Ф со пгу 18. 2/06 Қазақстан Республикасының Ғылым және Білім министрлігі

ФМжАТ факультет деканы

___________ Тлеукенов С.К.

____ ______ 2008 ж.

Әдістемелік нұсқаулар

Кафедра отырысында ұсынылған «__»___________2008ж. №_____ хаттама

ФМжАТ факультеттің әдістемелік кеңесінде құпталған

1. 
   Пәннің мақсаттары мен міндеттері
   

• 
  есептеуіш математиканың негізгі ұғымдары мен әдістерінің идеяларын білуі тиіс;
  
• 
  тәжірибешілік есептерді шеше білулері тиіс, ҚЭЕМ қарапайым математикалық моделдерде жүзеге асыру үшін есептеуіш математиканың кез келген әдістерін шебер қолдана алуға және сандық нәтижені талдай білулері тиіс («кері байланысты» жүзеге асыру)
  

Берілген бастапқы және шекаралық шарттарда жылуөткізудің теңдеулерін шешуге арналған айырымдық сұлбасының түрлері:

Ішкі түйіндерде торлық функцияларды анықтау үшін алгебралық теңдеулер жүйесін аламыз. Шекаралық шарттардан

бар. Шекаралық шарттарды тексеру әдісі арқылы шешіледі.

Анық сұлбаларға қарағанда әрбір айырымдық сұлба (3) әрбір жаңа қабатта үш нүктеде белгісіздік мәні болады, сондықтан осы мәндерді алдыңғы қабаттағы белгілі шешім арқылы табуға болмайды. Олар айқындалмаған сұлба деп аталады. Айырымдық сұлба (3) сызықтық үшнүктелі теңдеулерден тұрады, яғни әрбір теңдеу берілген қабаттың үш нүктесінде белгісіздік функциясы болады. Прогонка әдісі бойынша шешіледі.

Берілген бастапқы және шекаралық шарттарБерілген мысалда қосқабатты сұлбаны қарастырдық, яғни әрбір айырымдық теңдеуге қос қабаттан тұратын функцияның мәні кіреді, ол-шешімі табылған - астыңғы, және түйнектерінде шешімі ізделініп жатқан- жоғарғы.

1. Коши есебінің анықтамасын беру;

2. Шекаралық шартты тексеру әдісі арқылы жоғарыда берілген есепті шешу;

3. Қандай сұлба айқындалған сұлба деп аталады?

4. Қандай сұлба айқындалған емес деп аталады?
Зертханалық жұмыс №2

Тақырыбы: Айырымдылық операторларының қасиеттері.

Мақсаты: Айырымдық операторлардың қасиеттерінің теңдеуімен таныстыру және оны шешу.

Алғашқы және шекаралық шарттары берілген дифференциалдық есеп дербес туынды теңдеулермен операторлық түрде құрастырылып жазылады.

Операторлық теңдеу негізгі дербес туынды теңдеу және қосымша алғашқы және шекаралық шарттарынан тұратын теңдеуден құралады. теңдеудің алғашқы және шекаралық шарттарының оң жағын бейнелейді, есептеу облысынан да, шекарадан да тұрады. (6) дифференциалдық есепті айырымдылық есебімен алмастырамыз , мұндағы , мұндағы .

Егер (9) байламдар торлары қоюланса, яғни бұл қателіктер мәндері нөлге ұмтылады,олай болса айырымдылық схема (7) қосылатын деп аталады.

Егер мұндағы , онда айырымдылық схемасы k-шы дәлдік ретті немесе жылдамдығымен қосылады деп те айтады. Тордағы қателікті есептеу үшін (7) теңдеуін жазайық. (7)-ге қойып, (10) аламыз.

Айырымдылық схеманың өлшемі байланыспау деп аталады (аппроксимация қателігі) .Өлшемдік сипаттамасын енгізейік.

яғни, торды ұсақтаса онда байланыспау нөлге ұмтылады.

1. Айырымдылық операторларды қасиеттерін атаңыз;

2. Шекаралық шартты тексеру әдісі арқылы жоғарыда берілген есепті шешу;

3. Айырымдылық сұлбаның байланыстарын табу.

[1] - [5], кіріспе, 5 - тарау

Шекаралық шарттың бірінші ретті аппроксимациясы жоғарыда көрсетілгендей қасиетке ие болады. Т.с.с. ішкі байланысуының аппроксимациясы шекаралық байланысуы тәртібі аппроксимациясы орындалады. Аппроксимациялық ретінің сетканы түгел байламын глобальді аппроксимациялық реті деп аламыз.

Аппроксимация ретті жоғарлауының шекаралық шартының белгілі бір әдісі екінші ретін дифференциалдық есеп болып табылады:

Егерде, белгілі сұлбаның алгоритімі есептің шешілуі жаңа уақыттың қабаты мен аппроксимациялық шекараның шартын қабылдамайды, бірақ принципиалдығы өзгермейді. САТЖ өзінің үш-диагональдығын жоғалтады егерде, белгісіз сұлба қолданылғанда(бірінші және екінші теңдікте үшеуі белгісіз болады). Үшінші теңдікті оңай алып тастау жолын қарастырамыз, яғни екінші және үшінші теңдіктерді комбинацияның сызықтық жолымен алуға болады. Бұл жағдайда диагональды матрицаның бұзылуы, сонымен қатар прагон әдісі де бұзылады.

Оны оңай жолымен қарастырайық, аппроксимациялық ретті шартын күшейтпелігінсіз аппроксимациялық қтынастың бйланыс саны. Иллюстрациялық подходты мынандай түрде көреміз.

Мысалы 2.1.

Үшінші алғашқы-шектік есептің параболалық теңдеуінде, құрамында конвекцияланған мүшелерінің құрамдамасы,(туындының пропорционалы ), іздеу функциясының шығу көздері, мүшелерін құрайды

(2.21)-(2.24) Шешімі.

Шекті-әртүрлігі сұлбасының теңдеуі, сетканың Шекті-әртүрлігінің белгісіз ішкі байланыста көреміз, (2.21):

Егер, бірінші тәртіптегі шекарлық шарттың туындысын (2.22) және (2.23) аппроксимациялық сұлба бойынша аламыз (оң және сол Шекті-әртүрлігін қою-арқылы)

Онда шекаралық шарттар бірінші тәртіп бойынша аппроксимацияланады және глобальді тәртібі, бірінші тәртіпке тең , барлық қалған байланыс аппроксимациялық тәртіп кеңістігі орын ауысуы екіге бөлінеді. Аппроксимациялық тәртіпті сақтауға және екіге теңдігін біз шекаралық байланысуда дәл есептелінген теңдеуіне қоямыз сонда аумақ нүктесінде x=0 болғанда Тейлор қатарына ауыспалы x үшінші туындыға шейін ,- аналогтық қатарының нүктелік ауданының x=l деп аламыз(функциясының жазылуы бойынша u(x,t) шекаралық байлаудан бірінші туынды алынады және екіншіні х бойымен аламыз):

(2.26)

. (2.27)

Әрі қарай екінші мәннің туындысын шекаралық байлануына қоямыз, дифференциалдық теңдеуін аламыз (2.21):

Алынған өрнектен шығады (2.26), бірінші туындының мәнін шекаралық ретімен, аламыз(2.27)

Қою аркылы яғни (2.22), және (2.23) аппроксимациялық кезінде сәйкес қосылуы алынғанда шекаралык байлануын қараймыз(осыдан алгебралык теңдеудің шекаралық байланысуын аламыз, осының әрқайсысындаекеуі белгісіз болады:

(2.28)

(2.29)

Осылайша,(2.28) - Шекті-әртүрлігінің аппроксимациясының шекаралық теңдеуінің үш түрі белгілі (2.22) сол жақ шекарада x=0 болады, яағни (2.29) - Шекті-әртүрлігінің аппроксимациялық үшінші-текті теңдеудің он жақ шекарада (2.23) x=l аппроксимацияның сол жақ ретін сақтайды, осылайша Шекті-әртүрлігінің аппроксимациясы (2.25) және дифференциалдық теңдеуінде де (2.21).

Жаза отырып шекаралық шекті-әртүрлігінің теңдеуінде (2.28), (2.29) сетканың функцияснда екінші мәнді ұстанады, алгебралық теңдеу (2.25),

(2.30)
Тапсырма:

1. Нормаланған кеңістікті аппроксимациялау арқылы теңдеуге арналған аралас есептің шешуінің блок-сұлбасын жасау.

2. Нормаланған кеңістікті аппроксимациялау арқылы бірөлшемді теңдеуге арналған аралас есептің шешуінің блок-сұлбасын жасау.

3. Нормаланған кеңістікті аппроксимациялау бойынша жылуөткізгішті бірөлшемді теңдеуге арналған аралас есептің шешуінің блок-сұлбасын жасау.

Конвективті мүшелері ( туындысына пропорционалды), сондай-ақ ізделетін функциясы бар көздік мүшелер де құрамында бар параболалық теңдеу үшін үшінші бастапқы-шеткі есепті шешу.

Шешім.

онда шекаралық шарттар бірінші тәртіп бойынша жуықтасады, және жаһанды тәртіп басқа қалған түйіндерде жуықтасу тәртібі ауыспалы кеңістік бойынша екіге тең екендігіне қарамастан, бірінші тәртіпке тең болады. Екіге тең жуықтасу тәртібін сақтау үшін шекаралық түйіндерде x=0 нүктесінің маңайында Тейлор қатарына х үшінші туындысына дейін ауыспалы бойынша мәнінің нақты шешімін, x=l нүктесінің маңайына ұқсас қатарына қоямыз, шығатыны ( шамамен u(x,t) функциясы шекаралық түйіндерде уақыт бойынша бірінші туындылары болады және екіншілері –х бойынша):

Осылайша, (2.8) - x=0 сол жақ шекарасындағы (2.2) 3-нші тегінің шекаралық шарттың ақырлы-айырымдық жуықтату, ал (2.9) - x=l оң жақ шекарасындағы (2.3) 3-нші тегінің шекаралық шарттың ақырлы-айырымдық жуықтату, бұлар (2.1) дифференциалды теңдеудің (2.5) ақырлы-айырымдық жуықтатуындағы тәртіпті сақтайды.

Әрқайсысында торлық функцияның екі мәні бар (2.8), (2.9) шекаралық ақырлы-айырымдық теңдеулерге жатқыза отырып, төмендегідей түрде жазылған (2.25) алгебралық функциялар

(2.10)

Шекаралық шарттарды тексеру әдісі бойынша шешілетін үшдиагоналды САТЖ-ін аламыз

(j = N, N-1, ... , 0.) (2.12)

Ұқсас амалды кез келген типтің дифференциалды теңдеулер үшін шеткі есептерде жүзеге асыруға болады.

Лаппас теңдеуі үшін Дирихле есебін шығару

Есеп: Лаппас теңдеуін тікбұрышты аймақтың ішінде қанағаттандыратын, және аймағының шекарасында беірілген мәнін қабылдайтын, яғни , u(x,y) үздіксіз функциясын табу, мұнда - берілген функциялар.

u(x,y) -  аймақтың шекарасындағы үздіксіз функция болсын, яғни

һ қадамдарын таңдап, 1-ден х, у сәйкес, , где торын құрастырамыз.

орталық-айырымдық туындылармен тордың әрбір ішкі түйінінде жуықтатамыз

Лаппас теңдеуін ақырлы-айырымдық теңдеумен ауыстырамыз

.
(14)

Тікбұрышты аймақта Лаппас теңдеуі үшін Дирихле есебінің сандық шешімі тордың ішкі түйіндерінде ізделетін функцияның жуықтатылған мәнін табудан тұрады. анықтау үшін (14) сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешу керек. Жүйені құрамында түрдің итерациясының тізбегінен тұратын, тізбегі (14) нақты шешімге тырысатын Гаусс-Зейдел итерациялық әдісімен шешеміз. Итерационды үрдісті аяқтаудың шарты: .

Осылайша, тор әдісі бойынша алынған жуықтатылған шешімнің шекаралық қабаты екі шекаралық қабаттан жасалынады: айырымдық теңдеулермен дифференциалды теңдеулерді жуықтату шекаралық қабаты және айырымдық теңдеулер жүйесін (14) жуық шешу арқылы туындайтын шекаралық қабат. Сызбаның орнықтылығы, бастапқы берілгендеріндеігі кішкентай өзгерістер есептің айырымдық шешімінің кішкентай өзгерісіне әкелетінін білдіреді. Сызбаның жинақтылығы, тордың қадамының нөлге тырысуы кезінде есептің айырымын шешу алғашқы есепиі шешуге тырысатынын білдіреді. Осылайша, жеткілікті кішкене қадамды таңдап, алғашқы есепті дәл шешуге болады.