Гармоникалық тербелістердің теңдеулері мен графиктері

Тербелмелі нүктенің ығысуының уақытқа тәуелділігін өрнектейтін формуланы тербелмелі қозғалыстың теңдеуі деп атайды. Ол гармоникалық тербеліс теңдеуімен сипатталады.

 

   (11)

мұндағы:   - тербелмелі қозғалыстың дөңгелек немесе циклдік жиілігі.

 

 немесе 

өрнектермен өрнектелетін болғандықтан фазалық бұрыш үшін

Осы өрнектерден фазаның радиандарымен берілген сан мәнінің периодтың t/T үлесіндегі мәнінен айырмашылығы тұрақты   көбейткіште ғана болады.

Уақытты санауды кез-келген уақыт мезетінен 7 суретте келтірілген. С нүктесінің шеңбер бойымен қозғалысын қарастырайық.

4-сурет

Бұл жағдайда нүктенің бастапқы қалпы бастапқы фаза   бұрышпен сипатталады. Сонда тербелістің фазасы

немесе   

Жоғарыдағы (11) теңдеуге бағынатын тербелісті косинусоидалық (cинусоидалық) тербелістерден деп атайды. Физикада ығысулары синусоидалық (косинусоидалық) заңға бағынатын тербелістерді гармоникалық (қарапайым) тербелістер деп атайды. Ығысу шамасына пропорционал болатын жалғыз ғана қайтарғыш күштің әсерінен болатын тербелістер гармоникалық болып табылады.

 

 (14)

 

 (15)

мұндағы   ,   -жылдамдық пен үдеу амплитудалары.

5 – сурет

Сондықтан х=0 болғанда   ең үлкен мәнді, ал х теріс ең мәнге ие болғанда   ең үлкен оң әнді қабылдайды.

Жоғарыдағы (15) өрнегінен гармоникалық тербелістің дифференциалдық теңдеуі:

 

 (16)

бұл теңдеудің шешуі

Кейде гармоникалық тербелісті айналмалы вектор амплитудасы арқылы кескіндеп сызба (график) түрінде көрсетеді (6-сурет).

6- сурет

х осінің бойынан О нүктесін аламыз, төбесі О-да жататын және осьпен   бұрыш жасайтын ұзындығы х м-ге тең   векторын саламыз. Егер оны   жылдамдықпен айналысқа келтірсек, онда вектор ұшының осьтегі проекциясы амплитудасы вектордың модуліне,дңгелек жиілігі вектордың айналуының бастапқы фазасы вектордың алғашқы мезетте жасаған бұрышына тең болатындай   гармоникалық тербеліс жасайды. Демек, гармоникалық тербелісті модулі тербеліс амплитудасынаа тең, ал вектордың бағыты х осімен тербелістің   фазасына тең диаграмма арқылы кескіндеуге болады.

Физикада әдетте амплитуда векторы айналмалы әдістің орнына тербелмелі қозғалысты комплекс сан ретінде бейнелейді.

Комплекс саны үшін Эйлер формуласы

 

 (17)

мұндағы   бірлік. Сондықтан гармоникалық тербелістің (11) теңдеуін экспоненциалды өрнек түрінде

Бұл (18) өрнектің вещ.часть

гармоникалық тербелісті сипаттайды.

Материалдық нүктенің түзусызықты гармоникалық тербелісінің кинетикалық энергиясы

 

 (19)

немесе

Серпімді   күштің әсерінен гармоникалық тербеліс жасайтын материалдық нүктенің потенциалдық энергиясы

Толық энергия

 

Бұл (20) және (21) теңдеулерден кинематикалық энергия мен потенциалдық энергиялардың жиілігі (   ), яғни гармоникалық тербеліс жиілігінен екі есе көп болады (7 сурет). Өйткені   , онда (19) және (21) теңдеулерінен