Требования к оформлению обоснования в форме автореферата по теме
исследования на казахском или русском языках.
1. Тема исследования должна соответствовать профилю специальности.
2. Текст обоснования следует печатать через 1 интервал, соблюдая следующие размеры полей: правое - 10мм, верхнее - 20мм, левое - 30мм, нижнее - 20мм. Страницы нумеровать арабскими цифрами, соблюдая сквозную нумерацию по всему тексту. Номер страницы проставляют в центре нижней части листа без точки.
3. Объем - до 1 печатного листа (16 страниц).
4. Структура обоснования:
- постановка проблемы;
- анализ последних публикаций и исследований, нерешенная часть проблемы;
- обоснование необходимости проведения данной научно-исследовательской работы, актуальность и новизна темы;
- формулировка объекта, предмета, гипотезы, цели и задач исследования;
- ожидаемый результат, практическая значимость исследования для
Республики Казахстан.
Требования к оформлению обоснования в форме автореферата по теме
исследования на казахском или русском языках.
1. Тема исследования должна соответствовать профилю специальности.
2. Текст обоснования следует печатать через 1 интервал, соблюдая следующие размеры полей: правое - 10мм, верхнее - 20мм, левое - 30мм, нижнее - 20мм. Страницы нумеровать арабскими цифрами, соблюдая сквозную нумерацию по всему тексту. Номер страницы проставляют в центре нижней части листа без точки.
3. Объем - до 1 печатного листа (16 страниц).
4. Структура обоснования:
- постановка проблемы;
- анализ последних публикаций и исследований, нерешенная часть проблемы;
- обоснование необходимости проведения данной научно-исследовательской работы, актуальность и новизна темы;
- формулировка объекта, предмета, гипотезы, цели и задач исследования;
- ожидаемый результат, практическая значимость исследования для
Республики Казахстан.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН
КАЗАХСТАНСКО-БРИТАНСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Докторантура
«УТВЕРЖДАЮ»
Проректор по науке
_______________ Торгаев Р.А.
«_____» __________________2014г.
ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА
ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ДОКТОРАНТУРУ
ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ 6D070500
«МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ»
Алматы, 2014
Казахстанско-Британский технический университет
Кафедра Высшей математики и кибернетики
«Утверждаю»
Зав.кафедрой Даирбеков Н.С.
____________________ФИО
(подпись)
«____»______________2014г.
ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА
ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ДОКТОРАНТУРУ
ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ 6D070500
«МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ»
Алматы, 2014
Программа вступительного экзамена для поступающих в докторантуру по специальности 6D070500 «Математическое и компьютерное моделирование» разработана на кафедре «Высшая математика и кибернетика» в соответствии с государственным общеобязательным стандартом образования Республики Казахстан по специальности 6D070500 «Математическое и компьютерное моделирование». Докторантура.
Обсуждено на заседании кафедры Высшей математики и кибернетики
Протокол №__ от __ июня 2014 г.
Заведующий кафедрой Н. С. Даирбеков
Составители:
Мейрманов А.М.
д.ф-м.н., профессор
Пенкин О.М.
д.ф-м.н., профессор
Содержание
-
Цели и задачи вступительного экзамена по специальности «Математическое и компьютерное моделирование»
Цель программы – сформулировать у лиц, способных и желающих приобрести высшую квалификацию в области математического и компьютерного моделирования, запас знаний, достаточный для быстрой и квалифицированной переработки фундаментальных теоретических исследований и получения новых результатов в процессе практической работы над теми или иными проблемами моделирования физических процессов.
Форма приема экзамена – устная.
-
Требования к уровню подготовки лиц, поступающих в докторантуру по специальности «Математическое и компьютерное моделирование»
К освоению программы допускаются: Специалисты, имеющие академическую степень магистра, ученую ступень не ниже кандидата наук.
Поступающий должен быть подготовлен к обучению в докторантуре, а также к исследовательской деятельности в области математического и компьютерного моделирования. Поступающий должен владеть разнообразным арсеналом современных методов исследования, включая использование специализированных компьютерных программ для проведения разнообразных вычислений. Кроме того, поступающий должен владеть следующими научно-методологическими навыками и умений:
-
формулировать проблему, цель и задачи исследования;
-
выбирать адекватные задачам методы исследования;
-
вести информационно-аналитическую и информационно-библиографическую работу с привлечением современных технологий;
-
анализировать собранную информацию и объяснять полученные результаты;
-
представлять итоги проделанной работы в виде отчетов, рефератов, статей, оформленных в соответствии с современными требованиями.
3. Перереквизиты образовательной программы: Линейная алгебра, аналитическая геометрия, математический анализ 1, 2, 3, дифференциальная геометрия, дифференциальные уравнения, уравнения математической физики.
4. Наименование дисциплин и их основные разделы
«Математический анализ»
-
Числовые последовательности и свойства сходящихся числовых последовательностей
-
Пониятие функций . Предел функций и непрерывность функций.
-
Свойства непрерывных функции на отрезке
-
Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши .
-
Формула Тейлора для функции одной переменной
-
Пониятие определенного интеграла
-
Теорема о среднем для определенного интеграла
-
Фунциональные и степенные ряды.
-
Криволинейные и поверхностные интегралы. Формула Грина.
-
Метрическое пространство.Непрерывные отображения в метрическом пространстве.
-
Принцип сжимающих отображений в метрическом пространстве.
-
Линейное нормированное пространство. Примеры.
-
Банаховы и гильбертовы пространства. Примеры
-
Линейные операторы. Обратные операторы и их свойства.
«Численные методы»
-
Прямые методы решения СЛАУ. Метод Гаусса. Существование и устойчивость решении . Метод квадратичных корней. Метод Холецкого. LU-разложение.
-
Общая схема решения СЛАУ итерационным методом. Метод Зейделя. Метод сопряжённых градиентов.
-
Интерполяционные формулы Ньютона, Гаусса, Стирлинга-Бесселя, Лагранжа. Оценки погрешности интерполяционных формул.
-
Оценка интеграла методом Монте-Карло. Общая схема метода Монте-Карло.
-
Разностные уравнения и их решения. Разностные сетки и сеточные функции. Конечно-разностные схемы. Аппроксимация, устойчивость, сходимость. Основная теорема (сходимость как следствие аппроксимации и устойчивости).
-
Существование решения краевых задач трехточечных разностных уравнении. Метод прогонки.
«Линейная алгебра»
-
Матрицы. Основные операции над матрицами и их свойства. Опредители и их свойства. Определитель суммы и произведения матриц. Понятие обратной матрицы.
-
Понятие линейного пространства и его базиса. Размерность подпространства.
-
Вешественное и комплексное Евклидово пространство, Неравенство Коши-Буняковского.
-
Понятие линейного оператора и их свойства. Собственые значения и собственые векторы линейных операторов. Сопряженные операторы и их свойства.
-
Унитарные и нормальные операторы.
«Аналитическая геометрия»
-
Понятие вектора и линейных операции над векторами. Линейные независимостьи, линейная зависимость системы векторов, базис, система аффинных координат, координата точки.
-
Уравнения линии на плоскости, расстояние от точки до прямой, взаиморасположение прямых на плоскости.
-
Уравнение линии в пространстве и их взаимные расположения в пространстве.
-
Поверхности второго порядка в пространстве, их общее уравнение и простое уравнение, классификация поверхностей второго порядка в пространстве.
-
Теорема о полярном разложении линейных операторов.
-
Теорема о спектральном разложении самосопряженных операторов.
-
Приведение матрицы к Жордановой форме.
«Дифференциальные уравнения»
-
Фундаментальные решений однородных дифференцальных уравнений n-го порядка с постоянными коэффициентами.
-
Неоднородное дифференцальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами.
-
Системы однородных линейных уравнений, свойства решении.
-
Формула Лиуви́лля-Острогра́дского.
-
Неоднородые линейные системы. Метод вариации постоянных.
«Уравнения математической физики»
-
Классификация уравнений в частных производных II порядка и их канонические формы.
-
Постановка задачи Коши и начально-краевых задач для гиперболических уравнений второго порядка. Общий вид решения для уравнения колебаний струны.
-
Постановка задачи Коши и начально-краевых задач для параболических уравнений второго порядка.
-
Принцип максимума для параболических уравнений.
-
Неоднородное уравнение теплопроводности, решение методом Фурье.
-
Общие свойства гармонических функций. Формулы Грина.
5. Перечень предполагаемых вопросов вступительного экзамена по приему в докторантуру по специальности «Математическое и компьютерное моделирование»
I блок
-
Теорема Больцано-Вейерштрасса и критерий Коши для числовых последовательностей .
-
Числовые последовательности и свойства сходящихся числовых последовательностей.
-
Понятие функций . Предел и непрерывность функций.
-
Свойства непрерывных функции на отрезке.
-
Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши .
-
Формула Тейлора для функции одной переменной.
-
Понятие определенного интеграла.
-
Теорема о среднем для определенного интеграла.
-
Числовые ряды. Сходимость числовых рядов их свойства.
-
Фунциональные и степенные ряды.
-
Необходимое усовие сходимости функциональных рядов.
-
Криволинейные и поверхностные интегралы. Формула Грина.
-
Метрическое пространство. Непрерывные отображения в метрическом пространстве.
-
Изометрия. Компактность в метрическом пространстве.
Пополнение метрического пространства. Принцип сжимающих отображений в метрическом пространстве.
-
Линейное нормированное пространство. Примеры.
-
Линейные функционалы.
-
Банаховы и гильбертовы пространства. Примеры.
-
Линейные операторы. Обратные операторы и их свойства.
-
Векторные функций со скалярными аргументами.
-
Огибающая семейства кривых, зависящих от параметра.
-
Длина дуги кривой. Кривизна кривой. Кручение кривой.
-
Элементарная поверхность. Общая поверхность. Регулярная поверхность. Особые точки на регулярной поверхности.
-
Касательная плоскость поверхности.
-
Длина кривой на поверхности. Угол между кривыми на поверхности. Площадь поверхности.
-
Кривизна кривой, лежащей на поверхности. Асимтотические направления. Асимптотические линии. Сопряженные напрвления.
II блок
-
Прямые методы решения СЛАУ. Метод Гаусса. Существование и устойчивость решении . Метод квадратичных корней. Метод Холецкого. LU-разложение.
-
Общая схема решения СЛАУ итерационным методом. Метод простой итерации. Метод Зейделя. Метод сопряжённых градиентов.
-
Интерполяционные формулы Ньютона, Гаусса, Стирлинга-Бесселя, Лагранжа. Оценки погрешности интерполяционных формул.
-
Разностные уравнения и их решения. Разностные сетки и сеточные функции.
-
Конечно-разностные схемы. Аппроксимация, сходимость и устойчивость. Сходимость как следствие аппроксимации и устойчивости.
-
Существование решения краевых задач трехточечных разностных уравнении. Метод прогонки.
-
Задача Коши для уравнений теплопроводности. Численные методы решения начально-краевых задач для уравнений теплопроводности.
-
Матрицы. Основные операции над матрицами и их свойства.
-
Опредители и их свойства.
-
Определитель суммы и произведения матриц. Понятие обратной матрицы.
-
Алгебраическое дополнение, ранг и миноры матрицы. Теорема о базисном миноре матрицы.
-
Общие методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.
-
Пониятие линейного пространства. Базис. Размерность подпространства.
-
Вешественное и комплексное Евклидово пространство, Неравенство Коши-Буняковского.
-
Линейный оператор и его свойства. Собственые значения и собственые векторы линейных операторов.
Сопряженные операторы и их свойства.
-
Унитарные и нормальные операторы.
-
Билинейные и квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
-
Понятие вектора и линейных операции над векторами. Линейно независимыем, линейные зависимые системы векторов, базис, система аффинных координат, координата точки.
-
Скалярное, векторное, смешанное произведения двух векторов.
-
Уравнения линии на плоскости, расстояние от точки до прямой, взаиморасположение прямых на плоскости.
-
Уравнение линии в пространстве и их взаимные расположения порядка в пространстве.
-
Уравнение плоскостей на трехмерных пространства и их взаимные расположения.
-
Поверхности второго порядка в пространстве, их общее уравнение и простое уравнение, классификация поверхносей второго порядка в пространстве.
-
Поверхности второго порядка в пространстве, классификация поверхностей второго порядка, классификация центральных поверхностей.
-
Теорема о полярном разложении линейных операторов.
III блок
-
Теорема о спектральном разложении самосопряженных операторов.
-
Приведение матрицы к Жордановой форме.
-
Основные понятия дифференциальных уравнений. Дифференциальные уранения с разделяющимися переменнными.
-
Однородные дифференциальные уранения. Линейные дифференциальные уранения первого порядка.
-
Теорема существования и единственности задачи Коши для дифференциального уравнения.
-
Полные дифференциальные уравнения, интегральный множитель.
-
Фундаментальная система решений однородного дифференцального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.
-
Неоднородное линейное дифференцальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами.
-
Общие свойства линейных дифференциальных уравнений, линейная зависимость и линейная независимость системы функций.
-
Системы однородных линейных дифференциальных уравнений, свойства решении.
-
Формула Лиувилля - Остроградского.
-
Неоднородые линейные системы дифференциальных уравнении. Метод вариации постоянных.
-
Классификация уравнений в частных производных II порядка и их канонические формы.
-
Постановка задачи Коши и начально-краевых задач для гиперболических уравнений второго порядка.
-
Общий вид решения для уравнения колебаний струны.
-
Задача Коши для волнового уравнения на пространстве R³, формула Кирхгофа.
-
Метод разделения переменных для волнового уравнения.
-
Постановка задачи Коши и начально-краевых задач для параболических уравнений второго порядка.
-
Принцип максимума для параболических уравнений.
-
Неоднородное уравнение теплопроводности, решение методом Фурье.
-
Граничные задачи для уравнений Лапласа. Принцип максимума.
-
Общие свойства гармонических функций. Формулы Грина.
-
Пусть метрика. Покажите, что функция определенная равенством также является метрикой.
-
Показать, что пространство непрерывных функций на отрезке не является Евклидовым (указание: положим .)
-
Пусть определена на промежутке . Применяя теорему о среднем значении для интеграла определить среднее значение данной функций в этом промежутке.
-
Показать, что функциональная последовательность не является фундаментальной в метрическом пространтсве .
-
Доказать, что любое нормированное пространство является метрическим пространством.
-
Оператор задаваемый формулой переводит пространство непрерывных на отрезке функции в себя, а также является в сжимающим отображением. Доказать.
-
Множество непрерывных функции на отрезке образует нормированное пространство, обозначим его через . Показать, что это пространство является полным пространством.
-
Последовательность {xn} такова, что ее подпоследовательности {x2n+1}, {x2n} сходятся. Верно ли, что сходится и сама последовательность {xn}?
-
Последовательность {xn} такова, что ее подпоследовательности {x2n+1}, {x2n}, {x3n} сходятся. Доказать, что тогда сходится и сама последовательность {xn}.
-
Пусть последовательность {xn} сходится, а последовательность {yn} получается из нее перестановкой. Доказать, что {yn} тоже сходится, причем к тому же пределу, что и исходная последовательность.
-
Функция f непрерывна на всей оси и удовлетворяет равенству 2f(x)=f(x/2) при всех x. Доказать, что f - тождественно нулевая функция.
-
Найти все α, модуль которых меньше двух, при которых найдется ненулевая непрерывно дифференцируемая на оси функция, удовлетворяющая равенству f(x)=αf(x/2) при всех x.
-
Функция f выпукла на всей оси и неположительна. Доказать, что она постоянна на оси.
-
Функции f и g дифференцируемы на оси и монотонны. Какие из следующих функций гарантированно будут монотонными: сумма, произведение, композиция этих функций.
-
Может ли сумма двух периодических функций быть непериодической.
-
Привести пример функции, отличной от постоянной, для которой каждое рациональное число является периодом.
-
Доказать, что на интервале (0;1) функцию sin(1/x) нельзя представить в виде разности двух неубывающих ограниченных функций, но можно на любом интервале (e;1) при положительном e.
-
Пусть f непрерывна на отрезке [a;b], который разбит на конечное число отрезков точками a=x0< x1<…n=b. Доказать, что можно выбрать точки xiÎ(xi-1; xi-1) так, что интеграл функции f по отрезку [a;b] равен интегральной сумме f(x1)Dx1+ f(x2)Dx2+… f(xn)Dxn. Доказать, что это верно и для функций f, имеющих первообразную на [a;b].
-
Привести пример функции, модуль которой интегрируем по Риману, но сама функция – нет.
-
Доказать, что функция f, принимающая нулевое значение в иррациональных точках и значение равное 1/q, в точках x=p/q, если эта дробь несократима, является интегрируемой по Риману на отрезке [0;1].
-
Разложить функцию f(x)=sin2x в ряд Фурье по стандартной тригонометрической системе на отрезке [-π;π].
-
Разложить в ряд Тэйлора по степеням x функцию arctg x. Определить радиус сходимости полученного ряда.
-
Функция f непрерывна на всей оси и для каждого положительного e существует такой полином P, что модуль разности f-P принимает значения, меньшие e. Доказать, что f – полином.
-
Полином P таков, что на его графике можно отметит четыре точки, являющиеся вершинами квадрата. Доказать, что его степень не меньше трех.
6. Список рекомендуемой литературы
Основная:
-
В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Основы математического анализа. Часть I. М. : «Наука» 1982. 616 С.
-
В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Основы математического анализа. Часть II. М.: «Наука» 1980. 447 С.
-
Б.В. Шабат. Введение в комплексный анализ. Часть I. М.: Издательство «Наука» 1982. 616 С.
-
А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. Элементы теории функций и функциольного анализа. М.: Издательство «Наука» 1976. 542 С.
-
А.В. Погорелов. Дифференциальная геометрия. М.: Издательство «Наука» 1974. 176 С.
-
Н. Ақанбай. Ықтималдықтар теориясы. (I – бөлім) Алматы: “Қазақ университеті”, 2001. 296 бет.
-
Н.Ш. Кремер. Теория вероятностей и математическая стахатистика. М.: “ЮНИТИ”, 2000. 544 с.,
-
Б.Е. Кангужин. Теория функций комплексного переменного. Лекции. Практические занятия. Тесты: Учебное пособие. Алматы: Қазақ университеті, 2007. 186 C.
-
С.А. Бадаев. Сызықтық алгебра мен аналитикалық геометрия. Алматы: “Қазақ университеті”, 2010. 258 бет.
-
В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Линейная алгебра. М.: «Наука» 1984. 294 С.
-
В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Аналитическая геометрия. М.: «Наука» 1971. 232 С.
-
А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть III. (Основные структуры). М.: Физматлит, 2001. 271 С.
-
Жүсіп Сүлеймен. Дифференциялдық теңдеулер курсы. Оқулық. Алматы: “Қазақ университеті”, 2009.- 440 б.
-
Н.М.Матвеев. Методы интегрироваия обыкновенных дифференциальные уравнений» 4-е изд .Минск: «Высшая школа». 1974. 768 С.
-
Ж.Ә. Тоқыбетов, Е.М. Хайруллин. Математикалық Физика теңдеулері. ҚазҰТУ, Алматы: 1995. 297 бет .
-
А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. Уравнения математической физики. М.: Издательство «Наука» 2004. 798 С.
-
Ө. Сұлтанғазин, С. Атанбаев. Есептеу әдістерінің қысқаша теориясы. 1-кітап (Қателіктер теориясы. Алгебралық теңдеулерді шешу әдістері және жуықтаулар) Алматы: «Білім». 1995. 272 бет.
-
Ө. Сұлтанғазин, С. Атанбаев. Есептеу әдістерінің қысқаша теориясы. 2-кітап (Дифференциялдық және интегралдық теңдеулерің сандық шешу әдістері) Алматы: «Білім». 2001. 287 бет.
-
Isaiah Lankham, Bruno Nachtergaele, Anne Schilling. Linear Algebra As an Introduction to Abstract Mathematics. Copyright c 2007 by the authors. pp. 246
-
С.А. Бадаев. Сызықтық алгебра мен аналитикалық геометрия. 1-бөлім.
-
С.А. Бадаев. Сызықтық алгебра мен аналитикалық геометрия. 2-бөлім.
-
С.А. Бадаев. Сызықтық алгебра мен аналитикалық геометрия. 3-бөлім. Сызықтық операторлар және шаршылық тұлғалар.
-
А.Ы. Омаров, П.Т. Досанбай, С.С. Заурбеков. Математикалық логика және алгоритмдер теориясының негіздері.
-
Ибрашев Х.И., Еркеғұлов Ш.Т. Математикалық анализ курсы. Алматы. Мектеп, Т.1,2. 1963-1970.
-
Жәутіков О.А. Математикалық анализ курсы. Алматы. Мектеп, 1958.
-
Ахметқалиев Е. Математикалық талдау. Алматы, РБҚ, 1997.
-
Бұлабаев Т., Матақаева Г. Математикалық талдау негіздері. Алматы, Қайнар, 1996.
-
Токибетов Ж.А., Хайруллин Е.М. Математикалык физика тендеулерi. Алматы, 1995.
-
Сахаев Ш.С. ,,Математикалық физика теңдеулері” Оқу құралы, ,,Қазақ университеті” 2007 ж. Көлемі-270 бет.
-
Орынбасаров М.О., Оршубеков Н.А. «Математикалық физика теңдеулері» Алматы, «ҚУ» 2009.-320 с.
-
Орынбасаров М.О., Сахаев Ш. «МФТ есептері мен жаттығулар жинағы». Алматы, «ҚУ» 2009.-230 б.
-
Сүлейменов Ж. Дифференциалдық теңдеулер курсы, Оқулық. Алматы, Қазақ университеті, 2009.- 440 б.
-
Қадыкенов Б.М. Дифференциалдық теңдеулердiң есептерi мен жаттығулары. Алматы, 2002.
-
Наурызбаев Қ.Ж., Нақты анализ, Алматы, “Қазақ университеті”,2004.
-
Темиргалиев Н.Т., Математикалық анализ, т. I-III, 1987,1991 ж.ж.
-
Колмогоров А.Н., Фомин С.В., Элементы теории функций и функционального анализа,-М.:Наука,1989
-
Люстерник Л.А.,Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа.- М.:”Высшая школа”,1982
-
Треногин В.А. Функциональный анализ.- М.:Наука,1967
-
Н. Ақанбай. Ықтималдықтар теориясы (I – бөлім) – Алматы.: “Қазақ университеті”, 2001. 296 бет.
-
Н. Аканбай Ықтималдықтар теориясының есептері мен жаттығуларының жинағы – Алматы,: “ Қазақ университеті”, 2004. 377 бет.
-
Н.Ақанбай. Ықтималдықтар теориясы (3-бөім). Алматы.: «Қазақ уни верситеті», 2007, 297 бет.
-
Н.Ақанбай. Ықтималдықтар теориясының есептері мен жаттығуларының жинағы (3-бөлім). Алматы.: «Қазақ университеті», 2007, 256 бет.
-
Н.Ақанбай. Ықтималдықтар теориясы (2-бөім). Алматы.: «Қазақ университеті», 2006, 368 бет.
-
Н.Ақанбай. Ықтималдықтар теориясының есептері мен жаттығуларының жинағы (2-бөлім). Алматы.: «Қазақ университеті», 2007, 332 бет
Дополнительная:
-
Треногин В.А., Писаревский Б.М., Соболева Т.С. Задачи и упражнения по фнкционалному анализу.- М.:Наука,1984
-
Иосида К., Функциональный анализ.- М.: “Мир”, 1967.
-
Канторович Л.В., Акилов Г.П Функциональный анализ.- М.: Наука,1984
-
Садовничий В.А. Теория операторов.-М.”Высшая школа”,2000.
-
Натансон И.П., Теория функций вещественной переменной, М.: Гостехиздат, 1957.
-
Севастьянов Б.А. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: «Наука», 1982. 256 с.,
-
Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей и математическая статистика. М.: «ЮНИНТИ», 1988. 448 с.,
-
Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: “ЮНИТИ”, 2000. 544 с.,
-
Агапов Г.И. Задачник по теории вероятностей. М.: “Высшая школа”, 1985. 112 с.
-
В.А. Колемаев, О.В. Староверов, В.Б. Турундаевский Теория вероятностей и математическая статистика – М.: “Высшая школа”, 1991. 400 с.
-
Н. Аканбай, З.И. Сүлейменова, С.Қ. Тәпеева Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистикадан тест сұрақтары, Алматы, “Қазақ университеті”, 2005 ж., 254 бет.
-
Краснов, М.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения М.: УРСС, 2002.- 253 с.
-
Федорюк, М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения :Изд. 3-е, стер.- СПб.: Лань, 2003.- 447 стр.
-
Филиппов, А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям : Изд. 2-е.- М.: Изд-во ЛКИ, 2008.- 235, [5] с.
Достарыңызбен бөлісу: |