Ф со пгу 18. 2/06 Қазақстан Республикасының Ғылым және Білім министрлігі

Павлодар

Әдістемелік нұсқауларды бекіту беті

Форма Ф СО ПГУ 7.18.1/07

Құрастырушы: аға оқытушы Джарасова Г.С.

оқытушы Токжигитова Н.К.
Информатика және ақпараттық жүйелер кафедрасы

050601 Математика мамандығының студенттеріне арналған математикалық физика есептерін шешудің сандық әдістері пәнінен

дәрістердің тірек конспектісі

Кафедра отырысында ұсынылған «__»___________2008ж. №_____ хаттама

Кафедра меңгерушісі _____________________________Ж.К.Нұрбекова

ФМжАТ факультеттің әдістемелік кеңесінде құпталған

ӘК төрайымы __________________ Даутова А.З.

Қарапайым дифференциалдық теңдеудің шешімі бір айнымалыға және т.с.с. тәуелді болады. Көптеген тәжірибелік есептердің шешімі-ізделінетін функциялар бірнеше айнымалы және берілген мәліметтерге тәуелді теңдеулерге, ізделінетін функция есептері дербес туынды болады.Олар дербес туынды теңдеулер деп аталады.

Математикалық қойылымдар дифференциалдық теңдеулермен бірге кейбір қосымша шарттардан құралады. Егер шешім шектелген облыста ізделінсе, онда оның шекаралық шарттары беріледі,олар шекаралық (шектік) деп аталады. Осындай есептер шектік есептер деген атауға ие және дербес туынды теңдеулерге арналған.

Алғашқы шарттарды қанағаттандыратын мәндері берілген есеп дербес туынды теңдеулер жүйесі үшін Коши есебі (КЕ) деп аталады.Сол себепті есеп шығару барысында шексіз кеңістікте шығарылады және шекаралық шарттар берілмейді. Алғашқы және шекаралық шарттар қойылатын есептер стационарлық емес (аралас) шектік есептер деп аталады. Алынатын шешімдер уақыт өтуімен өзгереді.

Қарастырылып отырған облыстың түрлі сеткеларының енгізілуіне негізделген есептеу әдістерінің ішіндегі түрлі әдістерді қарастырайық. Барлық туынды, алғашқы және шекаралық шарттар байлам сеткаларының функция мәндері арқылы беріледі,соның нәтижесінде түрлі схема деп аталатын сызықтық теңдеулер жүйесі шығады. Сетканың қарастырылып жатқан облысқа енгізілуіне негізделген дербес туынды теңдеулер шешуіне байланысты түрлі сеткалар құрастырылады. Сеткалар байламдары есептелетін нүктелер болып табылады.

Айырымдылық схемасы алғашқы және шекаралық шарттар жылу өткішгіштік теңдеулерін шешу үшін келесі түрде беріледі:

Кез-келген мезетте қарастырылып жатқан [0,1] кесіндісінің аяғында ψ₁(t) және ψ₂(t) - температураларының бөлінуі алғашқы және шекаралық шарттарымен келісілген, яғни болуы керек. Тік бұрышты торды енгізейік : мұндағы һ,τ-қадамдар.-сетканың байламдарындағы функцияның мәндері.Сондықтан,

Торлы функцияның ішкі байламдарындағы мәндерін табу үшін алгебралық теңдеулер жүйесін табамыз.Шекаралық шарттан

Әрбір айырымдылық теңдеу (3) айқын схемаға қарағанда әрбір үш белгісіз нүктеде жаңа мағына қабатының мәндерін құрайды,сондықтан алдындағы қабаттың белгілі шешімдері арқылы бұл мәндерді лезде табуға болмайды.Олар айқынсыз схемалар деген атқа ие.Сонда (3) айырымдық схема сызықтық үш нүктелік теңдеулерден құралады, бірақ әрбір теңдеу тап осы қабаттың үш нүктесіндегі белгісіз функциядан тұрады.Ол айдап шығу әдісімен шешіледі.

Тап осы мысалда екі қабатты схеманы қарастырдық,яғни әрбір айырымдылық теңдеуге екі қабатты функция мәндері –төменгі,қайсыда шешімі табылған және жоғарғы,байламдағы шешімдері ізделуде кіреді.
Жинақтылық. Аппроксимация. Орнықтылық.
Алғашқы және шекаралық шарттары берілген дифференциалдық есеп дербес туынды теңдеулермен операторлық түрде құрастырылып жазылады.

(6)

Операторлық теңдеу негізгі дербес туынды теңдеу және қосымша алғашқы және шекаралық шарттарынан тұратын теңдеуден құралады. теңдеудің алғашқы және шекаралық шарттарының оң жағын бейнелейді, есептеу облысынан да, шекарадан да тұрады. (6) дифференциалдық есепті айырымдылық есебімен алмастырамыз , мұндағы , мұндағы .

Егер (9) байламдар торлары қоюланса, яғни бұл қателіктер мәндері нөлге ұмтылады,олай болса айырымдылық схема (7) қосылатын деп аталады.

Егер мұндағы , онда айырымдылық схемасы k-шы дәлдік ретті немесе жылдамдығымен қосылады деп те айтады. Тордағы қателікті есептеу үшін (7) теңдеуін жазайық. (7)-ге қойып, (10) аламыз.

Айырымдылық схеманың өлшемі байланыспау деп аталады (аппроксимация қателігі) .Өлшемдік сипаттамасын енгізейік.

яғни, торды ұсақтаса онда байланыспау нөлге ұмтылады.

[1] - [5], кіріспе, 5 - тарау

Екі қабатты орнықтылық схемалар класы.Энергетикалық тепе-теңдік.Бір өлшемді жылу өткізгіш теңдеуін дискреттеу.Шаблондары.Айырымдылық аппроксимация реті.Орнықтылықты Фурье әдісімен зерттеу.Бастапқы-шекаралық есептері.Алты нүктелік схемалар жиыны.Айқындалған және айқындалмаған схемалары.Кранк-Николсон схемасы.Аппроксимация реті,орнықтылығы.Жылу өткізгіштер теңдеуінің үш қабатты схемалары.Дюфонт және Франкель схемалары.Аппроксимация реті,орнықтылығы.Салмағы бар схемалары.Аппроксимация қателігі және орнықтылығы.Симметриялы және симметриялы емес схемалары.Бастапқы берілген бойынша орнықтылығы.Оң жағы бойынша орнықтылығы.

Параболалық типті теңдеудің классикалық мысалы жылу өткізгіштің теңдеуі болып табылады(диффузияя).Біртекті кеңістікте біртекті (энергия көзінсіз) жылу өткізгіштіктің теңдеуі мынандай түрде болады

Егер де шекараларда х=0 және х=l функцияның ізделінетін мәні мына u(x,t) түрде берілсе

Яғни бірінші тектің шекаралык шарттары және одан баска, алғашқы шарттары берілген

онда (2.1)-(2.4) есепті жылу өткізгіштіктің теңдеуінің бірінші алғашқы-шектік есебі деп атайды (2.1).

Жылу алмасу теориясының терминінде u(x,t) – температураның кеңістіктік-уақыттық ауданында бөлінуі температураөткізгіштік коэфициенті, ал (2.2), (2.3) ϕ₀(t), ϕ_l(t) функцияның көмегімен шекарада мынадай температура береді x=0 и x=l.

Егер де шекарада х=0 және х=1 туындылардың ізделінетін кеңістіктік мәні берілсе

Яғни, екінші тектің шекаралық шарттары, онда (25.1), (2.5), (2.6), (2.4) есептерді (2.1) жылу өткізгіштік теңдеудің екінші алғашқы-шектік шарты дейді.Жылу алмасу теориясының терминінде шекаралық жылу ағындары берілген.

Егер кеңістіктік айнымалы бойынша шекарада сызықтық комбинациялы іздестірілетін функция берілсе

(2.7)

(2.8)

Яғни, үшінші тектің шекаралық шартында, онда (2.1), (2.7), (2.8), (2.4) жылу өткізгіштің үшінші алғашқы-шектік теңдеуі деп атайды (2.1).Жылу алмасу теориясының терминінде (2.7), (2.8) шекаралық шарттарды газ тәрізді және сұйықтық ортада жылу алмасу арасында және шекаралық саналы ауданда белгісіз температуралармен беріледі u (0,t), u(l,t).

Кеңістіктік жылу өткізгіштік аудандарында бірінші алғашқы-шектік шарт мынандай түрде болады

Сол сияқты (2.9) – (2.11) кеңістіктік теңдеулердің шарттары екінші және үшінші алғашқы-шектік шарттарға қойылады.

Практикада әрқашан жылу өткізгіштіктің алғашқы-шектік шарттар аралас шектік шарттармен қойылғанда, шекарада шекаралық шарттардың әр түрлі тектері беріледі.

2.1.2.Соңғы әр түрлі әдіс түсініктері.Параболойдтық типті теңдеуде соңғы әдісте қолдану.Негізгі анықтамалар, соңғы әр түрлі әдістермен байланысқан, (2.1)-(2.4) жылу өткізгіштік теңдеуін соңғы-әр түлі шешімдердің бірінші алғашқы-шектік шарттарды мысал ретінде қарастырамыз. Кеңістіктік-уақыттық ауданға қоямыз 0≤x≤l, 0≤t≤T соңғы-әр түрлі сетканы ω _hτ

Кеңістіктік қадаммен h=l/N және уакыт бойынша қадаммен τ=T/K (рис 2.1).

Екі қабатты уақытты енгіземіз:

t^k=kτ -дың астындағы, u(x_j,t^k) іздестірілген функциясы, ( k=0 бөлінуі (2.4) (x_j,t⁰)=ψ(x_j)) белгілі бастапқы шартпен анықталады және t^k+1=(k+1)τ үстіңгі қабатты уақыт, u(x_jj,t^k+1), j=0,1,…,N іздестірілген функциясы анықталуға жарайды.

2.1(сурет). Соңғы әр түрлі тор

(2.1.)-(2.4) (анықтамасы) есептерінің торлық функциясын j, k бүтін аргументтердің бірмәнділік көрсетулері функциясының мәні.

(2.12) берілген функцияға бірінші белгілі тордың функциясы, ал екіншісі – анықталуға жарайтын торлық функциясын енгіземіз.Оның анықталуы үшін

(2.1.)-(2.4) есептерінде (аппроксимациялаймыз) дифференциалдық операторлардың орнына ауыстырамыз.(«Сандық дифференциалдау» тақырыбын қараймыз),

(2.13)

(2.14)

(2.13) формуланы аламыз. (2.1.)-(2.4)-не (2.13),(2.14) қойсақ,соңғы әр түрлі жүйені аламыз.Мұндай есепке форма

j -барлық теңдеулеріне торлық функция белгілі, ескерту есептемей (2.15) байланысында анықталады. (2.15) байланысында (j=0, j=N) шектік шарттары j=1 және j=N-1 мәндеріне кіретін ,ал алғашқы шарты – k=0.

Егер (2.14) кеңістіктік айнымалыда дифференциалдық операторды үстіңгі уақыттық қабаттың соңғы әр түрлі байланысымен аппроксимацияласақ,

(2.16)

онда (2.13), (2.16)-ны (2.1)-(2.4) есептеріне қойсақ,бұл есептің соңғы әр түрлі түйенің белгісіз екенін көреміз.

Енді торлық функцияның үстіңгі уақыттың қабатын СЛАУ (2.17) үшдиагональды матрицаның шешімін табуға болады.Бұл СЛАУ формасы, жарамды өткізу әдісімен қолданылады да,осындай түрге келеді.

2.2.сурет.Жылу өткізгіштіктің теңдеуінің соңғы әр түрлі схеманың белгілі және белгісіз шаблонына арналған.

2.2суретінде (2.15) белгілі және (2.17) белгісіз шаблондары берілген (2.1)-(2.4) есептерін соңғы әр түрлі схемамен аппроксимациялау.

(2.15) белгілі соңғы әр түрлі схемасының жазылған формасы

Үстіңгі уақыттық қабаттың шешімі (САТЖ шешімінсіз) шығарылады торлық функцияның астыңғы уақыттық қабаттың уақыттық шешімінен шығарылады да,шығарылуы белгілі ( k=0 шешімі торлық функциямен формаланып,бастапқы(2.4.) шартпен шығарылады). Бірақ бұл сұлбада заттық жеткіліксіздік бар,сондықтан ол тұрақты шарт болып табылады, оны τ және h торлық мінездемеден аламыз.

Басқа жағынан,белгісіз (2.17) соңғы әртүрлі схемасы осындай формада жазылған.

(2.19)

СЛАУ –ды шығару керек екендігіне алып келеді,бірақ бұл схема абсолютті-тұрақты.

(2.18), (2.19) схемаларды анализдейміз. Сол дұрыс шешімі белгісіз болсын,ол уақыт бойынша өседі,басқаша айтқанда . Сонда,(2.18) белгілі схемамен байланысты шығарылуының әр түрлілігі түсірілген салыстырудың дұрыстылығымен,сондай-ақ меншікті торлық йункцияның мәні келесі уақыттық қабатпен анықталады,яғни шығарылу уақыт бойынша өсетіні байқалады.

(2.19) белгісіз функцияның өсетін шығарылымы,керісінше,шығарылу дұрыстығына қарағанда көтерілген,яғни торлық функцияның үстіңгі уақыттық қабатымен анықталады.

Сурет түсудің шығарылуымен ауысады,яғни қарама-қарсы бейнемен: белгілі соңғы әр түрлі схеманың шығарылуымен көтеріледі,ал белгісіз түседі. ( 2.3 суретті қараңыз).


-нақты шешім

-белгісіз шешім

-белгіді шешім

2.3 сурет. Аппроксимацияның екі жақты әдісі

Бұл анализдің негізінде құрудың нақты белгілі – белгісіз соңғы әр түрлі схемаладың таразыларымен кеңістіктік соңғы әр түрлі операторлармен, сондай-ақ ұсақталған τ және h қадамымен нақты (белгісіз) шығарылуы ″вилканы″ алған,егер белгілі және белгісіз схемалар дифференциалдық есептерді және бұл тұрақты схемаларды аппроксимациялайды,онда сеткалық мінездемеге бағытталу және h нөлге ұмтылуы,белгілі және белгісіз схемаладың шығарылуы әр түрлі жақтан нақты шешімге ұмтылады.
Белгілі және белгісіз сұлбаның жылуөткізгіштік теңдеуінің оңай түрімен қарастырайық. (2.20) Қайда θ – шекті-әртүрлігінің барлық бөлшек сұлбасы, 1−θ – барлық белгілі бөлшек үшін, 0≤θ≤1. θ=1 тең болғанда толық белгісіз сұлба, θ=0 – барлық белгілі сұлба, ал θ=1/2 - Кранк-Николсон сұлбасы болады. Кранк-Николсон (θ=1/2) сұлбасына аппроксимация реті құрылады,яғни т.с.с. уақыт бойынша бір ретке жоғары болады, жай белгілі және белгісіз сұлбаға қарағанда.

Белгісіз және белгілі сұлбаның уақытқа абсолютті орнықты (2.20), яғни 1/2≤θ≤1 және орнықты шарттарға сәйкес 0≤θ<1/2 белгіленеді.

Сонымен, Кранк-Николсон сұлбасы (2.20) және θ=1/2 абсолютті орнықты және уақыт бойынша екінші ретті аппроксимацияға және кеңістіктегі х айнымалыға сәйкес келеді.
2.1.3. Құрамында туындысы бар шекаралық шарттың аппроксимациясы.

Математикалық физика есептерінде және жылуөткізгіштік есептердің дербес жағдайында, яғни шекараның есептелінетін облысының байламында шекаралық шарттың бірінші реті аппроксимацияланады. Екінші және үшінші ретті шекаралық шарттардың айырмашылығы, олардың айнымалы кеңістік бойынша ізделінетін функцияның бірінші ретті туындысы қатысады. Сондықтан, түрлі-шекті сұлбаның түйілісіне аппроксимация қажет. Бірінші ретті аппроксимация туындысының бағыты қарапайым нұсқа ретінде алынады:

Онда шекаралық жалпы жағдайының үшінші ретінің (2.7), (2.8) теңдеуі, түрлі сұлбаның екі шектік байламда ізделінетін функция мәні байланысады, сонда келесі өрнек түрінде беріледі:

Шекті-әр түрлілігінің аппроксимациялық ішкі байламда белгілі теңдеуді аламыз, үшінші алғашқы-шектік есеп үшін белгілі әр түрлі сұлбаны аламыз (2.1), (2.4), (2.7), (2.8).

Жаңа уақыттық қабатқа алгоритмдік өтуін белгілі сұлбаның көмегімен аламыз:

Яғни, алғашқы ізделінетін функцияның барлық ішкі жаңа уақыттық қабаты есептелінеді, содан соң шекарадағы мәндер анықталады.

Белгісіз соңғы-түрлі сұлбаны қолданып, дифференциалдық есепті аламыз:

Нәтижесінде жаңа уақыттық қабаттың шешімін табу үшін сызықтық алгебра теңдеуінің үш-диагональді матрицалар жүйесін қолданамыз. Белгілі және белгісіз сұлбаны қолданған кезде осыған ұқсас болады.

Шекаралық шарттың бірінші ретті аппроксимациясы жоғарыда көрсетілгендей қасиетке ие болады. Т.с.с. ішкі байланысуының аппроксимациясы шекаралық байланысуы тәртібі аппроксимациясы орындалады. Аппроксимациялық ретінің сетканы түгел байламын глобальді аппроксимациялық реті деп аламыз.

Аппроксимация ретті жоғарлауының шекаралық шартының белгілі бір әдісі екінші ретін дифференциалдық есеп болып табылады:

Егерде, белгілі сұлбаның алгоритімі есептің шешілуі жаңа уақыттың қабаты мен аппроксимациялық шекараның шартын қабылдамайды, бірақ принципиалдығы өзгермейді. САТЖ өзінің үш-диагональдығын жоғалтады егерде, белгісіз сұлба қолданылғанда(бірінші және екінші теңдікте үшеуі белгісіз болады). Үшінші теңдікті оңай алып тастау жолын қарастырамыз, яғни екінші және үшінші теңдіктерді комбинацияның сызықтық жолымен алуға болады. Бұл жағдайда диагональды матрицаның бұзылуы, сонымен қатар прагон әдісі де бұзылады.

Оны оңай жолымен қарастырайық, аппроксимациялық ретті шартын күшейтпелігінсіз аппроксимациялық қтынастың бйланыс саны. Иллюстрациялық подходты мынандай түрде көреміз.

Мысалы 2.1.

Үшінші алғашқы-шектік есептің параболалық теңдеуінде, құрамында конвекцияланған мүшелерінің құрамдамасы,(туындының пропорционалы ), іздеу функциясының шығу көздері, мүшелерін құрайды

(2.21)-(2.24) Шешімі.

Шекті-әртүрлігі сұлбасының теңдеуі, сетканың Шекті-әртүрлігінің белгісіз ішкі байланыста көреміз, (2.21):

Егер,бірінші тәртіптегі шекарлық шарттың туындысын (2.22) және (2.23) аппроксимациялық сұлба бойынша аламыз (оң және сол Шекті-әртүрлігін қою-арқылы)

Онда шекаралық шарттар бірінші тәртіп бойынша аппроксимацияланады және глобальді тәртібі, бірінші тәртіпке тең , барлық қалған байланыс аппроксимациялық тәртіп кеңістігі орын ауысуы екіге бөлінеді. Аппроксимациялық тәртіпті сақтауға және екіге теңдігін біз шекаралық байланысуда дәл есептелінген теңдеуіне қоямыз сонда аумақ нүктесінде x=0 болғанда Тейлор қатарына ауыспалы x үшінші туындыға шейін ,- аналогтық қатарының нүктелік ауданының x=l деп аламыз(функциясының жазылуы бойынша u(x,t) шекаралық байлаудан бірінші туынды алынады және екіншіні х бойымен аламыз):

(2.26)

. (2.27)

Әрі қарай екінші мәннің туындысын шекаралық байлануына қоямыз, дифференциалдық теңдеуін аламыз (2.21):

Алынған өрнектен шығады (2.26), бірінші туындының мәнін шекаралық ретімен, аламыз(2.27)

Қою аркылы яғни (2.22), және (2.23) аппроксимациялық кезінде сәйкес қосылуы алынғанда шекаралык байлануын қараймыз(осыдан алгебралык теңдеудің шекаралық байланысуын аламыз, осының әрқайсысындаекеуі белгісіз болады:

(2.28)

(2.29)

Осылайша,(2.28) - Шекті-әртүрлігінің аппроксимациясының шекаралық теңдеуінің үш түрі белгілі (2.22) сол жақ шекарада x=0 болады, яағни (2.29) - Шекті-әртүрлігінің аппроксимациялық үшінші-текті теңдеудің он жақ шекарада (2.23) x=l аппроксимацияның сол жақ ретін сақтайды, осылайша Шекті-әртүрлігінің аппроксимациясы (2.25) және дифференциалдық теңдеуінде де (2.21).

Жаза отырып шекралық Шекті-әртүрлігінің теңдеуінде (2.28), (2.29) сетканың функцияснда екінші мәнді ұстанады, алгебралық теңдеу (2.25),

(2.30)

САТЖ аламыз және үш-диоганальді матрицамен шығарылады.

(j = N, N-1, ... , 0.) (2.32)

Қабылдаған әдіс аппроксимациялық шеттік шарт, туынды бойынша кеңістіктегі орын ауыстыру, аппроксимацияның тәртібін көтеріп қана қоймай консерванттық соңғы-түрлі аппроксимацияда сақталу заңдары қолданылады, (2.21)-(2.24) дифференциалдық сәйкес есептер көрсетілген.

Аналогтық жақындауда шеттік есептерде дифференциалдық теңдеудің кез-келген түрінде қолдануға болады.

Тербеліс шегінің түрлі сұлбалық теңдеуі. Нақты сұлба.Нақты емес сұлба. Аппроксимациялық тәртіп. Фурьенің орнықтылық әдісі бойынша зерттеу. Отбасының сұлбалық таразысы. Орнықтылық. Аппроксимациялық қателік. Тербеліс теңдеуін түрлі сұлбаларының орнықтылығын зерттеу.

Гиперболалық типті теңдеудің класикалық мысалы ретінде толқындық теңдеуі болады, мына аудандарда 0<х<1, t>0 мына түрде болады:

Егер шектің соңы берілген заң бойынша қозғалса,яғни соңында ауысу берілген,онда бірінші алғашқы- шеттік есеп толқындық теңдеуде мына түрге ие:

Сонда да,егер шектің соңы тұйықталған болса, онда ϕ₀(t)=ϕ_l(t)=0.

Яғни, толқындық теңдеулерде, бастапқы бөлінудегі ізделінетін функциядан басқасы, бастапқы бөліну жылдамдығының ауысуы берілген.

Егер шектің соңында күштің берілуі болса, Гук заңы бойынша кеңістіктегі туынды бойынша пропорционалды орын ауысуы (яғни, бірінші туындының соңында х-айнымалы бойынша мәні берілген), екінші алғашқы-шеттік есеп толқындық теңдеуге қойылады:

Сонда шарттарда шектің соңы серпімді байланған, соңғы соқтығыстарға күш әсер етеді, пропорционалды орын ауыстыру, үшінші алғашқы-шеттік есеп толқындық теңдеуге қойылады:

Енді аналогтық екі өлшемді және үш өлшемді алғашқы-шеттік есептерді екі өлшемді және үш өлшемді толқындық теңдеуге қоямыз.

3.2. Гиперболалық типті теңдеудің соңғы-түрлі аппроксимациясы.

Бірінші алғашқы-шеттік есепті толқындық теңдеуде қарастырамыз (3.1-3.5). Кеңістіктегі уақыттық торда (3.12) келесі соңғы-түрлі сұлбаларды дифференциалдық теңдеуді аппроксимациялаймыз (3.1):

(3.6) суретте шаблонмен 3.1(а) және

(3.7)

3.1-сурет. Толқындық теңдеуге арналған соңғы-түрлі сұлбалар суреттегі шаблонмен 3.1(б).

Бұл жағдайда 3.6 сұлба нақты. Оның көмегімен есеп дәл шығарылады, сеткалық функцияның мәні, астыңғы қатарда белгілі болуы керек. Бұл сұлбаның шаблоны аппроксимациялық реті екіге тең,кеңістік және айнымалы уақыт бойынша. Бұл жағдайда нақты соңғы-түрлі сұлба (3.6) сеткалық сипаттама толқындық теңдеуге сәйкес τ,h...

Екі сұлбаның да мәнін білу керек астыңғы уақыттық қатарда. k=1 бұл келесі мән бойынша жазылады:

Осыдан келесі мәнді аламыз:

Мұндай тәсілдің жетіспеушілігі болып аппроксимацияның бірінші тәртібі бойынша екінші алғашқы шарт болады. Аппроксимацияның ретін өсіру үшін келесі жұмыс орындалады.

Екінші туындыны табу үшін (3.9) қолданамыз:

Дифференциалдық шығу теңдеуі.

Нәтижесінде сеткалық функцияны екінші ретті нақтылық бойынша,яғни

Алғашқы шарттар анықталғаннан кейін сеткалық функция уақыттық қабаттың алғашқы есептеуіндегі процесс (3.8) сұлба бойынша созылады және (3.9). Мұнда аппроксимациялық шеттік шарттар (3.3) және (3.4) аналогтық туындалады, параболалық типтес теңдеуде қарастырылғандай.Бұл этап үшін келесі мысалды қарастырамыз.

3.1 мысал.

Үшінші алғашқы шеттік есеп үшін нақты шеттік-түрлі сұлбаны жазамыз.

Шешуі.

Шекаралық аппроксимация шарттары бірінші рет бойынша:

Нәтижесінде жаңа уақыт қабатқа өткен кезде алгоритм келесі түрде жазылады:

Апроксимация дәрежесін жоғарлату үшін t=0 уақыт бойнша Тейлор қатарына жіктейміз:

Квадраттағы Пуассон теңдеуі үшін Дирихле есебі. Аппроксимация. Бірмәнділік шешілім. Максимум принципі. Орнықтылық. Тікбұрыштың әр түрлі Дирихле есебі. Күрделі облыс. Байланысты және байланыссыз облыс. Орналастыру әдісі. Белгілі және белгісіз сұлбалар. Айнымалы бағыттар сұлбасы. Белгілі сұлба құрылысының анализі мен айнымалы сұлба бағытының анализі.

Эллипстік типті теңдеудің классикалық түрінің мысалы Пуассон теңдеуі.

Немесе f(x,y)≡0 болғанда Лаплас теңдеуі.

u(x,y) функциясының әр түрлі физикалық мағынасы бар, яғни стационарлық, уақытқа тәуелсіз, температураның бөлінуі идеалдық (үйкеліссіз және жылуөткізгіштіксіз) сұйықтықтың потенциал жылдамдықты (вихорьсіз) ағыны, электр және магнит өрісі кернеулігнің,тартылу өріс күш потенциалының бөлінуі, т.б.

Егер шекарадағы Г есептелінетін облыста, ізделінетін функция берілсе, онда Лаплас және Пуассон теңдеуінің бірінші шектік есебі Дирихле есебі деп аталады, яғни

Егер шекарада Г ізделінетін функцияның нормаль туындысы берілетін болса, онда Лаплас және Пуассон теңдеуінің екінші шектік есебі Нейман есебі деп аталады, яғни

Мұндағы, n – нормаль Г шекараға бағыты.

Ең тиімді әдіс шектік шарттың координаттық формасы болып табылады.(4.4)

мұндағы,− шекараға Г бағытталған бірлік нормаль векторына бағыттауыш косинустары, i және j – базис векторының орттары.

Пуассон (Лаплас) теңдеуінің үшінші шектік есебі мұндай түрде беріледі.

4.1. Эллипстік типті теңдеудің соңғы-түрлі аппроксимация есебі.

4.1-сурет. Орта-симметриялық шаблон.

Келесі сұлба арқылы соңғы-түрлі қатынас көмегімен ішкі байламда дифференциалдық есепті осы сеткада аппроксимациялаймыз (сеткалық функция енгізіледі, яғни ):

Бес-диагональ түрді САТЖ (әр теңдеудің бес белгісізі бар және ленталы құрамды айнымалы матрица нөмірлері сәйкес келеді).Сызықтық алгебраның түрлі әдістері арқылы шешуге болады, мысалы, итерациялық әдіс, матрицаны шешу әдісі,т.б.

4.2-сурет. Орта-симметриялы шаблон.

Дирихле есебінің сандық шешімінің түрлі итерациялық Либман әдісін қарастырайық. Бұл әдіс оңай болу үшін (4.6 ) сұлбадан табамыз (k- итерация нөмірі).

(4.8)

Әр координат сызықтарында (мысалы, ) нөлдік итерацияны шекара мәнінің сызықтық интерполяция көмегімен (4.3-сурет) анықтайық, ол үшін (4.8) формулаға қоямыз, сонда бірінші итерация бірінші бөлінуін табамыз.

4.3-сурет. Либманның түрлі итерациялық әдісі.

Бұл бөліну процесі қайтадан (4.8) формулаға қойылады, сонда бөлінуін табамыз.Либман процесі тоқталады, егер

Мұндағы, - алдын - ала берілген дәлдік.

2 және 3 ретті шекаралық шартты шешу кезінде диференциялдық теңдеуді аппроксимациялаумен бірге шекаралық шартты аппроксимациясы қатар жүреді.Мысал ретінде түрлі сұлбаларды қарастырамыз,яғни аппроксимацияланатын үшінші шектік есепті тікбұрұштағы Пуассон теңдеуі. Мысалы,

Тікбұрышта сияқты сетканы құрастырамыз.

Жоғарыда көрсетілгендей түрлі-орта сұлба бойынша ішкі байламдағы дифференциалдық есепті осы сеткада аппроксимацялаймыз

. Түрлі бағыттауыш арқылы бірінші ретті шекаралық шартты аппроксимацялаймыз:

.

Нәтижесінде СЛАУ шығады, құрамына (N₁+1)(N₂+1)-4 теңдеуі белгісізге қатысты, ал (i=0,1,…,N₁ , j=0,1,…,N₂ ) осыған тең (i,j) бұрыштық байлам координаттары есептеуге қатыспайды. Бірінші ретті шекаралық шарттарға сәйкес, оның Бес-диагональді түрі бар, мысалы Либманның итерациялық әдісі арқылы шығарылуы мүмкін.

Ескерту. САТЖ –ін шешу үшін жай итерация әдісі, Пуассон (Лаплас) теңдеуін аппроксимацялау кезінде пайда болады, өзгешелігі ақырын жинақтылығы. Бұл жетіспеушілік ұсақ сеткаларда үлкен рөл атқарады, әсіресе, жүйеде теңдеу сандары үлкен болғанда.

Тақырып 5. Вариациялық және түрлі-вариациялық әдіс.

Ритц әдісі. Ритц әдісінің құрылысы. Дирихле әдісін түрлі әдіс-тәсілдерде қолдану. Ритц әдісі көмегімен түрлі диффузия теңдеулерін құру.

Фредгольм және Вольтердің интегралдық теңдеуді шешудің соңғы қосынды әдістері. Өзгеше ядролық әдіс. Өзіндік мәнді және өзіндік функцияны анықтау. Ең кіші квадрат әдісі. Монте-Карло әдісі.

Соболь И.М.. Численные методы Монте-Карло. М.: Наука, 1973.

Соболь И.М.. Метод Монте-Карло. М.: Наука, 1985.

1 .Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978.

2. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.Э. Численные методы анализа. М.: Наука, 1967.

3. Бахвалов Н.С. Численные методы. Том 1, изд. 2-е, стереотипное, М.,1975.

4. Ермаков СМ., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование. Изд. 2-е. М.: Наука, 1982.

5. Соболь И.М.. Численные методы Монте-Карло. М.: Наука, 1973.

6. Соболь И.М.. Метод Монте-Карло. М.: Наука, 1985.

7. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977.

8. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М.:Наука, 1989.

9. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М.: Наука. 1986.

10. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. Т. 1. М.: Наука, 1976, Т. 2. М.: Наука, 1977.

11.Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989.

12.Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы, введение в теорию. М: Наука, 1977.

13. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. – М., 1980 – 520 с. с илл.

14. Габассов Р. Кириллова Ф.М. Принцип максимума в теории оптимального управления. – Минск: Наука и техника, 1974.

15. Гамкрелидзе Р.В. Основы оптимального управления. – Тбилиси: Изд-во Тбилисского ун-та, 1977

1.Шакенов К.К. Методы Монте-Карло и их приложения. Алматы: КазГУ,1993.

2. Дробышевич В.И., Дымников В.П., Ривин Г.С. Задачи по вычислительной математике. М.: Наука, 1980.

3.Копченова Н.В., Марон И.А., Вычислительная математика в примерах и задачах. М.: Наука, 1972.

4.Черкасова М.П. Сборник задач по численным методам. Минск: Высшая школа, 1967.

5.ВазовВ., Дж.Форсайт. Разностные методы решения дифференциальных

уравнений в частных производных. М.: ИЛ, 1963.

6.Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных

систем уравнений со многими неизвестными. М.: Наука, 1975.

7.Митчел Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. М.: Мир, 1981.

8.Трауб Дж. Итерационные методы решения уравнений. М.: Мир, 1983.

9.Михлин С.Г. Некоторые вопросы теории погрешностей. Л.: ЛГУ, 1988.