Әр қарай ????t бөліктерінің санын шексіз өсіреміз, басқаша айтқанда қанда, n → ∞, және ұзындығы ????[t,t + ????] кесіндісіне дәл m нүктелердің түсуінің ықтималдығын шекте анықтаймыз: =. 7

жүктеу/скачать 30.7 Kb.

бет	1/2
Дата	22.02.2024
өлшемі	30.7 Kb.
	#492788

1 2

125-128 бб

P параметрлерімеен кездейсоқ шама болады. 𝛥t бөліктерінің Х(𝜏), оларға түскен нүктелермен «бос еместігінің»санының ықти-малдығы m-ге тең, мына түрде болады:
(X(𝜏) = m) = . (5. 4. 6)
Әр қарай 𝛥t бөліктерінің санын шексіз өсіреміз, басқаша айтқанда қанда, n → ∞ , және ұзындығы 𝜏[t,t + 𝜏] кесіндісіне дәл m нүктелердің түсуінің ықтималдығын шекте анықтаймыз:
= . (5. 4. 7)
Бірақ осыған ұқсас есеп 5.3-пунктіне қарастырылған болатын, мұндағы n → ∞, = → 0, биномдық үлестіру шегінде ɑ = 𝜆𝜏 параметрімен пуассон үлестіруіне ұмтылады:
= = . (5. 4. 8)
дәлелдеу керегі осы болатын.
5.4.1-мысал. Техникалық құрылымның істен шығуларының ағыны λ= 0,10 (1/сағат) жай интенсивтіліктен болады. τ = 3 сағат жұмыс жасағанда ең болмағанда, техникалық құрылымның біреуінің істен шығуын, ал бұл оның жұмыс жасамауына апарып соғады, ықтималдығы қандай?
Шешуі. Техникалық құрылымның τ уақыт ішінде жұмыс жасамауларының саны ˗а = λτ = 0,10 = 0,30 параметрімен Пуассон заңы бойынша үлестірілген кездейсоқ шама.
Техникалық құрылымның жұмыс жасамауының (А оқиғасы) ықтималдығы – ең болмағанда, біреуінің істен шығуының ықтималдығы мынаған тең:
(А) = = 1 = 1 = 1 = 0,26.
5.4.1-мысал. Автоматты телефон станциясына түсетін телефон шалулардың тапсырыстар ағыны интенсивтілік λ = 10 (1/мин) жай ағын. τ = 0,1 минут ішінде АТС-ке бірден көп тапсырыстар түсуінің ықтималдығы қандай?
Шешуі. τ = 0,1 мин ішінде АТС-ке түсетін ттапсырыстар саны:
а = λτ = 10 0,10 = 1 (тапсырыс)
параметрімен Пуассон заңымен үлестірілген кездейсоқ шама.
τ уақыты ішінде бір тапсырыстан көп (ең болмағанда, екеу) түсуінің ықтималдығы тең:

Р(В) = = = 1 ( + ) = 1 ( + )
= 1 = 1 0,368 == 0,264
Интенсивтілігі
= 𝜆 p. 0< p < 1 (5. 4. 9)
шартынан анықталатын пуассондық ағын сиретілген пуассондық ағын деп аталады. Объектіге теріс қайта әсер ететін пуассондық ағынды қа- растырамыз. Қайта әсер етулердің әрқайсысы Р ықтималдықпен төтенше («қатты әсер ететін») болады. Демек, істен шығару үшін (талқандау, қалыпты жұмыс жасауды тоқтату және т.б.) ең болмағанда, бір «төтенше» қайта әсер ету жеткілікті. Пуассондық ағын жалғыздығының (5.4.1) күшіне сәйкес объектінің істен шығуының (В оқиғасы) ықтималдығын сиретілген пуассондық ағында 𝜆* (5.4.9) интенсивтілікпен теріс қайта әсер етулердің ең болмағанда, біреуінің объектіге «қатты әсер етуінің» ықтималдығы түрінде түсіндіруге болады:
Р(В) = 1 = 1 . (5. 4. 10)
Мұнда, = 𝜆p𝜏, 𝜏 объектіге қайта әсер ету уақыты. 5.4.3-мысал. Сейсмикалық белсенділік зонасында салынған объекті жер сіл кінгенде р=0,10 ықтималдықпен қирайды. Жер сілкінулерінің ағынын λ = 5 интенсивтілікпен жай пуассондық деп есептейміз. Бір жылдың ішінде объектінің қирауының ықтималдығы кандай? Шешуі. Объект үшін қауіпті («өте қатты әсер ететіні») сиретілген пуассондық ағынға көшеміз. Ондай ағынның интенсивтілігі:
=𝜆p = 5 0,10 = 0,50 (қауіпті қатты әсер етулер).
Сиретілген ағынның параметрі тең: = τ = = . Объектінің істен шығуының (қирауынын) В оқиғасының ықтималдығын (5.4.10) формуласы бойынша есептейміз:
Р(В) = 1 = 1 = 1 = .
Нүктелердің (оқиғалардың) сандары жөніндегі қорытынды, [t, t + 𝜏] уакыт өсінің кесіндісіне түскен, Пуассон заңы бойынша нүктелердің (оқиғалардың) пуассондық жағдайында нүктелердін жазықтықтағы (нүктелердің кездейсоқ жазық өрісі) және үш өлшемді кеңістіктегі (нүктелердің кеңістіктегі кездейсоқ өрісі) жағдайларына таратылады
Нүктелердің кездейсоқ өрісі пуассондық өріс деп аталады, егер темендегі шарттар сақталса: 1. Өрістегі нүктелер 𝜆 орташа тығыздықпен (1/аудан бірлігі немесе 1/көлем бірлігі) бірқалыпты статистикалық таратылады. 2. Нүктелер біреуі екіншісінен тәуелсіз болып, қиылыспайтын аумақтарға түседі (кейін әсер етулердің болмауы). 3. Нүктелер ауданның (көлемнің) аз элементіне бір-бірден (екеуден емес, үшеуден емес және т.б.) түседі жалғыздығы. Осы шарттар сақталғанда G-дің кез келген аумағына (жазықтықтағы немесе кеңістіктегі) Х нүктелерінің саны Пуассон заңы бойынша үлестіріледі, ал m нүктелердің G аумағына түсуінің ықтималдығы формуласы(5.3.1) бойынша анықталады:
(G) = (X (G) = m) = , m = 1,2,3, ... , (5. 4. 12)
мұндағы, ɑ G аумағына түсетін нүктелердің санының математикалық күтімі. Жазықтықтағы жағдай үшін:
ɑ = 𝜆, (5. 4. 13)
кеңістіктегі жағдай үшін:
ɑ = 𝜆, (5. 4. 14)
мұндағы, аумағының сәйкесінше ауданы, көлемі. 5.4.4-мысал. Ұшақ киыршық тастар шашылған аланға қонуға мәжбүр болады. Тастарға соғу төтенше жағдайға алып келеді. Тастар = 0,001(1/м²) тығыздықпен пуассондық өрісті құрайды. Ұшақ шоссесі колеясының ұзындығы 1=4м, алан бойынша жолдың ұзындығы L = 100 м. Ұшактың сәтті конуының ықтималдығы қандай? Шешуі. Ұшақтың «жүгіріс ауданы» = L l = 100 4 = 400 (м²). Ұшақтың жолында болуы мүмкін ұиыршыұ тастардың орташа саны (алаңның параметрі), ɑ = = = . Сәтті қонудың (А оқиғасы) ықтималдығы алаң бойынша жүріс кезіндегі ұшақтың жолында бірде-бір тас кездеспеуінің («жүгіріс ауданында») ықтималдығына тең:
Р(А) = = = = .

жүктеу/скачать 30.7 Kb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 2