральному уравнению Вольтерра второго рода. Как известно, причиной является некорректность многих обратных задач для дифференциальных уравнений с частными производными.

Задача интегральной геометрии (академик И.М.Гельфанд, 1960 г.), как известно, заключается в определении функции, если известны интегралы от нее по семейству многообразий, причем разхмерность этих многообразий меньше размерности пространства, которое является областью определения искомой функции. Многие прикладные задачи сводятся к задачам интегральной геометрии. Например, к задаче интегральной геометрии сводится задача интерпретации сейсмических наблюдений, где по временам пробега сейсмических волн требуется определить внутреннее строение Земли. В частности, некоторые обратные задачи для дифференциальных уравнений математической физики тесно связаны с задачами интегральной геометрии [16-20].

Академик М.М.Лаврентьев и В.Г.Романов в 1966 г. Впервые обратили внимание на глубокую связь между задачами интегральной геометрии и многомерными обратными задачами для дифференциальных уравнений с частными производными. Возникает необходимость исследования новых задач интегральной геометрии, когда интегрирование искомой функции (или нескольких функций) производится по семейству сложных многообразий.

В данной работе рассмотрены несколько плоских и пространственных задач интегральной с ядрами инвариантными и неинвариантными к сдвигу по горизонтали, а также по вертикали [25-33]. Для рассмотренных задач доказаны теоремы единственности и получены оценки условной устойчивости. Как хорошо известно, академик А.Н.Тихонов в 1943 году доказал теорему, где априори предполагая существование решения обратной задачи для дифференциального уравнения, установил, что из единственности решения этой задачи вытекает устойчивость на множестве корректности. Функциональное пространство, где установлена устойчивость решения, обычно, намного уже, чем функциональное пространство, где доказана единственность решения. Поэтому говорят об условной устойчивости некорректных задач.

Следовательно, высокую актуальность приобретает проблема установления единственности решения интегральной геометрии. Тогда, согласно теории Тихонова, в принципе можно получить оценку устойчивости решения на множестве корректности.

При доказательстве теорем использованы полярные и цилиндрические системы координат, дифференцирования по направлениям, свойства регулярных и гармонических функций, дельта-функция Дирака, таблицы вычисления интегралов от специальных функций, интегральные преобразования Фурье и Лапласа, теория интегральных уравнений Вольтерра первого и второго родов и теория академика М.М.Лаврентьева исследования некорректных задач, известные леммы А.Х.Амирова, А.Л.Бухгейма.