Франсуа виет

Трудно перечислить всех ученых, открытия которых изучаются в современной «школьной» математике. Но есть два математика, которые сделали для нее больше других: это геометр Древней Греции Евклид и «отец современной алгебры» Франсуа Виет. Всем учащимся хорошо знакома его теорема. Удивительно, но он не был математиком по образованию.

Франсуа Виет (1540—1603) родился на юге Франции в небольшом городке Фонтене-ле-Конт провинции Пуату, недалеко от знаменитой крепости Ла-Рошель. Сын прокурора, Виет получил юридическое образование и начал адвокатскую практику в родном городе в 1560 году. Но вскоре он стал секретарём и домашним учителем двенадцатилетней дочери в доме знатного дворянина-гугенота де Партеней. (Гугеноты — последователи кальвинизма, одного из основных течений Реформации Церкви.) Именно тогда преподавание пробудило в молодом юристе интерес к математике. Тогда Виет очень увлёкся изучением астрономии и тригонометрии и даже получил некоторые важные результаты.

Когда ученица выросла и вышла замуж, Виет не расстался с ее семьей и в 1571 г. переехал с нею в Париж, где ему было легче узнать о достижениях ведущих математиков Европы. Он общался с видным профессором Сорбонны Рамусом, с крупнейшим математиком Италии Рафаэлем Бомбелли вел дружескую переписку. Он возобновил адвокатскую практику, а позже стал советником парламента в Бретани. Знакомство с Генрихом Наваррским, будущим королём Франции Генрихом IV, помогло Виету занять видную придворную должность — тайного советника — сначала при короле Генрихе III, а затем и при Генрихе IV. В 1580 году Генрих III назначил Виета на важный пост рекетмейстера, который давал право контролировать выполнение распоряжений в стране и приостанавливать приказы крупных феодалов.

Одним из самых замечательных достижений Виета на королевской службе была разгадка шифра, в котором насчитывалось более 500 знаков, менявшихся время от времени. Этим шифром пользовались недруги французского короля в Нидерландах для переписки с испанским двором. Хотя французы часто перехватывали письма из Испании, расшифровать их никто не мог. И только Виет быстро нашёл ключ. Позже испанцы обвиняли Генриха IV в том, что у него на службе состоит сам дьявол. Они даже жаловались римскому папе и просили уничтожить эту «дьявольскую силу».

Виет жил в эпоху кровопролитных религиозных войн. Нет сведений о том, католиком он был или гугенотом. Известно только, что по настоянию ярых католиков герцогов де Гизов его отстранили от должности в конце 1584 г. и выслали из Парижа. Лишь после разрыва короля с де Гизами, в начале 1589г., он вновь был приглашён ко двору. Четыре года опалы оказались необычайно плодотворными для Виета. Обретя покой и отдых, ученый поставил перед своей целью создание всеобъемлющей математики, позволяющей решать любые задачи. Виет изложил программу своих исследований и перечислил трактаты, объединенные общим замыслом и написанные на математическом языке новой буквенной алгебры, в изданном в 1591 году знаменитом трактате «Введение в аналитическое искусство». Основу своего подхода Виет называл видовой логистикой, он четко разграничивал числа, величины и отношения, собрав их в некую систему «видов». В эту систему входили, например, переменные, их корни, квадраты, кубы, квадрато-квадраты и т.д. Для этих видов Виет дал специальную символику, обозначив их прописными буквами латинского алфавита. Для неизвестных величин применялись гласные буквы, для переменных – согласные. Виет показал, что, оперируя с символами, можно получить результат, который применим к любым соответствующим величинам, т.е. решить задачу в общем виде. Это положило начало коренному перелому в развитии алгебры. Математика стала его единственной страстью, он работал самозабвенно. По рассказам современников, Виет мог просиживать за письменным столом по трое суток подряд, только иногда забываясь сном на несколько минут. Несмотря на огромное желание и упорные занятия, книгу Виет всё же не завершил. Но главное было написано. И это главное определило развитие всей математики Нового времени.

Виета называют творцом современной алгебры за очень важное нововведение – он целеустремленно и последовательно применял в алгебре буквенное исчисление. Чтобы отчетливее представить себе, в чем суть буквенного исчисления Виета и почему оно так важно для всей современной алгебры, посмотрим, что представляла алгебра до него. Почти все действия и знаки записывались словами, не было и намека на те удобные, почти автоматические правила, которыми сейчас умеет пользоваться каждый ученик. Поэтому нельзя было записывать и, следовательно, изучать в общем виде алгебраические уравнения или какие-нибудь другие алгебраические выражения. Необходимо было доказать, что существуют такие общие действия над всеми числами, которые от этих самых чисел не зависят.

Виет и его последователи установили, что не имеет значения, будет рассматриваемое число количеством предметов или длиной перпендикуляра. Главное, что с этими числами можно производить алгебраические действия и в результате снова получать числа того же рода. Не имеет значения также, известно ли нам число или числа, то все числа как бы однородны и их можно обозначить какими-нибудь отвлеченными знаками, например буквами латинского алфавита. Виет не только ввел свое буквенное исчисление, но сделал принципиально новое открытие, поставив перед собой цель изучать не числа, а действия над ними. Это была удачная мысль, и она стала сразу приносить обильные плоды. Например, вскоре был доказан общий алгебраический закон умножения: умножение отрезков есть та же операция, что и умножение чисел. Появилась возможность записывать алгебраические выражения в виде формул.

Однако у самого Виета алгебраические обозначения, или, как сейчас говорят, алгебраические символы, были мало похожи на наши. Сравните современную запись кубического уравнения и запись этого же уравнения в обозначениях Виета: A cubus+ B planum in A 3 aequatur D solido. Как видите, здесь еще очень много слов, но ясно, что эти слова уже играют роль наших символов; так, латинское слово cubus после неизвестного A (неизвестное обозначалось гласной буквой) означает наше «в кубе». Слово, aequatur (в переводе на русский –«равный») написано вместо нашего знака «=», умножение чисел А и В обозначено предлогом in (все, что осталось после сокращения от выражения «взять во столько-то раз больше»). Остальные слова – это следы прошлого, следы того, что у Виета алгебра еще не полностью освободилась от посторонних для нее влияний геометрии.

Но уже такой способ записи позволил Виету сделать важные открытия при изучении общих свойств алгебраических уравнений. Особенно гордился Виет всем известной теперь теоремой его имени, обнародованной в 1591 году, о выражении коэффициентов уравнения через го корни, хотя под корнями он понимал только положительные числа, не признавал за корни отрицательные и совсем не подозревал о существовании комплексных чисел. Сам автор формулировал ее так: «Если B+D, умноженное на А, минус А в квадрате равно BD, то А равно В и равно D». При составлении обширных таблиц тригонометрических функций Виет с большим искусством применил десятичные дроби. Глубокий интерес к тригонометрии у него был вызван желанием сделать астрономию более точной.

Математиков столетиями интересовал вопрос решения треугольников, так как он диктовался нуждами астрономии, архитектуры, геодезии. Увлекшись тригонометрией, Виет первым явно сформулировал в словесной форме теорему косинусов, хотя положения, эквивалентные ей, эпизодически применялись с первого века до нашей эры. Известный ранее своей трудностью решения треугольника по двум данным сторонам и одному из противолежащих им углов получил у Виета исчерпывающий разбор.

Глубокое знание алгебры давало Виету большие преимущества. Причем интерес его алгебре первоначально был вызван приложениями к тригонометрии и астрономии. Не только каждое новое применение алгебры давало импульс новым исследованиям по тригонометрии, но и полученные тригонометрические результаты являлись источником важных успехов алгебры. Виету, в частности, принадлежит вывод выражений для синусов (или хорд) и косинусов кратных дуг.

Эти знания из тригонометрии Виет с успехом применял как в алгебре, так и в геометрии. Используя представление о круге как о пределе вписанных в него многоугольников при увеличении числа их сторон, Виет вычислил число ПИ до 18-го знака после запятой (из них 11 знаков верны).

Умение решать алгебраические задачи при помощи геометрии и тригонометрии принесло Виету славу победителя турнира лучших математиков того времени. Голландский математик Адриан ван-Роумен предложил математикам всего мира решить уравнение 45-й степени с числовыми коэффициентами. Французским математикам он не послал свой вызов, как бы намекая на то, что во Франции нет математиков, способных справиться с этой задачей. Узнав об этом, король Франции Генрих IV, на службе у которого в то время состоял Виет, воскликнул: «И все же у меня есть математик, и весьма выдающийся. Позовите Виета!» И действительно, Виет тут же, в присутствии короля, нашел один корень предложенного уравнения, а на следующий день нашел еще 22 его положительных корня. После этого Ван-Роумен стал ревностным почитателем Виета.

Виет решил при помощи циркуля и линейки знаменитую задачу, сформулированную геометром Древней Греции Аполлонием из Перги. По условию этой задачи надо построить круг, касательный к трем данным кругам. Гордясь найденным решением, Виет называл себя «Аполлонием из Галлии» (Галлией в старину называли Францию).

В мемуарах некоторых придворных Франции есть указание, что Виет был женат, что у него была дочь, единственная наследница имения, по которому Виет звался сеньор де ля Биготье. В придворных новостях маркиз Летуаль писал: «… 14 февраля 1603 г. Господин Виет, рекетмейстер, человек большого ума и рассуждения и один из самых ученых математиков века умер в Париже. Ему было более шестидесяти лет».