Функция математикалық және жалпығылыми ұғымдардың негізгі бөлігі болып табылады. Шын әлемді танып білуде функция маңызды рөлге ие болды және қазіргі уақытта да ие

Функция – математикалық және жалпығылыми ұғымдардың негізгі бөлігі болып табылады. Шын әлемді танып білуде функция маңызды рөлге ие болды және қазіргі уақытта да ие.

Функционалдық тәуелділік идеясы ежелден-ақ басталған. Оның құрылымы ең алғаш математикалық анықталған шамаарлас қатынастарда, сандармен іс-әрекеттің алғаш ережелерінде және белгілі бір фигуралардың ауданын, көлемін табуға арналған формулаларында көрінеді. Осылай, вавилон (4-5 мың жыл бұрын) ғалымдары, дұрыс білмей отырып, шеңбер ауданы оның радиусынан басталған функция деп анықтаған. Оны анықтаудың дөрекі формуласы формуласы болса да (S=3r2), ол кезде жаңалық үлкен мәнге ие болды. Функцияны кестелік құрудың мысалдарына вавилондықтардың, ежелгі гректердің, үндістердің астрономиялық кестелері, ал функцияның сөзбен берілуіне диаметеріндегі шеңбер және шаршы аудандарының қатынасының тұрақтылығы туралы теоремасын немесе коникалық қималардың антикалық анықтамаларын (осы қисықтар геометриялық кейпінде қарастырылды) мысал етіп қарастыра аламыз.

Тек 17 ғасырдан бастап, математика ғылымына айнымалылардың еңгізілуімен функция ұғымы түгелімен өзгеріп, көп қолданыла бастайды.

Сонымен қатар, Декарт пен Фермде (1601-1665) геометриялық еңбектерінде айнымалы шама және тік бұрышты координаталар жүйесі туралы анық түсінік береді. 1637 жылғы «Геометрия» еңбегінде Декарт функция ұғымына түсінік береді, нүкте ординатасының өзгерісін абцисса өзгеруіне тәуелділігін зерттеді. Бірақ, ол тек теңдеулер арқылы көрсетуге болатын ғана және көбінесе алгебралық қисықтарды қарастырды. Кейін функция ұғымы анықтала бастады. »).

Функция дегеніміз бір айнымалыға басқа бір айнымалының бір мәнің сәйкес қоятын тәуелділік, заң. Мысалы y = x + 1 функциясы әрбір x-ке y-тің x+1 мәнің сәйкес қояды.

x = 0 болса, y = x+1 = 0+1 = 1,

x = 1 болса, y = x+1 = 1+1 = 2 тағы сол сияқты.

Осы функцияның графигі:

Функция бір x айнымалысына белгілі бір заң не ереже бойынша тек қана бір y санын сәйкес қояды, бұны былай жазады:

y = f(x), f осы заңдылықтың белгісі.

Функцияның анықталу облысы

Соңдықтан y = 1/x функциясы сандық түзудегі нөлден басқа барлық нүктелерде анықталған.

y = f(x) функциясының мағынасы бар x-тердің жиыны функцияның анықталу облысы деп аталады.

Мысалы y=1/x функцияның анықталу облысы нөлден басқа барлық сандар жиыны.

Ал y = x+1 функцияның анықталу облысы бүткіл сандық өсі болады.

Квадраттық функция

Айта кету керек квадраттық функциялар - көпмүшелік функциялар.

Назар аудару маңызды сызықтық функция - көпмүшелік функция, біз төменде толығырақ білетін функция түрі.

Көпмүшелік функция

Рационалды функция

Бір бөлшекті ескеру керек, көпмүшелік функциясының домені нақты сандарды алады.

Сызықтың қызметі

Сәйкестендіру функциясы

Кубтық функция

Экспоненциалды функция

Логарифмдік функция

Абсолюттік мән функциясы

ФУНКЦИЯ ЖӘНЕ ОНЫҢ ТҮРЛЕРІ,ОЛАРДЫ ЕСЕПТЕП ШЫҒАРУ ТЕОРЕМАЛАРЫ

Жоспар

1.Функцияны және оның графигін зерттеу.....................................3

Функция графигінің асимптоталары............................................5

3.Көп айнымалылы функция ұғымы, оның шегі, үздіксіздігі..........6

4.Көп айнымалылы функцияның дифференциалдануы және дербес

туындылары................................................................................9

5.Екі айнымалылы функцияның экстремумдары...........................11

Қолданған әдебиеттер тізімі........................................................14

Функцияны және оның графигін зерттеу

Дифференциалдық есептеулердің маңызды есептерінің бірі функцияны зерттеудің жалпы амалдарын қарастыру болып табылады.

у=ƒ(х)функциясы қандай да бір интервалда өспелі (кемімелі) деп аталады, егер х1<х2 үшін ƒ(х1)<ƒ(х2)(ƒ(х1)>ƒ(х2))теңсіздігі орындалса, яғни аргументтің үлкен мәніне функцияның үлкен мәні сәйкес келсе.

Функцияның өсу белгілерін атапөтейік.

1. Егер [а;b] кесіндісінде дифференциалданатын y=ƒ(x)функциясы өспелі (кемімелі) блса, онда осы кесіндіде функцияныңтуындысы теріс емес (оңемес), ягни f΄(x)> 0 (f΄(х)<0).

2.Егер [a;b] кесіндісінде үздіксіз және оныңішінде дифференциалданатын функцияныңоң(теріс) туындысы бар болса, онда функция осы кесіндіде өседі (кемиді).

y=f(x) функциясы қандай да бір интервалда кемімейтін (өспейтін) деп аталады, егер осы интервалдан алынған кез-келгенх1<х2 үшінƒ(х1) ≤ƒ(x2)(ƒ(х1)≥f(x2))теңсіздігі орындалса.

Функция кемімейтін немесе өспейтін интервалдар функцияның монотондық интервалдары деп аталады. Функцияның туындысы нөлге айналатын немесе үзілетін нүктелері оның кризистік нүктелері деп аталады.

Егер кез-келген |Δх|≠0 шексіз аз үшін f(x1+Δx)ƒ(x2)х2 теңсіздігі орындалса, онда х2 ннүктесі у=f(x)функциясының локальды минимум нүктесі деп аталады. Максимум және минимум нүктелері функцияның экстремум нүктелерідеп аталады.

Теорема 1 (локальды экстремумның қажетті шарты). Егер y=f(x)функциясыныңх=х0 нүктесінде экстремумы бар болса, ондаƒ΄(х0)=0 немесе f(x0)жоқ.

Теорема 2 (локальды экстремумның бірінші жеткілікті шарты). y=f(x)функциясы х=х0 нүктесі жататын қандай да бір интервалда үздіксіз және осы интервалдыңбарлықнүктелерінде дифференциалдансын. Егер х<х0 болғанда f(x)>0, ал х>х0 болғанда f(х)<0болса, онда х=х0 нүктесінде у=f(x)функциясыныңмаксимумы бар. Егер де х<х0 болғанда f(x)<0, алх>х0болғанда f(x)>0 болса, онда х=х0 нүктесінде y=f(x)функциясыныңминимумы бар.

Теорема 3 (локальды экстремумның екінші жеткілікті шарты).y=f΄(x)функциясы екі рет дифференциалдансын және f(х0)=0болсын. Онда х= х0нүктесінде функцияныңлокальды максимумы бар, егер f"(х0)<0 және локальды минимумы бар, егерƒ"(х0)>0болса.

f"(х0)=0болса, онда х=х0 нүктесінде экстремум болмауы да мүмкін.

Функция графигінің асимптоталары.

y=f(x)функциясымен берілген қисық (a; b)интервалында дөңес деп аталады, егер қисықтың барлық нүктелері осы интервалдағы оның кез-келген жанамасынан жоғары жатпаса және (а;b)интервалында ойыс деп аталады, егер қисықтың барлық нүктелері осы интервалдағы оның кез-келген жанамасынан төмен жатпаса.

Қисықтың дөңес бөлігін ойыс бөлігінен бөліп жататын М(х0, f(x0))нүктесі қисықтың иілу нүктесі деп аталады. М нүктесінде қисықтың жанамасы бар деп есептеледі.

Теорема (функция графигінің дөңестігінің (ойыстығының) жеткілікті шарты). Егер (а;b)интервалының барлық нүктелерінде y=f(x) функциясының екінші туындысы теріс (оң), яғни f"(x)<0 (f"(x)>0)болса, онда y=f(x)қисығы осы интервалда дөңес (ойыс).

Теорема (иілу нүктесінің жеткіліктілік белгісі). Егер х=х0нүктесінде ƒ"(х0)=0немесе ƒ"(х0)жоқ болса және осы нүктеден өткенде f"(x)өзінің таңбасын өзгертсе, онда абсциссасы х=х0 болатын нүкте y=f(x)қисығының иілу нүктесі.

L түзуі y=f(x)қисығының асимптотасы деп аталады, егер қисықтың М нүктесінен L түзуіне дейінгі қашықтық М нүктесі шексіздікке ұмтылғанда нөлге ұмтылса.

Егер х=хi (і=1,...,п) нүктелері бар болып

lim f(x)= ±∞, болса, онда х= хi түзулері у=ƒ(х)қисығының тік

(вертикаль) асимптоталары деп аталады.

Егер ƒ(х)

k= lim—— , b= lim (ƒ(х)-kх),шектері бар болса, онда

х→∞ х х→∞

Жаратылыстанудың көптеген мәселелерін қарастырғанда, айнымалылар арасында біреуінің бірнеше айнымалыға тәуелді болатын жағдайлары жиі кездеседі. Мәселен, қабырғалары хжәне у болыпкелген төртбұрыштың ауданы х және у айнымалыларыныңмәндері арқылы анықталады, ал қабырғаларының ұзындықтыры х, у, z- тік параллепипедттіңкөлемі х, у және zүш тәуелсіз айнымалылардың мәндеріне байланысты анықталады.

Мысал есептер;

жүргізілген жанаманың бұрыштық коэффициентін табыңыз.

Шешуі:

f(x)=x² функциясынан:

f ʹ(x)=2х

f ʹ(xₒ)=f ʹ(1)=2·1=2

f ʹ(1)=tgα=2

α=arctg2
2-мысал: f (x)=x²-5x+6 функциясының xₒ=1 нүктесіндегі жанаманың теңдеуін жазыңыз.

f (xₒ) =f(1)=1²-5·1+6=2.

-2х= у-6