И. В. Раскина Логика для всех: от пиратов до мудрецов Издание третье, стереотипное
жүктеу/скачать 1.3 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Ответ. 889. 172 Д55.
| Д54. Подсказка. Чтобы лучше разобраться в этой до-
вольно сложной задаче, решим для начала аналогичную для трех мудрецов и чисел от 1 до 10. Пусть палач обошел всех по три раза, а в начале четвертого обхода первый муд- рец сказал, что наибольшее число у него. Запишем по порядку утверждения про числа, соответ- ствующие высказываниям мудрецов. 1 мудрец: «У меня не 10». 2 мудрец: «У меня не 10». 3 мудрец: «У меня не 10 и не 9». 1 мудрец: «У меня не 9». 2 мудрец: «У меня не 9 и не 8». 3 мудрец: «У меня не 8». 1 мудрец: «У меня не 8 и не 7». 2 мудрец: «У меня не 7». 3 мудрец: «У меня не 7 и не 6». 1 мудрец: «У меня 6, и это самое большое число». Решение. До того, как первый мудрец сказал, что его число максимальное, мудрецы успели сделать 1000 вы- сказываний. В первых 9 утверждалось только, что у со- ответствующего мудреца не 1000, в следующих 9 — что не 999 (при этом в первом из этих следующих дополнитель- но утверждалось, что и не 1000), в следующих 9 — что не 998 (при этом в первом из этих следующих дополнительно утверждалось, что и не 999). Разделим 1000 на 9, полу- чим в частном 111 и в остатке 1. Это означает, что в 999-м высказывании девятый мудрец утверждал, что у него не 890, в 1000-м десятый мудрец сообщил, что у него не 890 и не 889. До этого остальные уже успели сказать, что у них не 890. Поскольку этого как раз хватило первому муд- рецу, чтобы понять, что его число — максимальное, этим числом было 889. Ответ. 889. 172 Д55. Какие выводы можно сделать из первой фразы А? Во-первых, известное ему произведение P не является про- изведением двух простых чисел p 1 и p 2 (иначе разложение 1 · p 1 · p 2 было бы единственным). Во-вторых, если произ- ведение трех различных натуральных чисел не превосхо- дит 50, то их сумма не превосходит 1 + 2 + 25 = 28. А раз число, которое сообщили математику А, могло бы быть и суммой трех чисел, оно не больше 28. С другой стороны, P не меньше 21. Действительно, если бы P было меньше 21, то были бы возможны как минимум два варианта троек чисел с суммой P : 1 + 2 + (P − 3) (произведение не больше 1 · 2 · 17 = 34) и 1 + 3 + (P − 4) (произведение не больше 1 · 3 · 16 = 48). Есть только два числа, соответствующие первой фразе А: 24 и 28. 24 = 1 · 2 · 12 = 1 · 3 · 8 = 1 · 4 · 6 = 2 · 3 · 4 (суммы соот- ветственно 15, 12, 11 и 9); 28 = 1 · 2 · 14 = 1 · 4 · 7 (суммы соответственно 17 и 12). Ответ Б «Я все равно не знаю их» означает, что извест- ная ему сумма встречается среди этих вариантов более од- ного раза, т. е. равна 12. Если А сообщили число 24, то он сделает вывод, что задуманы числа 1, 3 и 8. А если ему сообщили число 28, то он поймет, что задуманы числа 1, 4 и 7. Д56. Зная номера троих других a < b < c, математик по- нимает, что его номер равен либо a + b + c, либо c − a − b. Раз математик не смог определить свой номер, оба этих выражения должны давать двузначное число (то есть ле- жать в пределах от 10 до 99) и не совпадать с другими номерами. Пусть 10 6 x < y < z < t 6 99 — искомые номера, тогда t = x + y + z. Поскольку математик с номером t знает чис- ла x < y < z, число z − x − y двузначно и отлично от x и y. Но тогда z = x + y + (z − x − y) > 10 + 11 + 12 = 33. Заме- тим еще, что t = z + y + x > z + 11 + 10, то есть t > z + 21. Математик с номером x знает числа y < z < t, значит, 173 y + z + t 6 99. Сложив это неравенство с неравенствами 11 6 y и z + 21 6 t, получим 2z 6 67, откуда z 6 33. Зна- чит, z = 33. Далее, t = x + y + z > 10 + y + 33 = 43 + y, поэтому 99 > y + z + t > y + 33 + (43 + y) = 76 + 2y. Отсю- да 2y 6 23, то есть y 6 11. Значит, y = 11, x = 10, z = 33 и t = 10 + 11 + 23 = 54. Нетрудно убедиться, что этот набор удовлетворяет условию. жүктеу/скачать 1.3 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|