Функционалды талдау 050601 «Математика» мамандығының ПӘні бойынша оқыту бағдарламасы

Курста функионалдық талдаудың негіздерін және нақты талдаудың кейбір мәселелерін жүйелі түрде мазмұндалады.

Метрикалық кеңістіктің анықтамасы және ондағы топологикалық ұғымдар (шар, нүктенің маңайы, ішкі, сыртқы, шектік және жиынның оңаша нүктесі). Ашық, тұйық жиындар. Жиынның тұйықтамы. Ашық және тұйық жиындар туралы теоремалар. Берілген жиынның барлық жерінде тығыз, кеңістіктің барлақ жерінде тығыз және ешжерде тығыз емес жиындар. Толық және сепарабелді метрикалық кеңістіктер.

Метрикалық кеңістіктің толықтамасы. Бірінің ішінде бірі орналасқан шарлар принципі. Бэр теоремасы. Қысылған бейнелер принципі және оның алгебратық, функционалдық және интегралдық теңдеулерді шешуге қолданылуы.

Сызықты кеңістік. Элементтің нормасы. Сызықты кеңістік элементтер різбегінің жинақтылығы. Сызықты нормаланған кеңістік. Ішкеңістік, оның өлшемі. Банах кеңістігі. Гельдердің жәңе Минковскийдің теңсіздіктері. Банах кеңістігінің негізгі мысалдары. Лебегтің қосындыланатын функциялар кеңістігі , үзіліссіз функциялар кеңістігінің кеңістігінің нормасы бойынша толықтамасы. Евклид кеңістігі. Гильберт кеңістігі, оның мысалдары. Вектордың ұзындығы, вектолар арасындағы бұрыш. Банах кеңістігінде ортогонал дерлік элементтердің бар болатындығы.

Шенелген және жете шенелген жиындар. Метрикалық кеңістіктегі жиынның компактылық, шала компактылық критериі. Берілген нормаланған метрикалық кеңістіктегі жиынның компакт болу шарты. Арцел теоремасы. Ақырлы өлшемді кеңістіктегі жиынның компакт болу шарты.

Параллелограмм туралы лемма. Векторлардың ортогоналдығы. сызықты тәуелсіз векторларды ортогоналдау әдісі. Сепарабельді Гильберт кеңістігінде ортонолмаль жүйенің бар болуы. Гильберт кеістігін ортогональ ішкеңістікткеге жіктеу. Гильберт кеістігінің элементіне ортогональ ішкеңістіктер элементтері арқылы ең жақсы жуықтау. Бессель теңсіздігі. Парсеваль-Стеклов теңдігі. Полнота и замкнутость Ортонормаль элементтер жүйесінің толықтығы мен тұйықтығы. Гильберт кеістігінде осы ұғымдардың эквиваленттігі. Фурье қатары. Гильберт кеістігінің кез келген векторын осы кеңістіктегі ортонормаль векторлар жүйесі бойынша жіктеу. Рисс-Фишер теоремасы. Парсеваль-Стеклов теңдігін жалпылау. Сепарабельді Гильберт кеістіктерінің изоморфтылығы.

Оперторлар және функционалдар. Сызықты операторлар, олардың нормаланған Гильберт кеістігіндегі үзіліссіздігі мен шенеулілігі. Негізгі кеңістіктердегі сызықты функционалдардың жалпы түрі. Түйіндес кеңістік. Түйіндес кеңістіктегі әлді топология. Түйіндес кеңістіктің мысалдары. Екіші түйіндес кеңістік. Түйіндес кеңістіктегі әлсіз жинақтылық. Операторлар алгебрасы. Банахово пространство Сызықты операторлардың банах кеңістігі. Түйіндес оператор. Гильберт кеістігіндегі түйіндес оператор. Симметрилы және жете үзіліссіз (компакт) операторлар. Операторлар тізбегінің шегі. Гильберт кеістігіндегі ядросы үзіліссіз интегралдық оператор және ядросы кеңістігінің элементі болатын оператор.

Банаха – Штейнхауса теоремасы. Нүктелерде жинақталу қритериі. Кері операторлар туралы және тұйық график туралы Банах теоремасы. Ұзіліссіз болмайтын тұйық оператордың мысалы. Сызықты функционалдың жал.асы туралы Хан-Банах теоремасы және оның салдары.

Сызықты оператордың меншікті элементтері және меншіеті мәндері. Оператордың спектрі. Резольвента. симметриялы компакт оператордың спектірі. Компакт операторлар тізбегінің шегі. Гильберта-Шмидта теоремасы, салдары. Квадраттық қосындыланатын ядролы Фредгольм оператороның толық үзіліссіздігі. кеңістігіндегі үшін салдары. Симметриялы ядролы біртекті емес интегралдық теңдеулер.

Негізгі және жалпыланған функциялар кеңістігі. Регуляр және сингуляр жалпыланған функциялар. Жалпыланған функцияның туындысы. Жалпыланған функциялардың қарапайым қолданулары.

Функционалды талдаудың дамуына ірі ғалымдардың қосқан үлесі. Функционалды талдаудың бүгінгі жағдайы туралы қысқаша очерк және дамуының беталысы.

Метрикалық кеңістіктің толықтамасы. Бірінің ішінде бірі орналасқан шарлар принципі. Бэр теоремасы. Қысылған бейнелер принципі және оның алгебратық, функционалдық және интегралдық теңдеулерді шешуге қолданылуы.

оқулық бойынша 1-8 мысалдарын игеру (140,141беттер) және 1-3 (143 бет).

есеп кітабы бойынша № 1.1, 1.2.

2-сабақ.

Освоение понятия Фактор-кеңістік ұғымын игеру (144 бет).

Сызықты функционал ұғымын игеру (145 бет).

Сызықты функционал мысалдары. (1, 1- 5 мысалдары, 145-146 беттер).

Есептерді шығару № 1.22.

Есептерді шығару № 1.23.

СК және НСК тақырыбы бойынша студенттер білуі керек:

- СК мысалдарын;

- СК элементтанінің нормасын анықтау әдістерін;

- СК және НСК элементтер тізбегін жинақтылыққа зерттеуді;

- ішкеңістікті құруды және оның өлшемділігін анықтауды;

- кеңістіктің Банахтық болатынын дәлелдеуді;

- Гельдер және Минковский теңсіздіктерін дәлелдеуді;

- Банах кеңістігінің негізгі мысалдарын;

- Лебег кеңістігі үзіліссіз функциялар кеңістігінің осы кеңістіктің нормасы бойынша толықтамасы болатынын дәлелдеуді;

- Евклид, Гильберт кеңістіктерінің анықтамасын, олардың мысалдарын;

- вектордың ұзындығын, векторлар арасындағы бұрыштың анықтамасын және Банах кеңістігінде ортогонал дерлік элементтер жүйесінің бар болатындығын.
3-тақырып: «Нормаланған сызықты кеңістіктер» Осы тақырып бойынша студенттер білуі керек сызықты кеңістіктік туралы ұғымды, осы кеңістіктік элементінің нормасын, Нормаланған сызықты кеңістіктік элементтер тізбегінің жинақтылығы туралы ұғымды, өлшемін, Банах кеңістігін, неравенства Гельдер және Минковский теңсіздіктерін, осындай кеңістіктердің негізгі мысалдарын. Лебегтің кеңістігі үзіліссіз функциялар кеңістігінің кеңістігінің нормасы бойынша толықтамасы болатындығын. Евклид және Гильберт кеңістіктерінің анықтамаларын мысалдарын, вектордың ұзындығын, векторлар арасындағы бұрышты, Банах кеңістігінде ортогонал элементтердің болатындығын.

Студенттер дәлелдей және құра білуі керек:

- сызықты кеңістікті;

- сызықты кеңістік элементінің нормасын анықтауды;

- сызықты және нормаланған сызықты кеңістіктегі элементтер тізбегінің элементтер тізюегінің жинақталағын;

- ішкеңістіктерді құрып оның өлшемін анықтауды;

- кеңістіктің Банах кеңістігі болатындығын;

- Гельдер және Минковский теңсіздіктерін дәлелдеуді;

- Банах кеңістігінің мысалдарын;

- Лебегтің кеңістігі үзіліссіз функциялар кеңістігінің кеңістігінің нормасы бойынша толықтамасы болатындығын дәлелдеуді;

- Евклида және Гильберт кеңісіктерінің мысалджарын; вектордың ұзындығын, векторлар арасындағы бұрышты, Банах кеңістігінде ортогонал элементтердің болатындығын.
3-тақырып бойынша жаттығу сабақтары.
1-сабақ. Фундаменталды тізбектің анықтамасын игеру.

Бірінің ішінде бірі орналасқан шарлар туралы теореманың дәлелдеуін игеру.

Освоить доказательство теоремы о вложенных шарах. Толық метрикалық кеңістіктің анықтамасын игеру, мысалдары арқылы.

кеңістіктерінің толықтығын дәлелдеу.

2-сабақ. Толық емес метрикалық кеңістіктің толықтамасын құру процевін игеру.

кеңістігінің толықтамасы кеңістігі болатынын дәлелдеу.

3-сабақ. және басқа кеңістіктердегі топологиялар, олардың геометриялық бейнесі (1, 57-65 беттер).

4-сабақ. Толық метрикалық кеңістіктердің мысалдары.. Банах теоремасын игеру (1, 87-97 беттер).
4-тақырып: «Метрлік және нормаланған сызықты кеңістіктердегі компакт жиындар» Осы тақырып бойынша студенттер білуі керек шенелген және жете шенелген жиындардың анықтамасын, метрикалық кеңістіктегі жиынның компакт және салыстырмалы компакт болу критерилерін, Арцель теоремасын. Ақырлы өлшемді кеңістіктердегі компакт жиындарды.

Студенттер дәлелдей бңлуі керек:

- метрикалық кеңістіктегі жиынның компат және жете компакт болу критериін, Негізгі метрикалық кеңістіктердегі жиынның компат және жете компакт болу шарттарын, Арцель теоремасын. Ақырлы өлшемді кеңістіктердегі компакт жиындарды.

Операторлар алгебрасын құра білуі керек. Банах кеңістігіндегі сызықты операторларды, түйіндес операторды, Гильберт кеңістігіндегі түйіндес операторды, симметриялық және жете үзіліссіз (компакт) операторды білуі керек. Оператлар тізбегінің шегі. Ядросы үзіліссіз және ядросы кеңістігінің элементі болатын интегралдық операторды.

Осы тақырып бойынша студенттер білуі керек:

- Банах – Штейнгаус теоремасының дәелдеуін, нүктелік жинақтылықтың критериін, сызықты функционалдың жалғасы туралы Хан-Банах теоремасын және оның салдарын дәлелдеуін;

- Тұйық және үзілісті оператордың мысалдарын; строить пример замкнутого оператора, разрывного оператора;

- сызықты функционалдың жалғасы туралы Хан-Банах теоремасын және оның салдарының дәлелдеуін.

8-тақырып бойынша жаттығу сабағы. Тақырып. Спектралды операторлар теориясыың элементтері. Бұл тақырып бойынша сызықты оператордың меншікті элементтері және меншікті мәндерін, операторы спектрі туралы ұғымды игерру керек. Резольвентаны, компакт симметриялы оператордың спектрін білу керек. Компакт операторлар тізбегінің шегі. Гильберт-Шмидт теоремасы және оның салдары. Ядросы квадратымен қосындыланатын Фредгольм операторының толық үзіліссіздігі және кеңістігі үшін салдары. Біртекті емес симметриялық ядролы интегралдық теңдеу.

10.4 СӨЖ мазмұны

№	СӨЖ түрлері	Есеп беру түрлері	Бақылау түрлнрі	Көлемі (сағат)
1	Дәрістерді тыңдауға дайындық	Конспектің бар болуы	Сабаққа қатнасу	15
2	Жаттығу сабақтарына дайындық, үй тапсырмаларын орындау	Жұмыс дәптері	Бақылау сұрақтары, отчет	30
3	Аудиториялық сабақтардан тысқары материялдарды игеру	Конспект	Жаттығу сабақтарына, бақылау шараларына қатнасу	35
4	Жеке тапсырманы орындау	Шығарылған есептер мен мысалдар	ЖТ қорғау	15
5	Бақылау шарадарына дайындық		АБ 1, АБ 2, коллоквиум (тестілеу және басқалары)	15
Барлығы:				120

Суденттердің өз бетімен игеру тақырптары

1-тақырып Метрикалық кеңістіктер

Мысалдары. Метрикалық кеңістіктегі ашық және тұйық жиындардың. Метрикалық кеңістіктің барлық жерінде тығыз және ешжерінде тығыз емес жиындардың.

Ұсынылатын әдебиет: [1], [3], [10].

2-тақырып Толық метрикалық кеңістіктердегі негізгі теоремалар

Бірінің ішінде бірі орналасқан шартар туралы, Бэр теоремасы. Қысушы бейнелеу принципі және оның алгебралық, функционалдық және интегралдық теңдеулерге қолдпнылуы.

Ұсынылатын әдебиет: [12], [13], [15],[9].

3-тақырып Сызықты нормаланған кеңістіктер

Сызықты нормаланған кеңістіктегі норма. Осындай кеңістіктегі тізбектің жинақтылығы, мысалдары. Евклид кеңістігінің мысалдары. Гильберта кеңістігінің мысалдары. Вектордың ұзындығы және векторлар арасындағы бұрыш. Мысалдары.

Ұсынылатын әдебиет: [2], [5], [6].

4-тақырып Метрикалық және Сызықты нормаланған кеңістіктердегі компакт жиындар.

Шенелген және жете шенелген жиындар. Метрикалық кеңістіктердегі жиынның компактылық критериі және шарттары. Арцел теоремасы.

Ұсынылатын әдебиет: [11], [16].

5-тақырып Гильберт кеңістігіндегі геометрия.

Параллелограмм туралы лемма. Ортогонал векторлар. Кеңістік элементіне ішкеңістік элементтерімен жуықтау. Гильберт кеңістігіндегі элементті ортонормаланған векторлар жүйесі бойынша Фурье қатарына жіктеу. Рисс-Фишер теоремасы.

Ұсынылатын әдебиет: [6], [2], [8].

6-тақырып Сызықты функционалдар және операторлар.

Түйіндес кеңістік. Түйіндес кеңістіктегі күшті топология. Түйіндес кеңістіктердің мысалдары. Екінші түйіндес кеңістік.

Ұсынылатын әдебиет: [1], [4][7].

7-тақырып Функционалды талдаудың негізгі принциптері.

Банах - Штейнгаус теоремасы. Нүктелік жинақтылық критериі. Кері оператор және тұйық график туралы Банах теоремасы. Тұйық графиктің мысалдары.

Ұсынылатын әдебиет: [4], [1], [3].

8-тақырып Операторлардың спектрлік теориясының элементтері

Сызықты оператордың меншікті элементтері және меншікті мәндері. оператор спектр. Резольвента. Компакт симметриялық оператордың спектірі. Гильберт-Шмидт теоремасы және оның салдары.

Ұсынылатын әдебиет: [14], [12], [3].

11 Курс саясаты

1. 
   Сабаққа кешігу (үш рет қайталанса себебі анықталғанша келесі сабаққа жіберілмейді);
   
2. 
   Сабаққа қатнаспау (себепсіз болса – 0 балл, егер себебі анықталса сабақ тақырыбын тапсыруға рұқсат етіледі);
   
3. 
   Тапсырманы орындамау – 0 балл (қайта тапсыруға рұқсат етілмейді);
   
4. 
   Лабараторлық жұмыс бойынша есепт беру белгіленген ухытта қабылданады (кейін қкбылданбайды және есепке алынбайды)
   
5. 
   Сабақтағы белсенділік екі балға бағаланады.
   
6. 
   50 балл жинай алмаған студенты емтиханға (снаққа) жіберілмейді (себепсіз болса, онда автоматты түрде 0 балл деп бағаланадлы)
   
7. 
   Себепсіз емтиханға (сынаққа) келмеу – 0 балға бағаланады, себебі анықталған жағдайда деканаттың рұқсаты бойынша тапсырылады.
   
8. 
   Қортынды баға төмендегі формула бойынша есептеледі:
   

И – емтихкнның қортынды балы, осы балға сәйкес баға таблицадан алынады.

1. Колмлгоров А. Н. Фомин С. В. Элементы теории функции и функционального анализа. М. 1975, 1989

2. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы фуекционального анализа. М. 1982.

3. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Кратки курс фуекционального анализа. М. 1982..

4. Рисс Ф. И., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М. 1979.

5. Данфорд Н. И. Линейные операторы. М. 1962

6. Шилов Г. Е. Математическии анализ, специальный курс. М. 1960

7. Треногин В.А., Писаржевскиий В.С., Соболева Т.С. Задачи и упражнения по функциональному анализу. – М.: Наука 1984.

8. Кирилов А.А., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального анализа. – М., 1979.

Қосымша

9. Рудин У. Функциональный анализ, т.1, т.2, - М.: Мир, 1975.

10. Иосида К. Функциональный анализ, - М., 1987.

11. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы (общая теория).- М.: ИЛ, 1962.

12. Садовничий В.А. Тория операторов. – М.: МГУ, 1986.

13. Кантарович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ, - М., Наука, 1977.

14. Темірғалиев Н. Математикалық анализ. Т. 2: - Алматы,: Ана тілі, 1991.

15. Талдыкин А.Т. Элементы прикладного функционального анализа, - М., 1982