Интерполяциялаушыфункци я деп аталады. Соңғы аталған функция көбінесе алгебралық полином болғандықтан, оны кейде интерполяциялаушы полином
§2 Алгебралық полиномдар арқылы интерполяциялау
жүктеу/скачать 17.85 Kb.
|
1 2
stud.kz-37703- Бұл бет үшін навигация:
- Лагранждың интерполяциялық полиномы
- Лагранждың интерполяциялық формуласы және оның қалдық мүшесі
| §2 Алгебралық полиномдар арқылы интерполяциялау.
2.1 Лагранждың интерполяциялау полиномы. Айталық, жүйесі о(x)=1 1(x)=х 2(x)=х2,…, n(x)=xn функциясынан құралған болсын . Бұл жағдайда (x)= сызықтық комбинация n дәрежелі полином болады. (x)= Ln(x)= Онда 1. 2 жүйесі төмендегіше жазылады. 2.1 Бұл жүйенің ∆ (х0, х1, ...,хn )= =П(хk-xm) ≠ 0 m ≥ k > n ≥ 0 анықтауышы- белгілі Вандерммонда анықтауышы. Оның мәні х0, х1, ...,хn сандары әр түрлі болғанда 0 тең емес, яғни 2. 1 жүйесінің бір ғана шешімі бар. Демек, 1.1 шартын қанағаттандыратын (x)= Ln(x)= = f(xo) интерполяциялаушы алгебралық полином әр уақытта бар. Мұндағы Фк(х) (k = 0, 1, 2, …,n) функциялары 1.6 шартын қанағаттандыруы тиіс болатын. Ол үшін оларды мына түрде Ф алса жеткілікті екенін дәлелдеу қиынға соқпайды. Демек, (x)= Ln(x) = 2.2 Әдетте (2. 2) полиномын Лагранждың интерполяциялық полиномы деп атайды. Келешекте (n+1) - дәрежелі полиномын жиі пайдаланамыз. Ол полином үшін Сондықтан деп жазуға болады. Осы өрнектерді пайдаланып, Лагранж интерполяциялық басқаша түрде жазамыз: (2.3) Мысал. аралығының нүктелерінде мәндерін қабылдайтын Лагранж интерполяциялық полиномын құру керек дейік. Ш е ш у і. Жоғарыдағы (2.2) формуласы бойынша Лагранждың интерполяциялық формуласы және оның қалдық мүшесі. Айталық, аралығында y=f(x ) функциясының (к = 1,2, ..., n+1) үзіліссіз туындылары бар болсын. Осы ұйғарымды пайдаланып, айырымын бағалаймыз. Құру бойынша полиномы - тораптары бойынша құрылған Лагранждың интерполяциялық полином. Олай болса ал кез келген үшін жалпы жағдайда болады. Мынадай функциясын қарастырайық. Ол үшін болатыны анық. Енді аралығының кез келген х нүктесінде айырымын бағалау керек болсын. Әуелі функциясындағы R коэффициентін шарты орындалатындай етіп аламыз. Ол үшін деп алсақ жеткілікті. Сонда R коэффициентін осы түрде алғанда функциясы аралығының нүктелерінде (n+2) рет нөлге тең болады. Онда Ролль теоремасы бойынша аралығында функциясының туындысы (n +1) рет, туындысы n рет, -( n-1) рет, т. с. с. нөлге тең екені белгілі. Осылай талқылауды жалғастыра берсек, туынды аралығының бір нүктесінде нөлге тең деген тұжырымға келеміз. Яғни Бұдан R – ді анықтаймыз: R = Сонымен Бұл формуланы – Лагранждың интерполяциялық формуласы деп атайды, ал оның қалдық мүшесі былайша анықталады: (3.4) Айталық, аралығында (3.5) шарты орындалсын. Онда Лагранж формуласының қалдық мүшесін төмендегіше бағалаймыз. (3.6) Соңғы бағалауды жақсартуға болмайды, себебі (n+1)- дәрежелі полином үшін (3.6) теңсіздігінде теңдік белгісі орындалады. Интерполяциялануға тиісті y=f(x ) функциясының уо,у1,..., уn мәндері кейде дәл берілмей, жуық шамалармен берілуі мүмкін. Сондықтан интерполяциялаушы функцияны құру кезінде тиісті қателік пайда болу сөзсіз және ол теңдігімен анықталады. Мұндағы - жуық шамамен берілген мәндер бойынша құрылған интерполяциялық полином. Егер - Лагранж интерполяциялық полиномы болса, онда теңдігі орындалады. Бұл жағдайда шамасы Лагранждың интерполяциялық полиномының абсалют қателігі болады. Бұдан мынадай теңдік аламыз: Мұндағы ПАЙДАНАЛЫНҒАН ӘДЕБИЕТТЕР. Ө. СҰЛТАНҒАЗИН, С. АТАНБАЕВ Есептеу әдістерінің қысқаша теориясы. Алматы «Білім» 1995. Б. ЖАҢБЫРБАЕВ. Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика элементтері. Алматы 1990. жүктеу/скачать 17.85 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|
1 2