Қызылорда қаласы Математика пәнінде мазмұнды есептер шығару әдістемелік құралы

Математика пәніндегі мазмұнды есептерді теңдеу құру арқылы шығару функциясын көрсетудің бір мысалы ретінде сызықтық теңдеулер мен теңдеулер жүйелерін қарастырамыз. Сызықтық теңдеулер жүйесіне қатысты сұрақтар бірнеше рет таза математикалық, яғни үйлесімсіз теңдеулер жүйелерін барынша жуықтап шешу, көпмүшеліетерді құру мен жиындар теориясы және т.б. мәселелермен қатар туындады.

Мазмұнды есептерді шығару кезіндегі екі және үш белгісізді сызықтық теңдеулерді оқыту теориясы алгебра мен басқа пәндердің байланыстарын жүзеге асыруға мүмкіндік береді, яғни физика есептеріндегі жолды, уақытты табу, химиядағы заттардың концентрациясын табуды аналитикалқ түрде сызықтық теңдеулер жүйесі арқылы өрнектеуге болады.

Мазмұнды есептерді теңдеулер құру арқылы шығару математика мен физика курстарының, математика мен химия курстарының пәнішілік байланыстарын жүзеге асыру мәселесін ғана шешуге мүмкіндік беріп қоймай, сонымен қатар физика мен химия пәндерінің және математика курсындағы негізгі тақырыптардың байланысын жүзеге асырады. Осы айтылғандарға байланысты қорғауға ұсынылып отырған ғылыми жұмыстың маңыздылығы келіп шығады. Ғылыми жұмыста теңдеулер мен олардың жүйелерін құру арқылы шешілетін мазмұнды есептер қарастырумен қатар олардың негізгі типтері ажыратылып, соған байланысты есептерді жүйелеу жүргізілді. Атап айтқанда, сандық тәуелділіктер, қоспалар, проценттер, қоспалар мен ерітінділерге байланысты және қозғалыс пен бірігіп жұмыс атқаруға берілген есептер топтастырылып оларды шешудің тиімді жолдары қарастырылды.

Күнделікті тұрмыста мазмұнды есептерді шешуді көп кездестіреміз. Есеп шығара білу - әр адамның математикалық, логикалық және сын тұрғысынан ойлау қабілетінің даму көрсеткіші. Мазмұнды есептер бастауыш сынып математикасынан бастап барлық орта мектеп математика курсында кездеседі. Бірақ берілген тақырыпта оларды өз дәрежесінде меңгеру мүмкін бола бермейді. Мазмұнды есептер өте алуан түрлі болып келеді, кейде есеп мазмұнын түсіну қиынға түседі.

Мазмұнды есептер қандай да бір нақтылы оқиғаның сөздік моделі болғандықтан, есеп мазмұны бойынша оқиғаны ойша көз алдына келтіруге немесе көрнекі құралдар арқылы оның заттық моделін жасауға болады.

Жалпы мазмұнды есептерді төрт негізгі тақырыпшалар бойынша қарастыруға болады:

Бұл типтегі есептер, негізінен, теңдеу немесе теңдеулер жүйесін құру арқылы шығарылады. Мазмұнды есептердің аталған типтеріне қысқаша тоқталайық.

Сан және цифр түсініктері бірдей емес. Цифр деп бір таңбалы сандарды атайды (0-ден 9-ға дейін, барлығы 10 цифр бар). Сандар цифрлардың көмегімен жазылады және сандарды жазудың ережелері бар. Ереже бойынша а және в цифрлері көмегімен жазылған екі таңбалы сан 10а+в өрнегімен беріледі, ал а, в, с - цифрлерімен берілген үш таңбалы сан 100а+10в+с өрнегімен анықталады т.т.

Мысалы, 654=6*100+5*10+4

Теңдеулер құрастыруға осы қарапайым формулалар қолданылады.

Шешуі: _ теңдеу жүйесін құрып, шешкенде 12 және 16 сандары шығады.

50=50/100=1/2 (жартысы); 25%=25/100=1/4 (ширегі); 75%=75/100=3/4

Шешуі: 1 күн- _, 2 күн -1,15_, 3 күн - 1,15_+10



Қоспаларға қатысты есептердің шешімдері "концентрация", "проценттік құрам ", "ылғалдылық" т.б. түсініктерімен байланысты және келесі келісушіліктерге негізделген:

- қарастырылған қоспалар, ерітінділер біртекті болып саналады;

- литрді көлем бірлігі ретінде қарастыруымен масса бірлігі ретінде қарастырудың айырмашылығы жоқ.

Есептер, көбінесе, екі айнымалысы бар теңдеулер жүйесіне келтіріледі.

Қоспа болып табылатын зат бірнеше заттан құралады. Теңдеулер жүйесіндегі бір теңдеу, әдетте, заттардың салмағына байланысты, ал екіншісі олардың концентрациясына байланысты құралады.

Шешуі: 1) _ - 30_% ерітінді

2) _ - 10% ерітінді

Есептің шарты бойынша:







12 кг* 0,45_5,4 кг (мыс)

Мыстың бұл салмағы жаңа қорытпаның 40% -і, жаңа қорытпа салмағын анықтаймыз: 5,4: 0,4_13,5 кг. Сонда 13,5-12_1,5 кг қалайы қосу керек.

Жауабы: 1,5 кг қалайы

3. Қозғалыс есептері

Алдымен қозғалыс есептерін анықтап алайық:

1. Құрғақ жердегі қозғалыста қозғалыс жылдамдығы көлік жылдамдығына тең ("қозғалыс жылдамдығы" дегенде біз қозғалыстағы адамның жылдамдығын түсінеміз);

2. Тынық судағы (көл, бассейн) қозғалыс жылдамдығы қайықтың жылдамдығына тең;

3. Ағынды суда егер өзінің жылдамдығы _ болатын дене жылдамдығы _-ке тең өзен ағысымен қозғалса, дене _ жылдамдығымен , ал ағысқа қарсы қозғалса _ жылдамдығымен жүзеді.

4. Меншікті жылдамдығы жоқ ден өзен ағысымен қозғалса, қозғалыс жылдамдығы ағын жылдамдығына тең. Сонымен қатар, қозғалыс есептерінде келісушіліктер қабылданған:

- арнайы ескерулер болмаған жағдайда қозғалыс бірқалыпты болып саналады;

- жылдамдық оң таңбалы шама болып саналады;

- қозғалыстың жаңа кестесіне көшу лезде іске асырылады.

Қозғалыс параметрлерін байланыстыратын негізгі формула: s=vt мұнда s - жолдың ұзындығы, v - жылдамдық, t - уақыт.

Шешуі: 1) _ км/сағ - жылдамдықпен жүруі керек еді.

2) (_ - жылдамдықпен жүрді.

Есептің шарты бойынша:_ , осыдан _



Осыған ұқсас төмендегі есептерді шығаруға болады.

1. Маторлы қайық ағынсыз суда 54 км жолды жүруге кететін уақытта өзен ағысымен 28 км, ағынға қарсы 25 км жол жүрді. Егер өзен ағысы жылдамдығы 2 км/сағ болса, онда қайықтың ағынсыз судағы жылдамдығын анықтау керек.

2. Электропоезд А станциясынан В станциясына қарай жүріп кетті. Барлық АВ жолының 75 % -іне тең 450 км жолды жүргеннен кейін, ол жолға түскен қардан жүре алмай тұрып қалды. Жарты сағатта жол тазаланып болған соң, машинист поездың жылдамдығын 15 км/сағ-қа арттырды да, В станциясына кешікпей келді. Поездың бастапқы жылдамдығын табу керек.

Бұл есептер мен қозғалыс есептері арасында аналогия жүргізіп, кейде бірігіп жұмыс атқару есептерін қозғалыс есептеріне жатқызады. Расында, жолына А- жұмысын, - жылдамдығына С - өнімділікті, ал t - уақытын солай қалдырса, аналогияның орны бар.

Өнімділікті есептеуде пропорция құру жиі қолданылады.

Мысал үшін төмендегі есептерді қарастырамыз:

1. Жұмысшылар бригадасы 360 детальды дайындап шығуы керек еді. Күніне белгіленген жоспарынан 4 детальды артық жасағандықтан бригада барлық тапсырманы белгіленген мерзімнен 1 күн ерте бітірді. Осы тапсырманы орындауғақанша күн жұмсады?

2. Күніне жалқыларға 96 кг шөп беретіндей етіп шөп қоры дайындалды. Екі жылқыны көрші колхозға өткізгендіктен, күніне әр жылқыға берілуі тиісті мөлшерлі шөпті 4 кг-ға артық беруге тура келді. Әуелде қанша жылқы болып еді?

Алайда, мұндай түрдегі есептерді шығару үшін, яғни есеп мағынасына (құрылымына) семантикалық талдау жасау арқылы барлық арақатынасты, ерекшелікті тағайындап шығару тиімді.

"Математика" пәнінен тесттер жинағындағы нұсқалардағы мазмұнды есептерді шығару жолдарын көрсетсек.

1. Катер өзен ағысымен 15 км және 4 км тынық суда жүзді. Барлық жолға 1 сағат уақыт кетті. Өзен ағысының жылдамдығы 4 км/сағ болса, онда катердің өзен ағысымен жүзгендегі жылдамдығын табыңыз.

А) 12 км/сағ В) 20 км/сағ С) 16 км/сағ Д) 32 км/сағ Е)18 км/сағ

Шешуі: Катердің меншікті жылдамдығы _ км/сағ болсын, сонда катердің өзен ағысымен жүзгендегі жылдамдығы (_ +4) км/сағ болады. Есептің шартына сәйкес теңдеу құрамыз.

Бұдан , _. Демек, катердің өзен ағысымен жүзгендегі жылдамдығы _ +4_ болған.

А) 5 км В) 10 км С) 6 км Д) 8 км Е) 4 км

Шешуі: Көлден ауылға дейінгі арақашықтық _ км болсын. Сонда ауылдан көлге дейінгі жүрген уақыт _ сағат, ал көлден ауылға дейінгі жүрген уақыт _ сағат болды. есептің шарты бойынша теңдеу құрамыз: _. Бұдан _, яғни ауылға дейінгі арақашықтық.

Жауабы: С

3. Әкесі 50 жаста, ал ұлы 20 жаста. Бұдан неше жыл бұрын әкесі ұлынан 3 есе үлкен болып еді?

А) 3 В) 6 С) 5 Д) 9 Е) 15

Шешуі: _ жыл бұрын әкесі ұлынан 3 есе үлкен болсын. Сонда әкесі 50-_, ұлы 20 -_ болған. Есептің шартына сәйкес теңдеу құрамыз:





А) 30 л В) 35 л С) 50 л Д) 40 л Е) 45 л

Шешуі: бірінші бидондағы сүт _ литр болсын. Екінші бидонға 12,5 % сүтті құйғанда, бірінші бидонда 0,875_ литр сүт қалады. Сонда 0,875_, _ литр.

Жауабы: Д

5. Товар 1386 мың теңгеге сатылғанда 10% пайда алынды. Товардың өзіндік құнын анықтаңыз.

А)1260 мың тг; В)1264 мың тг; С) 1262 мың тг; Д)1263 мың тг; Е)1261 мың тг

Шешуі: 10% пайда ол 0,1_ болады. Товардың өзіндік құны _ болсын, теңдеу құратын болсақ _, _ мың теңге товардың өзіндік құны.

Жауабы: А

6. Квадраттың қабырғалары 25% -ке ұзартылған. Квадраттың ауданы қанша процентке көбейеді?

А) 25% В) 56, 25% С) 52,65% Д) 50% Е) 30%















Демек, квадраттың ауданы 156,25_ - ке ратық.

А) (0;1) ,(1;2) В) (0,1) С) (1;2) Д) (2;3) Е) (3;4)











А) 4 В) 2 С) 3 Д) 1 Е) 5

Шешуі: барлық мата _ м болсын. Матаның жартысы _м , ал оның жартысы _м. Сонда есептің шарты бойынша _м мата қалды, ол 0,5 м-ге тең. _ бұдан _ Бастапқыда 2 м мата болған.

Жауабы: В

9. Маторлы қайық ағыс бойымен 18 км және ағысқа қарсы 14 км жүрді, осы жолдың барлығына ол 3 сағ 15 мин жұмсады. Қайықтың меншікті жылдамдығы 10 км/сағ . Ағыстың жылдамдығын табыңыз.

А) 2,5 км/сағ В)2 км/сағ С) 3 км/сағ Д) 1 км/сағ Е) 1,5 км/сағ

Шешуі: ағыстың жылдамдығын х км/сағ деп алсақ, ағыспен жүзген жылдамдығы _, ал ағысқа қарсы жүзген жылдамдығы _ болады. Есептің шарты бойынша теңдеу құрамыз:

_ бұдан, _.

Ағыстың жылдамдығы 2 км/сағ.

А) 29,1 км/сағ В) 24,9 км/сағ С) 30,5 км/сағ Д) 26,3 км/сағ Е) 25 км/сағ

Шешуі: кеменің жылдамдығы _ км/сағ болсын. Кеменің ағыспен жүрген жылдамдығы _ км/сағ.

s=vt болғандықтан _, _ км/сағ

Жауабы: В

11. Массасы 10 кг қоспада 4/5 никель және бірдей мөлшерде төрт түрлі металл бар. Олардың ішінде темір де бар. Қоспаның құрамында қанша темір бар?

А) 2 г В) 1 г С) 200 г Д) 500 г Е) 250 г

Шешуі: қоспаның 1-4/5_ 1/5 бөлігі төрт түрлі металл. Қоспадағы бірдей мөлшерде төрт түрлі металлдың массасы 10*1/5_ (кг) болады. Демек, тқоспаның құрамында темір 2/4_ кг_500 г.

Жауабы: Д

12. Ізделінді санды 2,5 есе арттырып, одан ізделінді санның жартысын шегерген кезде, ізделінді саннан 1,99 -ға артық болатындай сан шықты. Ізделінді санды табыңыз.

А) 2 В) 7,96 С) 1,99 Д) 19,9 Е) 1,4

Шешуі: Ізделінді сан _ болсын, есептің шарты бойынша:

2,5_{ } Жауабы: С

А) 40 км/сағ, 45 км/сағ В) 55 км/сағ, 60 км/сағ С) 45 км/сағ, 50 км/сағ

Д) 50 км/сағ, 55 км/сағ Е) 35 км/сағ, 40 км/сағ

Шешуі: екінші пойыздың жылдамдығын _ деп алсақ, онда Бірінші пойыздың жылдамдығы _км/сағ болады. Есептің шарты бойынша мынадай теңдеу құрамыз:







Екінші пойыздың жылдамдығы _ км/сағ

А) 2001 тг, 2008 тг В) 2002 тг, 2000 тг С) 2003 тг, 2004 тг

Д) 2000 тг, 2000 тг Е) 2006 тг, 2005 тг

Шешуі: кітаптың бірінші томы _ екінші томыны бағасы y тг. Есептің шарты бойынша теңдеулер жүйесін құрамыз.

Қосу тәсілі бойынша _, _, бұдан _ Берілгені бойынша теңге мыңдық болғандықтан _, _

А) 95,59 В) 73;37 С) 51;15 Д) 75;57 Е) 32;23











А) 33 км/сағ В)100 км/сағ С) 80 км/сағ Д) 25 км/сағ Е) 10 км/сағ

Шешуі: _ трактордың жылдамдығы,_ жүк машинасының жылдамдығы . Екеуі екі жақтан келе жатқанда 1 сағатта _ км жол жүрді. Олардың жылдамдықтарының қосындысы _ . Сондықтан, <sub>

</sub> км/сағ.

Жауабы: Д

1.2. Әртүрлі мазмұндағы симметриялы теңдеулер жүйелерін құруға берілген есептер

Алгебралық өрнектердің симметриясы.

Кейде теңдеулер, теңсіздіктер және олардың жүйелері алгебралық симметрияның қасиеттеріне сүйенеді, яғни өзінің түрін қандай да бір айнымалылардың орнын циклдік алмастырғанда олардың таңбасын ауыстырғанда және тағы басқада өзгертпейді. Алгебралық өрнектердің симметриясы тиісті теңдеулердің, теңсіздіктердің, жүйелердің және т.б. шешімдерін құрғанда ілестіріледі.

Бұл түрдегі есептерді шешу әдетте келесі екі логикалық этапқа бөлінеді:

1. 
   жалғыз шешімнің шартын және симметриялық өрнектердің қасиеттерін пайдалана отырып есептің параметріндегі қажетті шарты табылады.
   
2. 
   екінші этапта жеткіліктілік шарты тексеріледі.
   

Кей жағдайда өрнектің симметриялығын айқындау үшін алдын ала оны ықшамдау қажет болады.

а)

б) – бұл жүйенің шешімі болмайды.

Жауабы:(2; 1), (1; 2).

Есеп 1.

Шешуі:

Бұдан болып, шығады. Ал, болады.

болады. Сондықтан (5) өрнектен,

Сонымен шығады. сандарын сандарының кез келген біреуімен алмастырып отырсақ, шешімі болады. Олар

1.Теңдеуді шешіңіз: _

1. 
   9; 6Шешуі:
   
2. 
   -7; 3(x+6)(x+1)= 36; _
   
3. 
   -6; 4 Виет формуласы бойынша: _
   
4. 
   -4; 2
   
5. 
   -10; 3 (Е)
   



1. 
   4см Шешуі:
   
2. 
   3см a,b – катеттер болсын. _
   
3. 
   2см_
   
4. 
   2,5см_
   
5. 
   1см r = _(С)
   

1. 
   77 шешуі:
   
2. 
   34 Екі орынды санның х- ондық, y-бірлік сандары болсын
   
3. 
   86 онда _
   
4. 
   881-шітеңдеудіқанағаттандыратынсандар: 34;43;26;62;
   
5. 
   26 2-шітеңдеудіқанағаттандыратынсандар: 26;62;
   

4. Төртбұрыштың периметрі 26см, ауданы 36_. Төртбұрыштың қабырғаларының ұзындығын табыңыз.

1. 
   4см және 9см шешуі:
   
2. 
   13см және 2смЕсеп шарты бойынша_
   
3. 
   10см және 3см Жауаптардан дұрысын таңдаймыз
   
4. 
   8см және 6см (А)
   
5. 
   24,5см және 2см
   

6. Айырмасы 5-ке , үлкен санның квадратынан кіші санның квадратын азайтсақ 85-ке тең болатын екі сандарды табыңыз.

x=-6; y=-11

7. Екі санның қосындысы 120, ал айырмасы 5-ке тең. осы сандарды табыңыз.

шешуі: x,y –ізделінді сандар

8. Бір натурал сан екіншісінен 4-ке кем, ал олардың көбейтіндісі 192. Осы сандарды табыңыз.

ІІІ.Белгісіз параметр мәндерін табуға берілген есептер

1. 
   _ жүйесінің жалғыз шешімі болатындай _ параметірінің барлық мәндерін табыңыз.
   















2. 
   _- ның қандай мәнінде
   



1. 
   _2-ші теңдеуден x=a+y, 1- шіге қоямыз
   
2. 
   _2_
   
3. 
   _D=0 шартынан a-ны табамыз;
   
4. 
   _D=4_=0
   
5. 
   кезкелген сан 2- _. (D)
   

3. 
   _- ның қандай мәнінде_
   















4. 
   _- ның қандай мәнінде
   







D) _

E) _ Дискрименант нөлге тең болу керек, онда:

8-4_ (D)

5._жүйесінің тек бір ғана шешімі болатындай _ ның мәндерін табыңыз.

A) _Шешуі:

B) _2-ші теңдеуден y= x- a аламыз да,

C) _1-шіге қоямыз_

D) _ 2_

E) _шарт орындалу керек: 4_



Алгебра курсындағы мазмұнды есептерді шығару кезінде «Теңдеулер мен теңдеулер жүйелерін шешуді қайталау» бөлімінде салыстыру әдісі бойынша бірнеше белгісізді сызықтық теңдеулердің негізгі ұғымдарына талдау жасалып, көп белгісізді сызықтық теңдеулерді белгісіздерден біртіндеп құтылу әдісімен шешу жолдары , сонымен қатар сызықтық теңдеулер жүйесін шешуде фундаментальды шешімдер жиынын ауыстыру әдісіне біршама жұмыстар жүргізілді.

Зерттеу барысында мазмұнды есептерді шешудің ұтымды әдістерін тауып, неғұрлым тиімді жақтарын анықтауды мақсат етіп қойдық. Осыған орай төмендегі міндеттер айқындалды:

• 
  болашақ, өмірде алған білімді қолдана білу үшін математикалық білімді нақтылы меңгеру;
  
• 
  өмір мен қоғамға аса қажетті математика ғылымына тән жан-жақты талдау;
  
• 
  нақтылықты тану әдісі мен суреттеу формасы арқылы математиканың әдісі мен идеясын түсіну;
  
• 
  қоғамдық прогрестің дамуы үшін жалпы адамзат мәдениетінің бір бөлігі математиканың маңызын түсіну.
  

Айта кетер жай симметриялы және біртекті екінші дәрежелі теңдеулер жүйелері бағдарлама бойынша арнайы қарастырылмайды, бірақ 9-сыныптың «Алгебра» оқулығында симметриялы теңдеулер жүйесін шешу әдістерімен шығарылатын есептер жеткілікті түрде берілген. Мазмұнды есептердің көпшілігі симметриялы теңдеулер мен жүйелерін шешуге келтірілетінін ескеріп, бұл тақырыпты да толығымен қарастырдық.

Қазіргі уақытта оқушыларды ғылыми білімдерге ынта ықылас қоюға тәрбиелеуге және зерттеу еңбегіне деген қабілетті дамытуға қажетті негізгі мақсаттарды атауға болады:

• 
  Ғылыми көзқарас пен белсенділікті қалыптастыру;
  
• 
  Өз бетінше білім алу дағдыларына негіз салу;
  
• 
  Интеллекті мен шығармашылықты дамыту;
  
• 
  Табиғи қасиеттерін, математикалық білім деңгейлерін тереңдету.
  

• 
  ынтасы артады;
  
• 
  қызығушылығы туындайды.
  

Оқушының математикалық ойлауы дамуы үшін түрлі тапсырмаларды орындауы тиіс. Оларға:

1. 
   Өз бетінше есеп шығарудың сан қилы жолын іздестіру;
   
2. 
   Пәнге қызығып, оған көңіл қойып тереңдете оқып үйрену;
   
3. 
   Сабақ барысында қолданылатын ойындарға, математикалық сайыстарға , жарыстарға, олимпиадаларға қатысу жатады.