Геометриялық софизм

Таңатар А.М.

1823 жыл орыстық ұлы математигі өзінің геометрия оқулығында жазған бұл шындықтың қатаң дәлелі әлі табылмаған, олардың берілген түрлері тек түсінік деп аталады,бірақ геометриялық дәлелдеулер толық мағыналы күйінде беріле алады.Осы дәлелдеулердің қателігіне қарамастан,олар геометрияның дамуына үлкен үлес қосты.Геометриялық теоремалар арасындағы байланыстар жүйелі анықталды. Бұл дәлелдеулер Евклидтік емес геометрияны құруда барлық математиканың және геометрия жетістіктің бірін дайындап шықты деуге толық негіз бар.Жаңа геометрияның жобасының құрылу мәртебесі екі ұлы математикке Н.И. Лобачевскийге және венгр математигі Янош Бойянге бұйырды, Н.И. Лобачевский параллель түзулердің аксиомасын өзі дәлелдемекші болады,бірақ оның мүмкін еместігін түсінеді.1826 жыл ол параллельділердің аксиомасынан шығатын мақұлдау геометрияның қалған аксиомаларымен де дәлелденбейді деген шешімге келді.Лобачевский бұған көз жеткізді,және оны жаңа геометрияны жасау жолына әкеді. Бұл салы математика ғылымына қосылған ең үздік үлестердің бірі болды. Осы сияқтыларға бірнеше мысал кетіруге болар еді. Геометрияны оқып ,зерттеп жатқандарға софизмнің пайдасы қандай?Олардың қандай ерекшеліктері бар?Логилалық ойлау,яғни дұрыс ойлау дағдыларын софизмді талқалағанда көруге болады.Софизмде қатені көріп қалу оны сезіну,ал оны сезіну геометриялық талқылаудың басқаларында оның қайталмаудың алдын алады.Егер жас бала ыстық затқа қолын тигізіп,күйіп қалса ,онда ол екінші рет қайталамайды,келесі жолы ол барынша сақ болады.Сол сияқты математиканы оқып,үйренуші де ақырында барынша сақ болады.Кейін асқан маңыздылығы бар софизмді талдау геометриялық материялды саналы түрді меңгеруге көмектеседі,оқып зерттеліп жатқанға деген сыншыл қатынаста байқағыштықты,ойлампаздықты дамытады. Геометриялық софизмдер тыңғылықты алға жылжуға,тұжырымдардың нақтылығын ұқыптылықпен қадағалау , сызбалардың және жазбалардың дұрыстылығын жорамалды талдап қорытумен орындалып жатқан операциялардың заңдырығына дағдыландырады. Осының бәрі қажетті де, манызды.Ақырында софизмді талдау қызықты көрінеді.Бірақ ең қатып қалған адамды ғана қызықты софизм еліктірмейді. Геометриялық софизмде қатені табу және соның құқығындағы ақиқатты қайта құру сияқталарды жай жағдай туғызады.Софизм неғурлым ауыр болса,оның нәтижесі соғурлым қанағаттандырады.

1) Нүкдеден түзүге екі перпиндикуляр түсіруге болады.

Түзуден тыс нүкте арқылы түзуге екі перпендикуляр жүргізуге болады дегенді дәлелдеп көреік.Осы мақсатта АВС үшбүрышын алып қарастырайық.

Осы ∆- тың АВ және ВС қабырғаларының диаметрлері етіп алып жарты шеңбер жүргіземіз.Жарты шеңберлер АС қабырғаларымен Е және Д нүктелерінде қиылыссын. Е және Д нүктелерін В нүктесімен қосайық.АЕВ бұрышы іштей сызылған бұрыш ретінде диаметрге тірелетін бұрыш; ВДС бұрышы екінші диаметрге тіреледі. Олай болса ВЕ перпендикуляр АС және ВД перпендикуляр АС.Сонда В нүктесі арқылы АС түзуіне екі перпендикуляр өтеді. Қате қайда?Тиянақтау қате сызбаға байланысты жүрғізілген.Екі жарты шеңбер АС қабырғасында бір нүктеде қиылысады және ВЕ және ВД беттеседі, бұл мүмкін емес.

2) Түзудін бойынан алынған нүкте арқылы осы түзуге екі перпендикуляр жүргізуге болады(екеуі бір жазықтықта жатыр).Бұндай дәлелдеудегі қатені тап. АОВ тікбұрышын алайық.

О нүктесі арқылы бұрыштан іштей кез-келген сәуле жүрігіземіз және О нүтесінен ОN кесіндісін аламыз.Осы кесідінің ортасынан О және N нүктелерін басып өтетіндей ,сырттай шеңбер жүргіземіз.АО нүктесіне параллель түзуіне N нүктесі арқылы өткізеік. Бұл түзу Д нүктесідегі шеңберді қиып өтсін.

О және Д нүктелерін кесінді арқылы қосайық.NД параллель АО боғандықтан ОДN бұрышы, диаметрге тірелетін бұрыш болса, онда ДОА бұрышыда түзу.Сондықтан ОВ перпендикуляр АО және ОД перпендикуляр АО.Қате қайда?Д € ОВ.

3) Тік бұрыш доғал бұрышка тең.Бұны дәлелдеу үшін мынандай сызба жүргізеік. АВ кесіндісін алайық оның ұштары А мен В –ға тік және доғал бүрыштар саламыз.Бұлардын ұштарынан,төбелерінен,тең АД және ВС кесіндісін аламыз.

АВ мен ДС кесінділерін тең екіге бөліп,бөліну нүктелері арқылы екеуіне перпендикуляр жүргіземіз.

АВ және ДС параллель емес болғандықтан , бұл О нүктесінде қиылысады.

О нүктесін А,В,С,Д кесінді нүктелерімен косамыз.

│АО│=│ОВ│, │АД│=│ВС│, │ДО│=│СО│ болғандықтан АОД және ВОС үшбұрыштары тең,және ОАД бұрышы = ОВС бұрышы, бірақ ЕАОбұрышы =ЕВО бұрышы,сондықтан ДАЕ бұрышы=СВЕ бұрышы яғни тік бұрыш доғал бұрышка тең. О нүктесі АВ немесе АВ-дан төмен жатқан жағдай мына суретке қарастырылған.Бұдан шыққан нәтиже өзгермейді:тік бұрыш доғал бүрышка тең.

4) Кез келген үшбұрыш тең бүйірлі бола алатын дәлелдеу.

Кез келген АВС үшбұрышын алайық.А бұрышы биссиктрисасы мен ВС-ның орта перпендикулярын жүргізейік.Олардың қиылысу нүктесі – Р және осы Р-дан РК және РN Перпендикулярлар жүргізейік. Р-ны В-мен , С-мен қосамыз , сонда:

А)∆ АКР мен ∆ ANP –ны қарастырамыз , олар өзара тең , осыдан АК=АN.(1)

б)∆ВКР мен ∆CNP –ны қарастырамыз.Бұлар өзара тең , одан КВ=NC .(2)

(1) мен (2) мүшелеп қоссақ , АВ=АС болады. Ендеше кез келген үшбұрышын тең бүйірлі болатыны дәлелденді.Қатені тап?

1. 
   Нагибин Ф.Ф. , Канин Е. С. Математическая шкатулка.Просвещение 1998.