Ежелгі есептер қайырбекова Д.Қ

№41 орта мектеп, Қарағанды қаласы

Көрнекті математик А.Н.Колмогоровтың таратуы бойынша математика тарихын төрт дәуірге бөлуге болады .

1-дәуір - математиканың туу,математикалық білім-дағдыларының, мағлұматтардың, жиналу дәуірі.

2-дәуір - элементарлық математика дәуірі.Біздің заманымызға дейінгі VI-V ғасырларда басталып біздің заманымыздың XVIғасырымен аяқталады.

3-дәуір - айнымалы шамалар математикасының туу дәуірі.

4-дәуір қазіргі математика дәуірі.

Осы әр дәуірдегі тарихи мағлұматтарды пайдалана отырып, математиканың тууына, дамып қалыптасуына үлкен үлес қосқан Греция, Үнді, Орта Азия және Батыс елдері математиктері Диофант, Брамагупта, Бхаскара, Анания, Әл – Хорезми, Магницкий, Эйлердің математика саласындағы әрбір жаңа табысқа жету үшін, көптеген жылдар бойы ізденген, сол іздену жолында талай қымбат уақытын сап еткен, сөйтіп кейінгі ұрпаққа мол мұра етіп қалдырып кеткен тарихи есептері баяндалады.

Грек математикасы

Математика саласында жан-жақты өнерлілігімен және еңбегімен адамзат дамуы тарихында ешбір халық таласа алмайтын орынды қамтамасыз еткен кішкентай халықтың табыстары өте зор. Осы айтылып отырған грек математиктерінің ең ертедегісі Фалес болып табылады (біздің жыл санауымызға дейінгі VII және VI ғасырлар). Ол көп нәрсеге бастама жасады, көп нәрсені өзі ашты. Фалес математикалық білімді жүйеге келтіріп, дамытуды бастады. Ал б.э.д VI-V ғ. өмір сүрген Пифагор геометрия ғылымын еркін ғылым түріне келтіріп өзгертті, өйткені ол геометрия принциптерін ең негізіне дейін талдады және оның теорияларын затқа сүйенбей, ақыл-ойға сүйеніп дәлелдеді.

Біздің жыл санауымызға дейінгі 300 жылдың шамасында атақты математик Евклид, мазмұны жағынан геометрияның мектептік курсын түгелге жақын қамтитын, «Негіздерін» құрастырды.

Математик және механик Архимед (біздің жыл санауымыздан бұрынғы 287-212 жылдар) барлық замандардың ұлы математигі болып табылады.

Грек математикасындағы біздің заманымыздың І-ІІ ғасырларында басталған бетбұрыс, жаңа қарқын ІІІ ғасырдың ортасында шарықтау шегіне жетті. Бұл самғау ежелгі дүниенің соңғы ұлы математигі Диофанттың математикалық шығармаларынан көрінеді.

Диофант біздің заманымыздың 250 жылдары Александрияда өмір сүрген. VI ғасырда грамматик Метродор антологиясында оның қанша жасағаны туралы бір жұмбақ есеп бар.

Диофанттың өмірі туралы есеп. (Мола үстіндегі құлпытастағы жазу)
Бұл Диофант зираты өнерге асқан,

Ол дағы пенде болып, жерді басқан,

Неше жыл өмір сүріп өткендігін

Табарсың, есептесең, құлпытастан.

Атыдан бір өмірі – балалық шақ,

Жартысы оның тағы өтіп жүрді ғой шат,

Жетіден бір қосылып, үйленді де,

Гименейден бес жылда ұл сүйді аңсап.

Жарты өмірін әкенің жасап өлді ұл,

Зарлап қалды асыл шал, сүлдері құр,

Жалғыз ұлын жоқтаумен төрт жыл жылап,

Өзі қашан өткенін есептеп біл.

Шешуі: Балалық шақ –

Жастық шақ –

Баласыз –

Балалы болған – 5 жыл өткен соң

Әкесінің жарты жасын жасап өлді –

Жоқтаумен 4 жыл өткен.

Қайтыс болған жасы – х

Х= + + + 5 + + 4

84 x=75x+756

X=84

Үйленді – 21 жас

Әке болды – 38 жаста

Диофант 80 жасқа келгенде ұлы қайтыс болды

Жауабы: Диофант 84 жаста қайтыс болған.

Ертедегі Диофанттың есебі.

Есеп. Екі санның квадраттарының қосындысына тең санды басқа екі санның квадраттарының қосындысына тең болатындай жаз.
Диофант теңдеулердің оң бүтін және бөлшек шешулерін табуға баса назар аударады. Шешуі теріс сан болатындай теңдеуді ол мағынасыз теңдеу деп санап, бүтіндей қарастырмайды. Тек бір оң түбір табумен қанағаттанады.

Алдыңғы есепке оралайық. Бұл проблеманы шешуі мынадай есеппен түсіндіреді: Берілген сан 13 болсын, ол 2 мен 3-тің квадраттарының қосындысына тең. Бір квадраттың қабырғасының ұзындығы х+2 болсын, ал екінші квадрат қабырғасының ұзындығы 2х-тен 3-і кем, яғни 2х-3. Сонда бірінші квадраттың ауданы (х+2)² =x² +4x+4, екіншісінікі (2х-3)² =4х² -12х+9.

Екеуінің ауданың қоссақ (х² +4х+4) + (4х² -12х+9)=5х²-8х+13. Есептің шарты бойынша бұл 13-ке тең болуы керек:

5х² -8х+13=13

5х² -8х=0

х(5х-8)=0 5x-8=0

5x=8

x=

Квадраттың аудандары: ()² =

()² =

Бұл сандардың қосындысы +==13 болады, яғни есепті қанағаттандырады.

ах+by=c екі белгісізі бар теңдеу. Бұл теңдеулерді анықталмаған теңдеу деп атаймыз, оның сансыз көп шешімі бар. Көбінесе белгісіздердің теңдеуді қанағаттандыратын шектеулі шешімдерін ғана іздейміз.

Шешуі: х,у – керекті 3 және 5 сомдықтар саны болсын

3х-5у=23

x= немесе у=

Бірінші теңдеудегі у-ке 0;1;2 мәндерін берсек, у-тің кейбір мәндері үшін х шамасының мәндері бүтін болады.

y=2 десек х=11. Сатып алушы 11 үш сом бергенде, екі 5 сомдық қайтарып берген.

Теңдеудің сансыз көп шешімі бар.

1. 
   у=5, х=16
   
2. 
   у=8, х=21
   
3. 
   у=11, х=26
   

Шешуі: х+у=х*у

х=ху-у=у(х- 1)

у= мұнда, х-1 мен х тетелес бүтін сандар болғандықтан, у - бүтін болу үшін

х₂=0, у₂=0

Жауабы: ізделінген сандар (2,2) және (0,0)

Үнді есебі. Маймылдар туралы есеп.

Эрамыздың VI ғасырында адам баласының даму тарихына тамаша үлестер қосқан дарынды грек халқының мәдени мұралары мен ғылым-математика саласындағы еңбектері талан-таражға ұшырып құлдырады. Осы кезде арифметика мен алгебра саласында үнділер ірі табысқа жетті.

Үндінің математик-астрономдары Брамагупта, Бхаскара т.б. Үндістанның тамаша табиғатын өлеңге қосып, теңдеулер арқылы шығарылатын қызықты және түсінікті есептер құрастырды. Мысалы, Бхаскара маймылдар туралы мынадай өлең есеп жазды:

Екі топ болып баршасы

Жүрді ойнап маймылдар,

-дің шаршысы

Шоқ орманда сайрандар,

Он екі маймыл безектеп,

Ауаны жарып айғайлар,

Айтып көрші есептеп,

Барлығы қанша маймыл бар?

Бұл есепті Бхаскара мынадай квадрат теңдеу арқылы шығарып, теңдеудің екі түбірін тапты.

()² +12=x

x² -64x+768=0

x₁ =48 x₂ =16

Үнділер бірінші, екінші дәрежелі теңдеулердің шешу тәсілдерін білді және теңдеулерді шешкен кезде теріс және иррационал сандарды қолданып отырды.

Ананияның есеп кітабынан

ТМД халықтарының арасында математикалық мәдениетінің көнелігі жағынан бірінші орынды армяндар алады.

Армяндардың VII ғасырда Ширак қаласынан шыққан, еңбектерінің көбі біздің тұсымызға жеткен, Анания деген тамаша ғалымы, тұңғыш математигі болды. Ананияның шығармаларынан біз үшін өте-мөте маңызы барлары арифметикадан жазған оқулығы мен есеп кітабы.

Ананияның есептерінен мысал келтірейік.

Есеп. Египеттің патшасы, фараон, өзінің туған күнін мейрамдап, ескі салт бойынша, жиналған байбатшаларға әрқайсысының мәртебісіне қарай 100 өлшем шарап таратып берді. Ал енді осыны барлық он адамға мәртебесіне қарай бөліп бер.

Бұл жердегі «әрқайсысының мәртебесіне қарай» деген сөздердің мағынасы мынадай: Біріншісінің үлесінің екіншісінің үлесіне қатынасы 1:2 қатынасындай, екіншісінің үшіншісіне қатынасы 2:3 қатынасындай т.с.с.

Жауабы: (жазудың осы күнгі тәсілімен): біріншісі өлшем, екіншісі өлшем, жетіншісі өлшем шарап алған.

Анания есептердің жауаптарын египет бөлшектері түрінде береді; Біріншісі ;; ; , яғни . Жетіншісі , , , , , .

IX ғасырдан бастап математикалық ой-өрістерді, ғылымды байытқан, өзінің ғылымдағы даңқын мәңгі өшпестей қалдырып кеткен өзбек және тәжік ғалымдары шықты. Сол ғалымдардың бірі математик Мұхамед Әл-Хорезми. ІХ ғасырдың бас кезінде ол алгебраның оқулығын жазған, оған «әл –жебр» және «әл-мукабала» деген ат берген. Осының біріншісінен қазіргі «алгебра» деген сөз шықты. Кітапта теңдеулерді шешкенде қолданылатын екі тәсіл келтірілген.

8х-24=3x-4

Теңдеуді «Әл-жебр» тәсілі бойынша шешейік. Екі жағынан 4 және 24 сандарын қосамыз.

8х-24+4=3x+(4-4)

8х-24+4=3x

8х+(24-24)+4=3x+24

8x+4=3x+24

«Әл – Мукабала» тәсілі бойынша екі жағынан да 3х пен 4-ті шегереміз.

8х-3х+4=3x-3x+24

5x+4=24

5x=20

Ол кезде теріс сандардың теориясы жоқ болатын. Сондықтан Әл-Хорезми -24+4=-20 деп жазуды білмейді. Бұл теңдеуді қазір былай шығарамыз: (мүшелерді теңдіктің екінші жағына таңбасын ауыстырып көшіреміз)

8х-3х=24-4

5x=20

1703 жылы Ресейдегі математикалық білім алу тарихында маңызды кезең болып табылады. Бұл жылы зор кітап басылып шықты. Бұл кітаптың авторы 1669 жылы туған Леонтий Филиппович Магницкий. Онымен І Петр математикалық ғылымдар жөнінде талай рет әңгімелесіп, білімнің тереңдігіне қайран қалып, оны магнит деп атап, документтерде Магницкий деп жазылуға әмір еткен. Магницкийдің ертеде жазылған өмірбаянынан «оның бұған дейінгі фамилиясының кім болғандығы тіпті жақын жүрген адамдарға белгісіз» дегенді оқимыз.

Бұл кітап сол кездегі математикалық білімдердің: арифметиканың, алгебраның және тригонометрияның негіздерін қамтыды.

Л.Ф.Магницкийдің «Арифметикасындағы» бір есеп.

Есеп. Біреу баламды оқуға берейін деп едім,класыңызда қанша оқушы бар екен деп сұрапты мұғалімнен. Сонда мұғалім былай жауап беріпті. Класымыздағы бала санына енді осындай, оның жартысындай, төрттен біріндей бала қосылып және сіздің балаңыз келсе, 100 болады. Мұғалімнің қанша оқушысы болған?

Бұл есеп Магницкийдінің «жалған жору», яғни «алдамыш ережесімен» былай шешіледі.

Шешуі:бірінші ретте 24 оқушы бар деп ұйғарамыз. Олай болса есептің шарты бойынша, ол санға сондай, жартысындай, ширегіндей және бірді қосып, табатынымыз.

24+24+12+6+1=67

Есептін шартында айтылған саннан

100-67=33 кем

Бұл 33 санын «бірінші ауытқу» дейміз. Екінші ретте 32 оқушы бар деп ұйғарамыз.

32+32+16+8+1=89

100-89=11 кем болады. Бұл екінші ауытқу.

Екі ұйғарымда да кем сан шыққанда шешудің мынадай ережесі беріледі. 1-ші ұйғаруды 2-ші ауытқуға көбейтіп, табылған көбейтінділердің көбінен азын шегеру керек.

Бұдан шыққан айырманы ауытқулардың айырмасына бөлу керек.Сонда

Жауабы: класта 36 оқушы болған.

Бұл есепті «жалған жору» ережесін қолданбай-ақ былай тендеу құрып шығаруға болады.









Магницкийдің «Арифметикасындағы» есеп.

Есеп. 2-ге бөлгенде қалдықта 1 беретін, 3-ке бөлгенде қалдықта 2 беретін, 4-ке бөлгенде қалдықта 3 беретін, 5-ке бөлгенде қалдықта 4 беретін санды табындар.

Шешуі: белгісіз сан-х.

Ізделініп отырған санымыздан бір бірлігі артық санды х+1-ді іздестіреміз. Бұл алынатын жаңа сан 2-ге, 3-ке,4-ке,5-ке қалдықсыз бөлінеді, сондықтан 2,3,4,5 сандарының ортақ еселігі болады. Мұндай ортақ еселіктер сансыз көп. Осы сандардың ең кіші ортақ еселігі 60.

Демек, х+1 санының ең кіші мәні 60. Сонда х санының ең кіші мәні 59.

Есептің шартын қанағаттандыратын сандардың формуласы:

х=60к-1 к=1,2,3...

Леонард Эйлер- Россияны екінші Отаны еткен, өшпес даңқа ие болған данышпан ғалым. Ол Швейцарияның Базель қаласында туған, сонда гимназия бітірген.

Л. Эйлер – орыстың бірінші ғылыми математикалық мектебінің басшысы. 18-ші ғасырды математика саласында Эйлер ғасыры деп тегін айтпаған.

Есеп: 32399 санын жай көбейткіштерге жікте.
Шешуі: Математикада Эйлердің әрбір тақ санды екі натурал санның квадраттарының айырмасы түрінде жазуға болатындығы жайлы пікірі бар.

Шешуі: Эйлер тағайындаған қасиет бойынша қосындынын дәл квадрат болу үшін 32399 санына бір санының квадратын қосу керек.

32399+1=32400=180²

32399=32399+1-1=32400-1=180²-1=(180+1)(180-1)=189*179

809999+1-1=810000-1=900²-1=(900+1)(900-1)=901*899=(901+324-324)*(899+1-1)=(1225-324)*(900-1)=(35²-18²)*(30²-1)=(35+18)*(35-18)*(30+1)*( 30-1)=53*17*31*29.

(Египет, б.ғ.д. 200 жыл шамасы)

Бақташы 70 өгіз айдап әкеліпті. Есепші бақташыдан : «Қанша малыңыз бар еді?» - деп сұрапты... Бақташы: « Мен малдың үштен бірінің үштен екісін айдап әкелдім, нешеуі барын өзіңіз табыңыз»-депті.

Шынында қанша малы болды?

Барлық мал саны 70: ==315

Жауабы: 315 мал
VII ғасыр

Есеп: Ұялы араның бестен бірі жасмин гүліне қоныпты, үштен бірі сүйрікке(су бетінде өсетін шөп), саны осы аралардың үш еселенген айырымындай аралар раушанға құмар. Қайда ұшарын білмей тағы бір ара қалыпты. Сонда барлығы неше ара бар болған?

Шешуі : -=

Раушан гүлге құмары *3=

Барлық гүлдегі аралар ++=

Ұяда қалған бөлігі 1-=

Ұядағы аралар 1: =15(ара)

Жауабы: барлығы 15 ара.

Қорыта келгенде, тарихи материалдарды өтілетін математикалық ұғымдар мен есептердің шешу жолдарын іздеуде ұштастыра білу қажет.

1. 
   А. Көбесов. Математика тарихы. Алматы, «Қазақ университеті»1993
   
2. 
   И.Депман. Математика жайындағы әнгімелер.Қазақтың мемлмкеттік оқу- педагогика баспасы.Алматы- 1958
   
3. 
   А.Собалақов. Математика тарихынан. Мектеп баспасы.Алматы-1966
   
4. 
   О.А. Жаутыков.Орыс матеамтикасының атақты ғалымдары.Қазақ мемлекет баспасы. Алматы-1956
   
5. 
   М.М.Лиман.Оқушыларға математика және математиктер жайлы. Алматы « Мектеп», 1984
   
6. 
   М.Ө.Ысқақов, С.Н.Назаров. Математика мен математиктер жайындағы әңгімелер. «Мектеп» баспасы. Алматы -1967
   
7. 
   К.Б.Бектаев, А.И.Мостовой, С.Е.Тлеуқабылов. Орта мектепте математика кештерін ұйымдастыру және оны өткізу. «Мектеп» баспасы. Алматы-1967
   
8. 
   Г.И.Глейзер. История математики в школе. 7-8 классы. Москва «Просвещение» 1982
   
9. 
   И.М Абдулаева, ж. Көкенов. 4-7 сыныптарда математикадан жүргізілетін кластан тыс жұмыстар. Алматы 1974
   
10. 
    « Математика және физика» журналы №2 2005жыл
    
11. 
    Я.И.Перельман. Занимательная алгебра. Москва «Наука» 1978 г.
    
12. 
    О.Беркімбаев, А.Беркімбаев Арифметика есептер. Алматы. Рауан.1996