Әл-Фарабидің математикалық трактаттарын зерттеу

Сол заманнан шыққан ғалымдардың ерекше дарынды, әлемге танылған, көптеген ғылыми еңбектер жазып, әлемге әйгілі болған Әбу Нәсір әл – Фараби. Бір өкініштісі әл – Фарабидің көптеген еңбектері бізге жетпеді.

Осы кезге дейін оқулықтарда, тарихи энциклопедияларда, геометрия мен тригонометрия тек Грецияда дамыды және оның дамуына үнді математиктері үлес қосып, араб, өзбек математиктері де зерттеумен айналысты деп жазылған. Бір өкініштісі – математикада көптеген жаңалықтар ашып, синус, косинус, тангенс, котангенс функцияларын математикаға ең алғаш енгізіп, зерттеген қазақтың ғұлама ғалымы, шығыстың екінші Аристотелі - Әбу Нәсір әл – Фарабидің есімі математик ретінде аталмауы.

Әл – Фарабидің математикалық трактаттары 1950 – 1960 жылдары Еуропа мемлекеттерінің архивтерінен ғана табылып, академик А.Машанов, профессор А.Көбесов және т.б. ғалымдардың еңбектерінде жарық көріп, көпшілікке таныла бастады. Бірақ та математикалық оқулықтарда оның ашқан математикалық жаңалықтарына, әсіресе «Математикалық трактатына» ешқандай сілтемелер жасалынбады.

Осы кезге дейін А. Көбесовтің 1960 жылдары «Білім және еңбек» журналында жарияланған мақалалары, «Математическое наследие Аль – Фараби» т.б. еңбектері жарық көрсе де, мектеп курсында оқушыларға Әбу Нәсір әл – Фарабидің математикада, оның ішінде геометрия мен тригонометрияда алатын орны туралы оқушылар түгіл, мұғалімдер де ешнәрсе айта алмайды. Қорыта айтқанда, ғылыми жобаның маңыздылығы:

1) «Математикалық трактаттардағы» әл-Фарабидің еңбектерін көпшілікке, ең болмағанда, мектеп оқушыларына насихаттау;

2) Мектеп математикасында тригонометрияны оқу барысында әл-Фарабидің математикалық трактаттарына сілтемелер жасау;

3) Геометриялық салу сабағында әл-Фарабидің идеяларын ұтымды пайдалана білу қажеттілігі.

Фарабиде математикалық астрономия мен географияның әр түрлі есептерін математикалық жолмен шешу қажетінен туған үлкен де жүйелі тригонометрия бар.Ол мағлұматтар ғұламаның «Алмагестке қосымша кітабы» атты еңбектерінде баяндалған. («Алмагест» б.з. 2-ғасырында өмір сүрген гректің ұлы астрономы Птоломейдің еңбегі.)

Ежелгі грек математиктері дөңгелек шеңберінде 360, диаметрінде 120 бөлік бар деген бастапқы ұғымды басшылыққа алып, осылар арқылы хорданың ұзындығын табу мәселесін шешкен, былайша айтқанда, олар тригонометриялық бір – ақ функциясы – бұрыштың хордасын табуды көздеген. Олардан кейін шыққан Индия математиктері хорданы – синус пен косинус сызықтарымен айырбастап, бұл салада біраз ілгері кетеді.

Фарабиге дейінгі араб математиктері бұларға қосымша тангенс және котангенс (кері және тура көлеңке) сызықтарын қосқан, бірақ оларды күн сағаттарында (гномоникада) пайдаланған. Фараби өз еңбектерінде осы мағлұматтарды бір жүйеге келтіріп, оларды бірыңғай бірлік дөңгелек ішінде қарастыруды бастайды. Ең әуелі синус пен хорданың ара – қатынасын анықтап алады: синус дегеніміз екі еселенген доғаның (бұрыштың) жарым хордасы. Бұл жаңалық дөңгелекке іштей сызылған тікбұрышты үшбұрыштың қабырғалары мен бұрыштарына байланысты тригонометриялық функцияларды астрономияға кеңінен енгізуге жол ашты.

Жоғарыда Фарабидің «Математикалық трактаттарына» енген – «Алмагеске қосымша кітаптың» математикалық тарауларында оның тригонометриялық сызықтары туралы теориясы баяндалады.

«Хорда мен синустар қасиеттері туралы» бірінші тарауда мынадай тригонометриялық сызықтар анықтайды. Хорда(ватар), косинус(джайб тамам) және синус-версус(сахим), олардың қасиеттерін сипаттайды.

«Бірінші және екінші көлеңкенің қасиеттері туралы» деп аталған он екінші тарау – Фарабидің тригонометриялық функциялар(сызықтар) жайлы ілімнің негізгі болып саналады. Мұнда ол математика тарихында алғашқылардың бірі болып, барлық тригонометриялық сызықты бірлік дөңгелек ішінде қарастырылады. Фараби тригонометрия тарихында тұңғыш рет кері көлеңке(тангенс), тура көлеңке(котангенс) терминдерін ғылыми – методикалық жағынан кемел жаңа терминдермен – «бірінші көлеңке», «екінші көлеңкемен» ауыстырады.

Фараби «Алмагеске түсініктемесінің» бірінші кітабына Птоломейдің хордалар таблицасын жасау жөніндегі теориясын жаңартып, кемелдендіріп, бір градустың хордасы, синусы, косинусын табу жөніндегі өз ілімін жасайды. Мұнда шешуші рөл атқаратын Птоломей теоремасын ғұлама былай өрнектейді: «Әрбір іштей сызылған төртбұрышта қарама – қарсы қабырғаларының көбейтінділерінің қосындысы сол төртбұрыштың диагональдарының көбейтіндісіне тең болады.»

Сонан кейін, Фараби осы лемманың көмегімен екі бұрыштың айырмасының синусы формуласын қорытып шығарады. Осы сияқты екі бұрыштың қосындысының синусына сай келетін қатыс дәлелденеді.

Фараби осы формаларды пайдаланып және Птоломей әдісінің есептеу дәлдігін арттыру арқылы бір градусының хордасын есептеп шығарады. Осыдан синусқа көшу қатынасына сүйеніп бір градустың синусы мен косинусы үшін дәлдігі жоғары мәндер табады (алпыстық бөлшекпен өрнектелген). Мысалы ондық бөлшекке көшсек, бір градустың синусы үшін Фараби 0,017452389 мәнін алғандығы байқалады. Бұл сол кез үшін өте үлкен дәлдік болып саналады.

Фараби өзінің тригонометриялық жетістіктерін жазық және сфера бетіндегі үшбұрыштарды шешуге қолданылады. Бұл геодезия, астрономия үшін қажет.

Ғұлама кез – келген дөңгелекке іштей сызылған жазық үшбұрыш үшін синустар теоремасына балама мынадай лемманы тұжырымдайды:Егер бұрыштары белгілі болса, онда олардың қабырғаларының қатынасы да анықталады. Егер бұрыштар дөңгелекке іштей сызылса және әрбір бұрыштың доғасы мәлім болса, онда ол – сәйкес хорданың диаметрге қатынасындай, мұнда егер бұрыш тік болса, онда оның хордасы – диаметрге тең. Сондықтан егер бұрыштардың біреуі немесе басқа қабырғасы мен оның тік бұрыштың хордасына қатынасы белгілі болса, онда басқа бұрыш тірелетін доғаны табуға жеткілікті болады; мұнан кейін берілетін доғаны жарты дөңгелекке дейін толықтыратын қалдық доға және үшінші қабырға болып табылатын оның хордасы табылады.»

Фараби сфералық тригонометрия саласы бойынша да үлкен маман болған. Мұнда жазықтық геометриясындағы түзулер орнына шар шеті, яғни сферадағы үлкен дөңгелек шеңберлерінің доғалары алынады да, жазық үшбұрыштар орнына сфералық үшбұрыштар қарастырылады.

Фараби өзінің тригонометриялық методтарын астрономия мәселелерін шешуге тиімді пайдаланады, ол Шығыста математикалық астрономияны дамытушылардың бірі.

Әл Фараби "Қолдану кітабында" алғаш рет пен мәндерін анықтаған. Осы трактатта алғаш рет хорданы синус арқылы өрнектеді:

Осы еңбегінде тригонометриялық кестені қайта құрды. "Қолдану кітабының" екінші тарауында доғалық 180° - а хордасын

формуласы бойынша есептеу жолын көрсеткен. (1) және (2) формулалады ескерсек,

шығады.

АС*ВD=СВ*АD+СD*АВ.

Дәлелдеуі.

АВ және АС толықтауыш жартының хордасын ВD мен СD жүргіземіз. Олар белгілі.

Птоломей теоремасы бойынша:

АD*ВС=АС*ВD + АВ *СD (3)

Егер АС доғасының мәнін 2α ал АВ доғасының мәнін 2β деп алсақ және хорданы Фарабидің анықтамасы бойынша синус арқылы өрнектесек:

Осы мәндерді (3) формулаға қойсақ

формуласы шығады.

Геометриялық сызбалардың бастауы тым ежелден бар. Геометриялық сызбалар орта ғасырлардығы шығыс ғалымдарының еңбектерінде көп кездеседі.

Толығымен геометрялық сызбаларға арналған әл-Фарабидің бұл еңбегі жер өңдеуде, архитектурада, техникада және геодезияда өте маңызды, ол кіріспеден және он кітаптан (мақалат) тұрады: аты айтып тұрғандай « Жан дүниесінің тамаша тәсілдері » («духовные искусные приемы»), бұл геометриядағы әр түрлі практикалық жұмыстарға және басқа ғылымдарға арналған.

Бірінші кітапта циркуль мен сызғыштың көмегімен тұрғызылатын қарапайым сызбалар қарастырылған. Мұнда парабола тұрғызудың екі шаблоны, шар мен кубтың екі еселенуі есебінің механикалық шешімі, сонымен қатар құралдың (вставка) көмегімен бұрыштың трисекциясын табу көрсетіліп, келтірілген.

Әл-Фараби бұрыш трисекциясының екі әдісін береді. Архимедтің тәсіліне тым жақын бірінші әдісінде әл-Фараби былай жасайды: ےАВС-ны тең үшке бөлу үшін, егер бұрыш тік болса, онда ВС түзуіне циркульдің көмегімен тең қабырғалы (дұрыс) ΔDBC-ны тұрғызамыз. Олай болса ےАВD ےАВС-ның 1/3 бөлігі болып табылады. Енді циркульдің көмегімен ےDВС-ны кесінде DC-ны қаққа бөлу арқылы тең екі бөліке бөлеміз.

Дәлелдеуі: Бұрыш тік болғанда, ΔСDВ дұрыс үшбұрыш. Сонда ےАВD ےАВС-ның 1/3 бөлігі болып табылады. ےDВС-ны қаққа бөлу арқылы ےАВС-ның трисекциясын табамыз.

2-тәсіл. (2-сурет)

Егер бұрыш тік бұрыштан кем болса, онда В нүктесін центрі етіп алып шеңбер сызамыз. ےАВС-ның трисекциясын табу үшін СВ кесіндісін әрі қарай шеңбермен қиылысқанға дейін созамыз (қиылысқан жерін Е деп белгілейміз). Одан кейін СЕ кесіндісіне DВ биіктігін түсіреміз. А нүктесіне сызғышты орналастырып, шеңбер бойымен жылжытқанда DВ перпендикуляры мен НF (DВ перпендикуляры мен DВ доғасындағы кесінді) кесіндісі тең болғанша дейін жылжытамыз, және де сызғышты А нүктесінен қозғалтпауымыз керек. Одан кейін ЕF доғасына тең болатын ЕК₁ доғасын саламыз. К₁В кесіндісін сызып әрі қарай L₁ нүктесіне дейін созамыз. Онда ےСВL ےАВС-ның 1/3 бөлігі. Одан кейін ےАВL₁-ды қаққа бөлеміз.

Дәлелдеуі: екінші жағдайдың дұрыстығын көрсету үшін НF-ті ВЕ – мен қиылысқанға дейін созамыз. ВF кесіндісін жүргіземіз, және де FМ ВЕ-ге параллель. Осыдан НF=FК=ВD, сондықтан ےАВС= ےВАF+ےAKB=ےAFB+ےFBE=2ےFBE+ےFBE=3ےFBE.

3-тәсіл. (3-сурет)

Әл-Фарабидің бұрыш трисекциясын табатын үшінші тәсілі бар: ےАВС сүйір бұрышын аламыз. Егер оны бірдей үш бөлікке бөлгіміз келсе, А нүктесінен АН перпендикулярын түсіреміз (ВС сәлесіне) және А нүктесінен ВС-ға параллель АD-ны созамыз. АD және АН сызықтарының қосындысы АВ сызығының екі есесі болғанша, В нүктесіне сызғышты қойып, сызғышты алмай сызамыз. Бұл дегеніміз DЕВ сызығындағы DЕ кесіндісі АВ кесіндісінің екі еселенуі. Онда ےDВС ےАВС-ның 1/3 бөлігі.

Дәлелдеуі: әл-Фарабидің үшінші жағдайдың дұрыстығын көрсету үшін АЕD биіктігінен АF медианасын түсіреміз, онда DF=FE=AB, осыдан ےABD=ےAFB=2ےCBD, ےCBD=1/3ےABC.

1-сурет.

2-сурет.



3- сурет.

Қорытынды.
Әл-Фарабидің трактаттарымен танысу үшін біз Көбесовтың кітабынан («Математическое наследие»), А.Машановтың кітаптарынан («Математикалық трактаты») көп жаңалық аштық.

Бірінші, Әл-Фарабидің тригонометриясының көп еңбектері: формулалары, Sin 1° мәні, тригонометриясында бірлік шеңберді бірінші рет қолданғанын көрдік. 9 сынып оқушыларына берілген математиканың оқулығында («Алгебра» Шыныбеков Ә.Н.) ол туралы тарих беттерінде ештеме айтылмаған.

Біздің өзіміздің тәуелсіздігімізге сәйкес болу үшін ұлы бабаларымыздың атын ұмытуға болмайды деп ойлаймыз.

Екінші, әл-Фарабидің геометриялық салу есептеріндегі бір есебі - бұрыштың трисекциясын салу бізге жаңалық алып келеді. Өйткені тағы да мектепшілік оқулықта («Геометрия - 9 сынып» Шыныбеков Ә.Н.) бұрыштың трисекциясы циркуль және сызғыштың көмегімен салу есебі шығарылмайтын есеп деп жазылған және «Математикалық энциклопедияда» бұл есепті тек Архимед шығарған деп көрсетілген. Ал әл-Фарабидің тәсілін ешкім білмейтіндей көрінді.Неге әл-Фарабидің трисекция туралы есебін оқушыларға білмеске?

Үшінші, мектептерде қосымша сабақтарында (факультатив, математикалық үйірмелер, элективтік курс). Неге әл-Фарабидің логикалық есептерін оқушыларға таныстырмаймыз? Мысалы, квадраттарды бөлу және құрастыру.

Сонымен біз өзіміздің жұмыстарымызда, яғни ұлы ғалым, дүние жүзінің мұғалімі әл-Фарабидің еңбектерімен көпшілік танысса және зерттесе көпшілікке көп жаңалықтарды ашуға тілектеспіз.

2. А.Көбесов, Математическое наследие аль-Фараби Алматы, 1974.

3. Есенов Ш.Е. Аль-Фараби. Математические трактаты, 1974, Алматы.

4. Ә.Н.Шыныбеков. 9-сынып «Алгебра» Алматы, 2005.