Есеп Сыныпта 15 оқушы. Сыныптан бір айда туған күнін атап өтетін кем дегенде 2 оқушының табылатынын дәлелдеңіз. Шешуі

жүктеу/скачать 42.5 Kb.

Дата	22.02.2016
өлшемі	42.5 Kb.
	#462

Математиканың әртүрлі есептерін шығару барысында «Дирихле принципі» атты арнайы тәсіл қолданылады.

Егер қояндардың саны торлардың санынан артық болып қояндарды торларға орналастыру керек болса,онда кем дегенде бір торда қояндардың саны 1-ден артық болатындай орналастыруға болады.

Есеп 1. Сыныпта 15 оқушы. Сыныптан бір айда туған күнін атап өтетін кем дегенде 2 оқушының табылатынын дәлелдеңіз.

Шешуі: 15 оқушы- «қояндар» болсын. «торлар»- жылдың айлары (12 ай). 15>12 болғандықтан Дирихле принципі бойынша бір торда 2 қоян отыратындай кем дегенде бір тор табылады. Яғни сыныптан бір айда кем дегенде 2 оқушы туған күнін атап өтетіндей ай табылады.

Есеп 2. 12 бүтін сан берілген. Олардың ішінен айырмасы 11-ге бөлінетіндей екі санды таңдап алуға болатынын дәлелде.

Шешуі: Бүтін сандар-«қояндар», олардың саны 12, онда торлардың саны 12-ден аз болу керек. «торлар»- бұлар бүтін сандарды 11-ге бөлгендегі қалдықтар. Барлық «торлар» саны 11 болады: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10. Онда Дирихле принципі бойынша бір торда 2 қоян отыратындай кем дегенде бір тор табылады. Яғни қалдықтары бірдей болатындай екі бүтін сан табылады. Ал 11-ге бөлгенде бірдей қалдық қалатын екі санның айырмасы 11-ге бөлінеді.

Есеп 3. Өлшемдері 3x3 метр болатын кілемге Коля 8 тесік жасады. Осы кілемнен өлшемдері 1x1 метр болатын ішінде тесігі жоқ кілемше кесіп алуға болатынын дәлелдеңіз.

Шешуі: Бұл жерде тесіктер ол-«қояндар». Кілемді өлшемдері 1x1 метр болатын 9 кілемшеге кесеміз. Кілемшелер-«торлар» саны 9. Ал тесіктер-«қояндар» саны 8. Онда «қоян» болмайтындай кем дегенде бір «тор» табылады. Яғни ішінде тесігі болмайтын кілемше табылады.

Есеп 4. Турнирде жеңіске жеткендері үшін 8 адамнан тұратын команда 12 кәмпит алды. Балалар кәмпиттерді бүтіндей (сындырмай) бөліп алды. Келесі тұжырымдамалар дұрыс па? Анықтаңдар.

«бір бала кем дегенде екі кәмпит алды»

«бір бала кем дегенде үш кәмпит алды»

«екі бала кем дегенде екі кәмпит алды»

«әрқайсысына кем дегенде бір кәмпиттен келді».

Жауабы: Бірінші тұжырым дұрыс, қалғаны дұрыс емес.

Шешуі: 1) Дұрыс. Кері жоримыз. Яғни балалар кәмпиттерді бөліскенде әрбіреуі 0 немесе 1 кәмпиттен алды делік. Онда барлық бала қосындысында 8 кәмпиттен артық алмайды. Ал бұл есеп шартына қайшы. Яғни біздің жорығанымыз дұрыс емес, бұндай жағдай болу мүмкін емес. Онда бір бала кем дегенде екі кәмпит алды.

Қалғандарының орындалмайтындығына бір мысалдан келтіре салса жеткілікті:

2) 4 адам 2 кәмпиттен алады, ал қалған 4 адам бір-бірден алады.

3) Барлық кәмпитті бір адам алады.

4) 3-ші бөлімге ұқсастықпен.

Есеп 5. Үш әділқазылар мүшелерінен былай сұрады: «Турнирге қанша команда қатысады?» Біріншісі: « 33-тен кем команда», екіншісі: «31-ден кем команда», үшіншісі: «32-ден кем команда» -деп жауап берді. Егер екі әділқазы мүшесінің айтқаны дұрыс болса, онда турнире неше команда қатысқан?

Шешуі: Екінші тұжырым дұрыс болса, онда қалғандары да дұрыс екені шығады? Бірақ, екі тұжырым ғана дұрыс болғандықтан екіншісі дұрыс емес, ал бірінші мен үшіншісі дұрыс. Бір жағынан команданың саны 31-ден артық болу мүмкін емес (онда үшіншісі дұрыс болмайды), екінші жағынан 31-ден кем болу мүмкін емес(онда екіншісі дұрыс болады). Яғни жалғыз ғана мүмкін жағдай 31. 31 саны есептің шартын қанағаттандыратынын тексеру қиын емес.

Есеп 6. Мектепішілік баскетбол жарысының ақтық кезеңінде 6А командасы 9 доп салды. Осы командадан саны жағынан бірдей доп салған екі ойыншы табылатынын дәлелдеңіз.(Командада 5 ойыншы болған)

Шешуі: Командадан саны жағынан бірдей доп салған екі ойыншы табылмауы мүмкін деп жориық. Онда барлық бес ойыншы саны бойынша әртүрлі доп салған. Бірінші ойыншы ешқандай доп салған жоқ дейік, екінші ойыншы бір доп салды, үшіншісі екі доп салды, төртіншісі үш доп салды, бесіншісі төрт доп салды. Онда ойыншылар барлығы он доп салды. Егер ойыншылардың кем дегенде біреуі біз жорығандай доптан артық салса, онда команданың да барлық салған доптарының саны 9-дан асып кетеді. Яғни біздің кері жорығанымыз дұрыс емес. Яғни командадан саны жағынан бірдей доп салған екі ойыншы табылады.

Есеп 7. Андрейдің інісі шашкилерді 8 түрлі түспен бояп шықты. Әрбір бағанда және әрбір жолда бір шашкиден болатындай Андрей 8 әртүрлі түсті шашкилерді шашки тақтасына қанша тәсілмен орналастыра алады? Әрбір бағанда және әрбір жолда бір шашкиден болатындай Андрей 8 ақ шашкиді қанша тәсілмен орналастыра алады?

Шешуі: Біріншіден шашкилердің түстері ақ болған жағдайды қарастырайық. Шашкилерді орналастырамыз. Бірінші бағандағы 8 торкөздің кез келгеніне шашкиді қоя аламыз, екінші бағандағы 7 торкөздің кез келгеніне қоя аламыз.(Сонымен қоса бірінші шашки тұрған жолға шашки қоюға болмайды). Сол сияқты үшінші жолдың кез келген 6 торкөзіне шашки қоюға болады, төртінші жолдың кез келген 5 торкөзіне шашки қоюға болады т.с.с. Нәтижесінде 8! Тәсіл шығады.

Енді шашкилер түрлі түсті болған жағдайды қарастырамыз. Ақ шашкилердің орналасуларының кез келген жағдайын алайық. Осы шашкилерді олардың кез келген екеуі әртүрлі түс болатындай 8 түрлі түске бояймыз. Бірінші біз 8 түстің бірімен бояп шығамы, екінші 7 түстің біреуімен және т.с.с. Нәтижесінде 8! тәсіл шығады. Сонымен барлық тәсіл 8!8!=8!² болады.

Есеп 8. Мәскеуде 10 000 000 нан астам адам тұрады. Әрбір адамның басында 300 000 нан астам шаш болуы мүмкін емес. 34 адамның басындағы шаштарының саны бірдей болуы мүмкін болатынын дәлелде.

Шешуі. Баста 0,1,2,...,300 000 шаш болуы мүмкін. Сонда барлығы 300 001 нұсқа. Шаштарының санына байланысты әрбір адамды 300 001топқа бөлеміз. Егер шаштарының саны бірдей болатын 34 адам табылмаса, яғни құралған топтардың кез келгеніне 33 –тен артық емес адам кіреді. Онда Москвада 33·300 001=9 900 033<10 000 000 адам тұрады. Бұл қарама-қайшылық. Яғни 34 адам табылады.

Есеп 9. Торкөздерге бөлінген ойын тақтайшасының өлшемдері: а) 10x10;

б) 11x11. Екі адам ойнайды. Бір жүрісте кез келген бағанда немесе кез келген жолда орналасқан қатарынан тұрған боялмаған торкөздерді қанша болса сонша бояуға болады. Кім жүріс жасай алмайды, сол ұтылады. Кім дұрыс жүріп жеңіске жете алады және қалай ойнау керек?

Нұсқау. Жеңіске жету үшін симметрияны пайдалану керек.

Сонымен осы әдісті қолдануда:

Есепте «торкөздер» ретінде нені, «қояндар» ретінде нені алу керектігін анықтап алған ыңғайлы.
«торкөздер» санын «қояндар» санына қарағанда 1-ге артық немесе оданда артыққа алу керек.
Есепті шешу үшін Дирихле принципінің талап етілген тұжырымдамасын таңдап алу қажет.

Дирихле принципі маңызды, қызықты әрі пайдалы. Оны күнделікті өмірде де қолдану адамның логикалық ойлау қабілетін дамытады.

Көптеген олимпиадалық есептер осы арнайы әдіс арқылы шешіледі. Бұл әдіс бізге ойымызды жалпылауға мүмкіндік береді.

Есеп 1. Егер кез келген адамның басындағы шаштарының саны 1000000-нан астам, ал Алматының тұрғындарының шаштарының саны 1,4 миллионнан астам болса, онда Алматының тұрғындарының ішінде екі адамның бастарындағы шаштарының сандары бірдей болатынын дәлелдеңіз.

Есеп 2. Сынақ тапсыруға 65 оқушы келді. Оларға 3 бақылау жұмысы берілді. Әр бақылау жұмысына 2,3,4 және 5 деген бағаларының біреуі қойылды. Барлық бақылау жұмысында бірдей баға алған екі оқушы табылатыны дұрыс па?

Есеп 3. Дөңгелек үстел жиегіне бір-бірінен ара қашықтықтары бірдей қашықтықта n халықтың туы орналастырылған,үстел үстінде осы халықтардың өкілдері отыр. Әр елдің өкілдері басқа елдің туларының жанында отыр. Кем дегенде екі елдің өкілі өз туларының жанында болатындай үстелді айналдыруға болатындығын дәлелде.

Есеп 4. Мектепте 400 оқушы бар. Олардың ішінде кем дегенде екі оқушы туған күндерін бір күнде атап өтетінін дәлелде.

Есеп 5. Қапта ақ және қара түсті шарлар бар. Бір алғанда екі шардың түсі бірдей болатындай қаптан кем дегенде қанша шар алуға болады?

Есеп 6. Дүкенге үш түрлі сорттағы 25 жәшік алма әкелінді. Әр жәшікте бір сорттағы алмалар жатыр. Сатушы барлық жәшіктің арасында бір сорттағы 9 жәшік алма табылмайтынын айтты. Ол қателескен жоқ па?

Есеп 7. Мектепте 20 сынып бар. Сыныптағы оқушылардың саны 26-дан кем емес және 34-тен артық емес екендігі белгілі. Барлық сыныптардың арасында кем дегенде үш сыныптың оқушыларының саны бірдей болатындығын дәлелдеңіз.

Есеп 8. 15-тен артық емес 8 әртүрлі натурал сан берілген. Олардың ішінде қос-қостан айырмалары оң болатындай бірдей үшеуі табылатынын дәлелде.

Есеп 9. Кешкі мерзімдегі математикалық мектептің сабақтары 9 аудиторияда өтеді. Барлық оқушылардың арасында сабақтарға тек бір мектептің өзінен ғана 19 оқушы келеді.

а) Оларды қалай отырғызсада кем дегенде бір аудиторияда 3-тен кем емес осындай оқушылар табылатынын дәлелдеңіз.

б) Кез келген аудиторияның біреуінде міндетті түрде осы оқушылардың үшеуі отыратындығы дұрыс па?

Есеп 10. 10 оқушы олимпиадада 35 есеп шығарды. Олардың ішінде нақты 1 есеп шығарған, нақты 2 есеп шығарған, нақты 3 есеп шығарған оқушылар бар екендігі белгілі. Оқушылардың ішінде бес есептен кем емес шығарған оқушы бар екенін дәлелдеңіз

жүктеу/скачать 42.5 Kb.

Достарыңызбен бөлісу: