Задача 6 ∗ . Конечно или бесконечно множество простых чисел? Задача 7

2) Марья Ивановна видит, что Петя не поднимает руку. «Ага, зна-
чит, он к уроку не готов. Вот сейчас вызову и двойку поставлю!» —
думает коварная Марья Ивановна. Верно ли она рассуждает?
Задача 9. В вершинах куба расставлены числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8. Докажите, что есть ребро, числа на концах которого отличаются не
менее чем на 3.
Задача 10. Десять друзей послали друг другу праздничные открыт-
ки, так что каждый послал пять открыток. Докажите, что найдутся
двое, которые послали открытки друг другу.
Задача 11. Можно ли в кружочках расставить все цифры от 0 до
9 так, чтобы сумма трех чисел на каждом из шести отрезков была бы
одной и той же?
Задача 12. Двое играют в игру «Щелк!». У них есть прямоугольная
шоколадка, разделенная на дольки. Левая нижняя долька отравлена.
Ходят по очереди. За ход можно съесть произвольную дольку и все на-
ходящиеся справа и сверху от нее. Съевший отравленную дольку про-
игрывает. Докажите, что у первого игрока есть выигрышная стратегия
на любой прямоугольной шоколадке, в которой больше одной дольки
(предъявлять стратегию не обязательно).
Задача 13. Круг разбит на 25 секторов, пронумерованных в произ-
вольном порядке числами от 1 до 25. В одном из секторов сидит куз-
нечик. Он прыгает по кругу, каждым своим прыжком перемещаясь по
часовой стрелке на количество секторов, равное номеру текущего сек-
тора. Докажите, что в некотором секторе кузнечик не побывает нико-
гда.
Задача 14. 1) Несколько мальчиков стали в ряд, при этом разница
в росте между двумя соседними не более 10 см. Потом их построили по
росту. Докажите, что и теперь разница в росте между двумя соседними
мальчиками не более 10 см.
2) На уроке танцев 15 мальчиков и 15 девочек построили двумя
параллельными колоннами, так что образовалось 15 пар. В каждой па-
ре измерили разницу роста мальчика и девочки (разница берется по
абсолютной величине, то есть из большего вычитают меньшее). Мак-
симальная разность оказалась 10 см. В другой раз перед образованием
192

пар каждую колонну предварительно построили по росту. Докажите,
что максимальная разность будет не больше 10 см.
Задача 15. Найдите ошибку в рассуждении.
Докажем от противного, что ленивых учеников больше, чем при-
лежных. Предположим, что прилежных не меньше, чем ленивых.
Несомненно, ленивых учеников больше, чем надо. Значит, получает-
ся, что прилежных учеников тем более больше, чем надо?! С этим мы,
учителя, согласиться никак не можем. Получили противоречие, зна-
чит, исходное предположение было неверно, и на самом деле ленивых
учеников больше, чем прилежных.
193

жүктеу/скачать 1.3 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: