Әдістемелік нұсқаулардың

Қазақстан Республикасының Білім және ғылым министрлігі

С. Торайғыров атындағы Павлодар мемлекеттік университеті

Комплекс айнымалылар функияларының теориясы

пәні бойынша

510103 «Математика» мамандығының студенттеріне арналған

пәнді оқып игерудің


ӘДІСТЕМЕЛІК НҰСҚАУЛАР

Павлодар

Әдістемелік нұсқауларды бекіту парағы

Нысан ПМУ ҰС Н 7.18.3/41

Қ ұрастырушы: ф.-м.ғ.к., профессор Мұқанов Ғ.М.

Математика кафедрасы

Комплекс айнымалылар функияларының теориясы

пәні бойынша

510103 «Математика» мамандығының студенттеріне арналған

пәнді оқып игерудің

әдістемелік нұсқаулар

Кафедраның отырысында ұсынылды

20__ж. «___»______________, №__ Хаттама
Кафедра меңгерушісі _____________ Павлюк И.И. 20__ж. «____» ________

(қолы)

20__ж. «___»______________, №____ Хаттама

ОӘК төрағасы _______________ Мұқанова Ж.Ғ. 20__ж. «____» ________

(қолы)

(қолы)
Университеттің оқу-әдістемелік кеңесімен мақұлданды

20__ж. «___»______________ №____ Хаттама

Пәнді оқытуға арналған әдістемелік нұсқау

1 және 2-ші дәрістердің материалдарын оқу әдісі. Кешен сан деп түрінде өрнектелетңн санды айтады. Мұндағы а мен b нақты сандар. Олар сәйкесінше кешен санның нақты және жорамал бөлімдері деп аталады да, және деп белгіленеді. і саны жорамал бірлік деп аталады. Бұл сан деп анықталады,. саны таза жорамал сан деп аталады. Мысалы, санының нақты бөлімі ал жорамал бөлімі (–3i емес). бұл санның таза жорамал бөлімі –3i. Декарт жазықтығының нүктесі кешен санының геометриялық бейнесі болады, жоғарылағы мысалдағы саныныі декарт жазықтығындағы бейнесі нүктесі. Кешен санды осылай деп кескіндеуге негіз болған Декарт жазықтығының нүктесі сыяқты кешен санның реттелген екі нақты сан арқылы анықталуы. Бірақта, кешен санмен осындай сандар арасындағы амалдарға геометриялық мағына беру үшін, кешен санды Декарт жазықтығындағы нүктенің радиус-векторы деп мазмұндау қолайлырақ келеді. Осы мақсатпен, біз кешен кешен жазықтық ұғымын енгіземіз. Бұл жазықтық төмендегі ретпен анықталады:

1. Декарт жазықтығының абсцисса өсі кешен жазықтығының нақты, ал ордината өсі жорамал өс деп жариаланады.

2. Өстері осылай реттелген Декарт жазықтығының нүктесі ассцисса өсінің білік векторы, ал ордината өсінің нүктесі осы өстің бірлік векторы деп қарастырылады.

Осы шарттар орындалған жағдайда, санының радиус-векторы деп мағыланған кешен жазықтығындағы осы санның геометриялық бейнесі болады (1-ші сурет). Кешен жазықтығында осылай бейнеленген кешен сандардың қосындысы осы сандарды бейнелейтін радиус-векторлардың қосындысы ретінде, ал айырымы осы векторлардың айырымы арқылы бейнеленеді (2-ші сурет)..

1-щі сурет

2-ші сурет

Осы тақырып бойынша студенттер білуі керек:

• 
  жорамал бірліктің анықтамасы;
  
• 
  кешен санның анықтамасы (келекте сан);
  
• 
  санның алгебралық тұлғасы. Алгебралық тұлғадағы санның элементтері
  

• 
  санның жорамал бөлімі;
  
• 
  санның нақты бөлімі;
  
• 
  санның таза жорамал қосылғышы (жорамал бөлімі еместігін есте сақта);
  
• 
  санның тригонометриялық тұлғасы. тригонометриялық тұлғасы санның элементтері:
  
• 
  санның модулі;
  
• 
  санның аргументі, аргументтің бас мәні;
  
• 
  сан аргументтің толық мәні;
  
• 
  санның модулі мен аргументі туралы теорема;
  
• 
  санның декартжазықтығындағы кескіні;
  
• 
  санның кешен жазықтықтағы кескіні;
  
• 
  сандық сфера;
  
• 
  сандық сфера бетіндегі нүктенің географиялық координаттары;
  
• 
  кешен жазықтығының сандық сфераға стереографиялық проекциясы және керісінше;
  
• 
  кешен жазықтығындағы нүктенің полярлқ кординаттарын, бірлік сфера бетін-дегі осы нүтеге сәйкес нүктенің географиялық координаттарымен байланыстыратын формуланы дәлелдеуді;
  
• 
  кешен жазықтығының ақырсыз қашықтағы нүтесінің бірлік сфера бетіндегі бейнесі;
  
• 
  ақырлы кешен жазықтық және оның сандық сфера бетіндегі бейнесі;
  
• 
  компакт туралы ұғым және оның сандық сфера бетіндегі бейнесі.
  

• 
  жорамал бірліктің дәрежелерін есептеуді;
  
• 
  санды алгебралық тұлғалзда жаып оның элементтерін анықтауды:
  
• 
  санды тригонометриялық тұлғалзда жаып, оның элементтерін анықтауды;
  
• 
  сандар арасындағы арифметикалық амалдарды;
  
• 
  санды тригонометриялық тұлғаға келтіруді;
  
• 
  сандың натурал және рационал дәрежелерін есептеуді;
  
• 
  кешен сандар жиынын теңсіздіктер арқылы жазуды;
  
• 
  сандар жиынының стереографиялқ проекциясын табуды;
  
• 
  шексіздікпен амалдар орындауды.
  

Кешен функцияның туындысын анықтағанда туындының модулі мен аргументінің геометриялық мағыналарына ерекше көңіл аудару керек. Себебі осылар арқылы аналитикалық функция туралы ұғым анықталады.

Функционалды қатарларды оқығанда оның бірқалыпты жинақтылығына ерекше көңіл аудару керек. Бірқалыпты жинақталатын қатардың қосындысына осы қатардың элементтерінің қасиеттері мұра ретінде көшетінініне ереше көңіл аудару керек.

Кешен айнымалды функцияның туындысы нақты функцияның туындысын құру алгоритмі бойынша анықталады. Бұл нақты функцияның барлық қасиеттерін кешен айнымалды функция үшін дәлелдеуге мүмкіндік береді. Дегенмен, кешен сандардың ерекшеліктері бұл анықтамаға ішінара өзгертулер енгізуді талап етеді. Мысалы, туындының қасиеттері функцияның анықталу жиынының құрылымынан тәуелді. Бұл, өз кезегінде функцияның анықталу жиынына шектеулер қойуды талап етеді. Мұндай талаптардың ең маңыздысы функцияны аймақта, яғный,Аймақтың байланысты ашық жиында анықталау. Функцияның анықталу аймағының барлық нүктелерінде дифферециалданатын функция осы аймақта аналитикалық деп аталады. Осы пәннің мақсаты осындай функцияларды зерттеу. Аналитикалық функцияның нақты және жорамал бөлімдері түйіндес гармоникалық функциялар болады. Бұл қасиет аналитикалық функцияны нақты немесе жорамал бөлімдері арқылы қалпына келтіруге мүмкіндік береді.

Осы дәрістегі оқу материялын оқу нәтижесінде студенттер білуі керек:

• 
  кешен функциялар тізбегішегінің анықтамасын.
  
• 
  сандар тізбегінің жинқталу критериін (Коши белгісі);
  

• 
  шенеулі тізбек шегінің бар болатындығын;
  
• 
  Аймақ ұғымын;
  
• 
  Жордан сызығы туралы ұғымды;
  

• 
  кешен айнымалды функцияның анықтамасын және геометриялық мағынасын;
  
• 
  Кешен функцияны анықтау екі ай;нымалылэдан тәуелді екі функцияны анықтаумен балама екенін;
  
• 
  функцияның шегі иен үзіліссіздігін;
  
• 
  кешен функцияның туындысын;
  
• 
  туындыны модулі мен аргументінің геометриялық мағынасын;
  
• 
  конформды бейнелеу туралы ұғымды;
  
• 
  конформды бейнелеудің негізгі мәселелерін, мысалдарын;
  

• 
  дифференциалдау ережелерін;
  
• 
  аналитикалық функция ұғымын;
  
• 
  Коши-Риман шартын;
  
• 
  гармоникалық және түйіндес гармоникалық функцияларды;
  
• 
  функцияның нақты және жораиал бөлімдері арқылы аналитикалық функцияны дифференциалдау ережесін;
  

• 
  функцияның шегі иен үзіліссіздігін зерттеуді;
  
• 
  кешен функциян туындысын табуды;
  
• 
  конформды бейнелеу туралы ұғымды;
  

• 
  кешен функцияны дифференциалдауды;
  
• 
  функцияның нақты және жораиал бөлімдері арқылы аналитикалық функцияны дифференциалдауды;
  
• 
  функцияның нақты және жораиал бөлімдері арқылы аналитикалық функцияны қалпына келтіруді;
  

• 
  функцияның аналитикалық болатынын зерттеп, аналитикалық болатын аймағын анықтауды;
  

• 
  сызықты және бөлшек-сызықты функциялар арқылы конформды бейнелеулерді табуды;
  
• 
  бөлшек-сызықты функцияның қозғалмайтын нүктелерін табуды;
  
• 
  бөлшек-сызықты функция арқылы бейнелеуді зерттеуді;
  
• 
  Шеңбермен немесе түзумен шенелгег аймақтарды конформды бейнелеуді.
  

Дәрежелік қатар жиақталу аймағы ашық дөңгелек болатындығы мен ерекшеленеді Осы дөңгелектің центірі мен радиусын анықтау бұл тақырыптың негізгі мәселесі. трансцендентті функцияларды оқуды оларды анықтайтын дәрежелік қатарлардың жинақталу дөңгелегін анықтаудан бастау қажет. Бұл әдіс көрсеткіштік функция мен тригонометриялцқ функциялар арасындағы байланысты анықтайтын Эйлера формуласын қорытып шығаруға көмектеседі. Логарифмдік функцияны көрсеткіштік функцияға кері функция ретінде анықталады. Мұнан кері тригонометриялық функциялар мен логарифмдік функцияның арасындағы байланыс шығады. Көпмәнді функцияның бір мәнді тармақтарын зерттеу Риман бетін осндай функциялардың геометриялық бейнесі ретінде анықтауға әкеледі.

Осы дәрістердің оқу материялдарын игеру барысында студенттер білуі керек:

- дәрежелік қатардың құрылымы мен жинақталу аймағын;

- дәрежелік қатардың қосындысы жинақталу дөңгелегінде аналитикалық функция болатындығын;

- дифференциалдау амалы дәрежелік қатардың жинақталу дөңгелегін өзгертпейтіндігін;

• 
  дәрежелік қатар өзінің қосындысының Тейлор қатары болатындығын;
  

• 
  Эйлер формуласын ж»не оның салдарын;
  
• 
  экспоненциалды функция ұшің қосу теоремасын;
  
• 
  тригонометриялық функциялар ұшің қосу теоремаларын;
  
• 
  тригонометриялар функциялар арасындағы тепе-теңдіктердің дәлелдеулерін;
  

- логарифмдік функцияның анықтамасын;

- кешен жазықтықты көрсеткіштік функция арқылы бейнелеу;

• 
  логарифмидік функцияның бірмәнді тармақтары;
  

- тригонометриялық функциялар мен логарифмдік функция арасындағы тәуелділік;

- кешен санның кешен дәрежесі.

Осы дәрістердің оқу материялдарын игеру барысында студенттер игеруі керек:

- дәрежелік қатардың жинақталу аймағын анықтауды;

- дәрежелік қатардың жинақталу аймағындағы қосындысын анықтауды;

• 
  экспоненциалды функцияны есептекді;
  
• 
  тригонометриялық функцияны есептеуді;
  

• 
  кері тригонометриялық функцияларды есептеуді;
  

- логарифмдік функцияның бірмәнді тармақтарын табуды;

- функциясының бірмәнді тармақтарын табуды және кешен жазықтықтағы бейнелерін салуды;

Әдебиет: (1) Гл.1, п.5; Гл.2, п.2, 3, 4(8 - 11).

9 және 10-ші дәрістердің материалдарын оқу әдістемесі. Кешен айнымалды функциядан алынған интеграл екінші текті сызықты интегралдар арқылы өрнектеледі. Мұндағы негізгі мәселе Кошидің интегралдық теоремасы және оның салдары. Кошидің интегралдық формуласы аналитикалық функцияны дәрежелік қатарға жңктеуге болатындығын дәлелдеуге мүмкіндік береді. Сонымен біз аналитикалық функция дәрежелік қатардың қосындысы деген алғашқы анықтамасына ораламыз.

Осы дәрістердің оқу материялдарын игеру барысында студенттер білуі керек:

• 
  кешен жазықтығындағы сызықтың анықтамасын;
  
• 
  сызықтың негізгі элементтерін (бағыты, басы, соңы, тұйықтық, тұйық Жордан сызығының бағытын анықтау әдісін);
  

- интегралды түзуленетін сызық бойынша анықтау;

- кешен айнымалды функциядан алынған интегралың нақты және жорамал бөлімдері;

• 
  интегралдың негізгі қасиеттері.
  

• 
  аналитикалық функциядан алынған интегралдың интегралдау жолынан тәуелсіздігі;
  
• 
  Кошидің құрама контур тойынша алынған интеграл туралы теоремасы;
  
• 
  Кошидің интегралдық формуласы;
  
• 
  аналитикалық функцияның дәрежелік қатарға жіктелетіндігі;
  
• 
  интегралды есептеудің кейбір әдістері.
  

- Кошидің интегралдық формуласын қолданып тұйық Жордан сызығы бойынша есептеуді;

Осы дәрістердің оқу материялдарын игеру барысында студенттер білуі керек:

• 
  Кошидің интегралдық теоремасын;
  
• 
  Кошидің интегралдық формуласын:
  
• 
  аналитикалық функцияның бір мәнді оңаша нүктелерінің анықтамасын;
  
• 
  осындай нүктелерді жіктеуді (классификациялауды);
  
• 
  Лоран қатарын;
  

• 
  бір мәнді оңаша нүктенің маңайында аналитикалық функцияның өзгеру заңдылығын;
  

- қалындылыар туралы негізгі теореманы.

Осы дәрістердің оқу материялдарын игеру барысында студенттер игеруі керек:

- Коши теоремасын пайдаланып интегралды есептеуді;

• 
  аналитикалық функцияның бір мәнді оңаша нүктедегі қалындысын есептеуді;
  
• 
  аналитикалық функцияны бір мәнді оңаша нүктеденің иаңайында Лоран қатарына жіктеуді;
  

• 
  интегралды қалынды туралы негізгі теореманы пайдаланып есептеуді.
  

Осы дәрістердің оқу материялдарын игеру барысында студенттер білуі керек:

- аналитикалық функцияның дәрежелік қатарға жіктелуінің бңрден бірлігі туралы теореманы;

• 
  аналитикалық жалғастың анықтамасын;
  
• 
  аналитикалық жалғастар тізбесі туралы ұғымды;
  
• 
  аналитикалық жалғасты аналитикалық жалғастар тізбесі арқылы анықтауды.
  
• 
  функцияның толық аналитикалық аймағын;
  
• 
  көпмәнді аналитикалық функцияны аналитикалық жалғас арқылы анықтауды.
  

• 
  Берілген функцияның толық аналитикалық аймағын анықтауды;
  
• 
  аналитикалық функцияны элементтері арқылы құруды;
  

Жаттығу сабақтарының мақсаты – дәрістердегі теориялалық материялдарды сапалы игеру. Сондықтан жаттығу сабақтарына кіріспес бұрын дәрістер мен СӨЖ-дегі теориялық материялдарды, дәрістерді талдап оқуға бағытталған әдістемелік ұсыныстарды негізге алып, тыянақты оқу керек. Теориялық материялдарды білу және оларды қолдану деңгейіне жеткізе игеру тек қана жаттығу сабақтарды сапалы орындау арқылы ғана қалыптасатынын есте сақтау қажет. Төменде жаттығу сабақтардың қай дәрістердегі теориялық материялдарды игеруге бағытталатыны көрсетілген.

№ 1, 2-ші жаттығу сабақтары. 1, 2-ші дәрістердегі теориялық материялдар талданады және осы дәрістердің соңында келтірілген студенттердің білуі және игеруі керек теориялық материялдар студенттердің санасында қалыптастырылады.

№ 3, 4-ші жаттығу сабақтары. 3, 4-ші дәрістердегі теориялық материялдар талданады және осы дәрістердің соңында келтірілген студенттердің білуі және игеруі керек теориялық материялдар студенттердің санасында қалыптастырылады.

№ 5, 6, 7, 8-ші жаттығу сабақтары. 5, 6, 7, 8-ші дәрістердегі теориялық материялдар талданады және осы дәрістердің соңында келтірілген студенттердің білуі және игеруі керек теориялық материялдар студенттердің санасында қалыптастырылады.

№ 9-ші жаттығу сабағы. 9-ші дәрістердегі теориялық материялдар талданады және осы дәрістің соңында келтірілген студенттердің білуі және игеруі керек теориялық материялдар студенттердің санасында қалыптастырылады.

№ 10, 11, 12, 13-ші жаттығу сабақтары. 10, 11, 12, 13-ші дәрістердегі теориялық материялдар талданады және осы дәрістердің соңында келтірілген студенттердің білуі және игеруі керек теориялық материялдарды студенттердің санасында қалыптастырылады.

№ 14, 15-ші жаттығу сабақтары. 14, 15-ші дәрістердегі теориялық материялдар талданады және осы дәрістердің соңында келтірілген студенттердің білуі және игеруі керек теориялық материялдар студенттердің санасында қалыптастырылады.