Жетекшісі: Алматы қаласы, Әуезов ауданы «ЖАҢА Ғасыр» №175 гимназия

Жетекшісі: Алматы қаласы, Әуезов ауданы

Жүзжасарова Күләш Олжабайқызы

ҒЫЛЫМИ ЖОБА

9 «Ғ» сынып оқушысы

Құрылыс инженерлері математикалық сипаты жазылған күмбездің пішінін анықтау үшін биквадратты түрлендіру тәсілдерін пайдалана алады.

Жұмыста мектепте өтілмейтін көп ретті қисық сызықтардың шығу тарихына қысқаша шолу жасалған, биквадратты түрлендіру тәсілдерінің теоремасын қолдана отырып инженерлік есептерді шешу жұмыстың мақсаты болып табылады.

Құрылыста күмбез бетінің пішіні әдемі, айқын, аэродинамикалық және бүйір бетінің ауданы минималды болу керек, сонымен қатар оның жобалауы мен құрылысы едәуір уақыт пен құралдарды қажет етеді. Сондықтан, құрылыста күмбез бетін құрылымдау сәулеттік жобалауда өзекті мәселе болып табылады.

Жұмыста сәулеттік пішіндерді құрылымдауда қолдануға ұсынылатын биквадратты түрлендіруін қолдану және алдын ала берілген шарттар бойынша күмбез бетін құрылымдаудың жаңа әдісі келтірілген.

Сәулеттік пішіннің бетін құрылымдау үшін алғашқы кезеңде сәулеттік пішіннің бетін құрылымдаудың графикалық үлгісі қажет.

биквадратты түрлендірудің

XVII ғасырдың аяғында И. Ньютон ерекше нүктелері мен үшінші ретті қисық түрлерінің топтамасын берді. Ол ерекше нүктенің үш түрі және үшінші ретті қисықтардың бес түрі бар деп белгіледі. Сонымен қатар, қисықтардың бес түрінің әрқайсысы үшін И. Ньютон бүгілудің саны мен заттық нүктелерінің орналасуын белгіледі.

Б.з.д үшінші ғасырда Никомед бұрыштың үшсекциясы (трисекция) бойынша есепті шығару үшін төртінші ретті қисықтарды қолданды, кейіннен оны Никомедтің конхоидасы деп атады. Б.з.д екінші ғасырда «Персей торын» осіне параллель жазықтықтармен қиғанда төртінші ретті қисықтарды алды, қазір олар Персейдің қисықтары деп аталады.

Орта ғасыр дәуірінде грек геометрлерінің жетістіктерін араб ғалымдары астрономия және құрылыс саласын зерттеу үшін, сондай-ақ ғылымның түрлі салаларында пайдаланды. XVII ғасырда Р. Декарттың аналитикалық геометрияны қалыптастыруына байланысты көптеген математиктер практикалық есептерді шығару кезінде жаңа төртінші ретті қисықтарды алды және осы қисықтардың қасиеттері мен пішіндерін зерттеді.

XVIII ғасырдан бастап ғалымдар геометрия саласында төртінші қисықтарды әр түрлі белгілермен топтастыруға талпынды. Бұдан бұрынғы төртінші ретті қисықтарды топтастыру әрекеттері Варинг есімімен байланысты болды (1792). Ол қисықтарды жеке түрдегі 84551 қисықты біріктіретін 12 топқа бөлді. Эйлер «Шексіз аз талдауына кіріспе» жұмысында 1748 жылы қисықтың 146 туындысын алды. Плюккер 1839 жылы «Алгебралық қисықтар теориясы» жұмысында төртінші ретті қисықтардың 152 түрін алды және осы түрлердің әрқайсысының канондық теңдеуін жазды.

Мысалы, төртінші ретті қисықтар – «Декарттың сопақшалары» (ова́л Дека́рта) деп аталады (1637ж.): _.

Ал 1662 жылы Рене́-Франсу́а Валте́р де Слюз (René François Walther de Sluse/Sluze (Slusius) жаңа төртінші ретті қисықты («Каппа» қисығы) алды:

_.

Келесі төртінші ретті қисық сызық «Кассини сопақтары» деп аталады:

Бұл теңдеуде а мен с параметрлердің әр түрлі қатынастарында түрлі пішінді қисықтар алынады. Осындай қисық сызықтардың бір түрін 1694 жылы Бернуллидің мақаласында баяндалып көрсетілді. Ол осы теңдеуде а мен с параметрлерін теңестіре отырып және түйінде екі бүгілу нүктесі бар Кассини сопақшасын (овал Кассини) зерттеп, жаңа төртінші ретті қисық сызықты табады. Кейін жаңа қисық сызықты Бернуллидің атымен «Бернуллидің лемнискаты» деп атады.

Кейінірек Штейнер келесі теңдеумен берілген жаңа төртінші ретті қисықты зерттеді: _.

Содан кейін бұл қисықты «Штейнер қисығы» деп атады. Паскаль Декарттың сопақшаларын зерттеді және Декарт сопақшаларының жеке жағдайы алынды («Паскаль иірімі»):

_.

Егер l шамасы 2r - ден аз болса, онда «Паскаль иірімі» (түйін нүктесімен) координатаның басы арқылы өтеді.

Егер l және 2r өзара тең болса, онда Паскаль иірімі қайтатын нүкте арқылы өтеді.

XIX ғасырдың аяғы мен ХХ ғасырдың басында төртінші ретті қисықтарды жемісті зерттеумен Кэли, Крон және Цейтен сияқты ғалымдар айналысты. Олар төртінші ретті қисықтардың 13 тобына біріктірілген 36 түрін ерекше бөліп айтты. Өткен ғасырдың 60-жылдары Д.А. Гудков [6] және оның оқушылары жобалық жазықтығында төртінші ретті қисық түрлерінің толық классификациясын жасады. 1966 жылы «Ыдырамайтын 4-ретті қисықтардың сызықтың толық классификациясы» жұмысында Д.А. Гудков ерекше нүктелерсіз ыдырамайтын төртінші ретті қисықтардың барлық түрлерінің топтамасын берді, ал 1988 жылы жобалық жазықтығындағы жорамал ерекше нүктелері бар қисықтар түрлерінің топтамасын жасады. 1990 жылы Д.А. Гудков заттық ыдырамайтын төртінші ретті қисық сызық түрлерінің топтамасын ұсынды. Осылайша Д.А. Гудков жорамал ыдырамайтын төртінші ретті қисықтардың ерекше нүктелерсіз 99 түрінің және жорамал ерекше нүктелері бар 18 түрінің және ыдыраушы төртінші ретті қисық сызықтың 96 түрінің бар екендігін дәлелдеді.

Ғалымдар Цейтен И., Гудков Д.А. және оның оқушылары төртінші ретті заттық қисықтардың пішінін зерттеді, бірақ төртінші ретті қисықтардың кейбір жеке пішіндері заттық және жорымал ерекше нүктелермен әр түрлі геометриямен бұрын да зерттелген болатын. Өткен ғасырдың басында И. Цейтан ешбір ерекшелігі жоқ 4-ші ретті ыдырамаған қисық сызықтың 42-ші формасын алды. 4-ші ретті қисық сызықтың формасын зерттеу барысы

О.Я. Вироны (1981ж.) Клейн формуласын қорытындылау бойынша жұмысын жариялауға итермеледі. Профессор Д.А. Гудков ыдырамаған 4-ші ретті қисық сызықтың арнайы формасының толық топтамасын алды, мұндай форманың жорамалсыз және жорамал ерекше нүктелермен берілген 24 қисық сызық үшін 600-ге жуық қисық алынды.

Жоғарыдағы қисық сызықты салу келесі ретпен жүзеге асады. Жобалау тәуелділігін өзгеріссіз қалдыра отырып, пайда болу әдісін қорытындыға ауыстырады және олардың тәуелділігін байланыстыратын тіке сызықтардың шоғырын күрделірек геометрия формаларына ауыстырады. Сонымен қатар пайда болу әдісі ретінде тіке сызықтардың шоғырын тұрақты қарастырады.

Бірінші түрін дамыту арқылы жоғары қисық сызық шоғырының геометриялық анықтамасы қалыптасты, элементтері жобалық сәйкестікке қатысты. Осының негізінде жоғары ретті қисық сызықты салу туралы сұрақ шешімін тапты.

Екінші түрін дамыту қарапайым және табиғи, аналитикалық сәйкестік тұғырынан қарағанда геометриялық сәйкестік қиынырақ болып табылады.

Осы есептің шешуі геометриялық қисық сызыққа байланысты, элементтері көп мәнді сәйкестікке байланысты екі тіке сызықты шоғырмен пайда болады.

Шектелген таңбалы базис бойынша қисық сызықты салу туралы есеп көп мәнді сәйкестіктегі екі тіке сызықты шоғырдың тиісті элементтерін салу туралы есепке сай болады.

Өзара көп мәнді сәйкестікпен байланысты тіке сызықты шоғырлармен құралатын қисық сызықтың қалыптасуы геометриялық сәйкестік туралы зерттеу саласында қисық сызықты салу туралы есептен бізді ауыстырады.

Жазықтықта нүкте арқылы өтетін және конус қимасынан құралатын үшінші түрдегі екі желіс берілді дейік. Жазықтықта нүкте арқылы өтпейтін қиманы және жаңа конус қимасын алайық. Конус қимасының көптеген нүктелері жазықтықтағы кейбір конус қимасына сәйкес келеді және конус қимасымен қиылысып, төрт нүктені анықтайды. Керісінше конус қимасының көптеген нүктелеріне жазықтықтағы кейбір конус қимасы төрт нүктені анықтайтын конус қимасымен қиылысып, желінің кейбір конус қимасына сәйкес келеді. Осылайша екінші реттік қисық сызық нүктелері арасында желілердің өзара- төрт мәнді сәйкестігі белгіленеді.

Профессор Гудков Д.А. ыдырамаған 4-ші реттік қисық сызықтың арнайы формасының толық топтамасын алды, мұндай форманың жорамалсыз және жорамал ерекше нүктелермен 24 қисық сызық үшін 600 -ге жуық қисық сызық болған.

Көп реттік қисық сызықты салу келесідегідей: жобалау тәуелділігін өзгеріссіз қалдыра отырып, пайда болу әдісін қорытындыға ауыстырады және олардың тәуелділігін байланыстыратын тіке сызықтардың шоғырын күрделірек геометрия формаларына ауыстырады, сонымен қатар пайда болу әдісі ретінде тіке сызықтардың шоғырын тұрақты қарастырады.

Бірінші түрін дамыту арқылы жоғары қисық сызық шоғырының геометриялық анықтамасы қалыптасты, элементтері жобалық сәйкестікке қатысты. Осының негізінде жоғары реттік қисық сызықты салу туралы сұрақ шешімін тапты.

Екінші түрін дамыту қарапайым және табиғи, аналитикалық сәйкестік тұғырынан қарағанда геометриялық сәйкестік қиынырақ болып табылады.

Осы есептің шешуі геометриялық қисық сызыққа байланысты, екі тіке сызықты шоғырмен пайда болады, элементтері көп мәнді сәйкестікке байланысты.

Шектелген таңбалы базис бойынша қисық сызықты салу туралы есеп көп мәнді сәйкестіктегі екі тіке сызықты шоғырдың тиісті элементтерін салу туралы есепке саяды.

Өзара көп мәнді сәйкестікпен байланысты тіке сызықты шоғырлармен құралатын қисық сызықтың қалыптасуы геометриялық сәйкестік туралы зерттеуді дамытады.

Жазықтықта нүкте арқылы өтетін және конус қимасынан құралатын үшінші түрдегі екі желіс берілді дейік. Жазықтықта нүкте арқылы өтпейтін қиманы және жаңа конус қимасын алайық. Конус қимасының көптеген нүктелері жазықтықтағы кейбір конус қимасына сәйкес келеді және конус қимасымен қиылысып, төрт нүктені анықтайды. Керісінше конус қимасының көптеген нүктелеріне жазықтықтағы кейбір конус қимасы төрт нүктені анықтайтын конус қимасымен қиылысып, желінің кейбір конус қимасына сәйкес келеді. Осылайша екінші реттік қисық сызық нүктелері арасында желілердің өзара – төрт мәнді сәйкестігі белгіленеді.

Екінші реттік қисық сызықта нүктелердің орналасуын жүйелі анықтайтын шамалардың нүктелері арасындағы төрт мәнді өзара сәйкестік және теңдікпен байланысуы тиіс, олардың әрқайсысы төртінші дәрежеге шығады. Бұл теңдікте жиырма бес мүшесі бар, өйткені өзара-төрт мәнді сәйкестік тиісті нүктелермен жиырма төртпен анықталады.

Шоғырлар арасында және өзара – төрт мәнді сәйкестік, бір шоғыр сәулесі басқа сәуленің мәліметтерімен сәйкес. Бұл үшін шоғырлар арқылы өтетін жазықтықта екінші реттік қисық сызықтың шоғырларын, сонымен қатар нүктені аламыз

Егер екі тіке сызықты шоғырлар арасында өзара – төрт мәнді, сәйкестіктің құралы тиісті сәулелердің жиырма төрт жұбы белгіленсе, онда басқа шоғырлар сызғыштың, циркульдің және екінші реттік бір қисық сызықтың көмегімен салу арқылы жинақталады.

Осылайша екі екінші реттік қисық сызықтардағы екінші реттік қисық сызық желісінің өзара – төрт мәнді сәйкестігінің геометриялық анықтамасы кездесетін нүктелердің жеткілікті саны арқылы анықталады. Тиісті шоғырлар жұбының мәліметтерінің жеткілікті саны негізінде екі тіке сызықтық шоғырлардың өзара сәйкестігін белгілей отырып, жоғары реттіктің қисық сызықтарын салуға мүмкіндік аламыз.

Шоғырлардың көп мәнді сәйкестігін белгілейтін, екі еселі нүктелермен әрбір жай нүктелерді қосатын, осы шоғырлардың тиісті шоғырлар жұбы ретінде қарастырылатын ізделіп отырған қисық сызықты салу.

Жоғары реттік қисық сызықтарды салу кезінде ізделіп отырған қисық сызықтың барлық жай нүктелерінің өзара әр түрлі болуын табылған немесе нақты деп санауға болады. Ізделіп отырған қисық сызықтың кейбір нүктелері қатар қолданылған жағдайда екі әр түрлі нүктенің орнына бір нүкте және оған жанама тік сызық беріледі.

Жоғарыда айтылғандардан екінші және төртінші реттік қисық сызықты алу үшін жобалы, өзара қатысты және көп мәнді сәйкестіктің құрастырылған теориясының қолданылатынын көреміз. Төменде төртінші реттік қисық сызықты жасау үшін жазықтықтың биквадратты пайда болуын қолданамыз.

§2. Төртінші ретті қисықтарды салу
Биквадртты түрлендіру әдісін қолданып төртінші ретті қисықтарды салуға болады. Егер n түзу сызықтың түп бейнесі 45⁰ бұрышпен бастапқы координат арқылы өтсе, онда 1 суретімен сәйкес төртінші ретті қисық бейнесін аламыз. Алынған қисықты L₁₁ арқылы белгілейміз.

Сурет 1 – Төртінші ретті қисық - п_1,1

Биквадратты түрлендіру тәсілдерінің 12 түрі бар екенін анықталды.

А. Бәйдібеков аталған тәсілдердің көмегімен салынған төртінші ретті қисық сызықтардың мысалдарын қарастырған. Төменде солардың кейбіреуін қарастырдық.

1. Биквадратты түрлендірудің бірінші тәсіліне мысал. 45⁰ бұрышпен бастапқы координат арқылы өтетін, түп бейненің теңдеуін жазамыз

және L₁ түзу биквадратты түрлендірудің теңдеуі

Теңдеу жүйесінен (1.2) х₁ және х₂ белгілерін анықтаймыз.

Енді L₅ биквадратты түрлендірудің көмегімен алынған қисықты қарастырамыз, онда түзу сызық түп бейне координат декартты жүйесіндегі жағдайын қарастырамыз.

Егер n түзу сызық түп бейне ортақ (жалпы) жағдайда болса, 2 суретке

сәйкес n^/ төртінші реттік жаңа қисық бейне аламыз.

Сурет 2 – Төртінші реттік қиысқ - п_5,1

Жоғарыда көрсетілген алгоритмді қолдана отырып п^/ бейненің теңдеуін анықтаймыз:

Сурет 3 – Төртінші реттік қисық - п_6,1

Жоғарыда көрсетілген алгоритмді қолдана отырып п^/ бейненің теңдеуін анықтаймыз. Бұл үшін түзу сызық түп бейненің теңдеуін қолданамыз, онда ол ортақ жағдайда жүргізілуі керек.

(1.8)

Келесі қарастыратын мысал L₈ биквадратты түрлендірудің көмегімен алынған қисық.

Егер n түзу сызық түп бейне жалпы жағдайда болса және өсіне көлбеу бұрыш α = 15⁰ құраса, онда 4 суретке сәйкес төртінші реттік қисық сызық аламыз.

n түзу сызық түп бейне теңдеуін жазамыз:

. (1.9)

Жоғарыда көрсетілген алгоритмді қолдана отырып п^/ бейненің теңдеуін анықтаймыз.

Сурет 4 – Төртінші реттік қисық п_8,2

Егер n түзу сызық түп бейне жалпы жағдайда болса және ОХ₁ осіне көлбеу бұрыш α = 20° құраса, онда 5 суретке сәйкес n^/ жаңа төртінші реттік қисық сызық аламыз.

Сурет 5 – Төртінші реттік қисық п_8,4

Егер n түзу сызық түп бейне жалпы жағдайда болса және ОХ₁ осіне көлбеу бұрыш α = 30° құраса, онда 6 суретке сәйкес n^/ жаңа төртінші реттік қисық сызық аламыз.

Сурет 6 – Төртінші реттік қисық - п_8,5

Егер n түзу сызық түп бейне жалпы жағдайда болса және ОХ₁ осіне көлбеу бұрыш α = 40° құраса, онда 7 суретке сәйкес n^/ жаңа төртінші реттік қисық сызық аламыз.

Ә

Сурет 7 – Төртінші реттік қисық - п_8,6

Әрі қарай L₁₀ биквадратты түрлендірудің көмегімен алынған төртінші ретті қисықты қарастырамыз.

Егер n түзу сызық түп бейне 45⁰ бұрышпен бастапқы координат арқылы өтсе, онда 8-суретке сәйкес екінші ретті екі қисыққа бөлінетін, n^/ төртінші ретті қисық сызық аламыз



Сурет 8 – Төртінші ретті қисық - п_10,1

n түзу сызық түп бейне теңдеуін жазамыз, онда түзу сызық 45⁰ бұрышпен бастапқы координат арқылы жүргізілу керек.

(1.11)

Жоғарыда көрсетілген алгоритмді қолдана отырып п^/ төртінші ретті қисық теңдеуін анықтаймыз.

Егер n түзу сызық түп бейне жалпы жағдайда болса, онда 9-суретке сәйкес екінші ретті (гиперболалар) екі қисыққа бөлінетін, n^/ төртінші ретті қисық сызық аламыз.

9-сурет – Төртінші ретті қисық - п_10,2

Бұл төртінші ретті қисықты «Maple-7» программасы бойынша да салуға болады.

Ал енді L₁₁ биквадратты түрлендірудің көмегімен төртінші ретті қисықты салу әдісін қарастырамыз.

Егер n түзу сызық түп бейне ординат осіне параллель болса, онда

10-суретке сәйкес n^/ төртінші ретті қисық сызық аламыз

10-сурет – Төртінші ретті қисық - п_10,3


n түзу сызық түп бейне теңдеуін жазамыз, онда түзу сызық ординат осіне парллель жүргізілуі тиіс.

(1. 13)

Жоғарыда көрсетілген алгоритмді қолдана отырып п^/ төртінші ретті қисық теңдеуін анықтаймыз:

Егер n түзу сызық түп бейне абцисса осіне параллель өтсе, онда 11-суретімен сәйкес n^/ төртінші ретті қисық аламыз.

Жоғарыда көрсетілген алгоритмді қолдана отырып п^/ төртінші ретті қисық теңдеуін анықтаймыз:

Сурет 11– Төртінші реттік қисық – п_12.1

Осыдан жазықтықтың каноникалық биквадратты түрлендірудің графикалық және математикалық үлгісі төртінші ретті жаңа қисық түрлерін құрастыруға мүмкіндік беретіні туралы қорытынды жасауға болады және оларды қолданбалы геометрияда қисық сызық жазықтықтарды құрастыру үшін қолдануға болатынын пайымдаймыз.

мұндағы: k, m – тұрақты коэффициенттері.

мұндағы: x₁^/, x₂^/ - образ нүктесінің координаттары;

мұндағы: k, m – тұрақты коэффициенттері.

Берілген параметрлер бойынша күмбез бетін құрылымдауды қарастырамыз.

Күмбездің беті n^/ төртінші ретті қисық сызығының өзінің тік өсі арқылы айналуы бойынша түзіледі, оның құрылымдауы төменде қарастырылады.

Сурет 17 – Күмбез элементі

мұндағы: x₁^/, x₂^/ - образ нүктесінің координаттары;

мұндағы: k, m – тұрақты коэффициенттері.

мұндағы:

Сурет 19 – Күмбез

(7) теңдеу жүйесінің бірінші теңдеуінен, m мәнін аламыз:

(9) формуланы (8) теңдеуіне қойып, аламыз:

мұндағы: k, m – прообраз параметрлер.

Алынған бет күмбезді жобалауда пішіні мен өлшемдері бойынша алдын ала берілген талаптарға сәйкес. Күмбездің қисық беттерін жобалау бойынша ұсынылып отырған әдіс жобалаушыларға практикалық құндылық болып табылады, бұл әдіс қарапайым және оңай іске асырылатын болғандықтан дербес компьютерде инженерлік есептерді жеңілдетеді.

Зерттеу нәтижесінен келесі қорытындылар жасауға мүмкіндік береді:

1. Биквадратты түрлендіру әдістері көмегімен төртінші ретті қисықтар алынғаны анықталды.

2. Биквадратты түрлендірудің графикалық үлгісін қолданумен жаңа төртінші ретті қисықтардың түрлері алынды, оларды әр түрлі пішіндегі беттерді құрастыруда қолдануға болатыны анықталды.

3. Биквадратты түрлендіру әдісі күмбез бетінің қимасы ретінде пайдалануға болатындай төртінші ретті жаңа қисықтарды алуға болатынын көрсетті.

4. Алдын ала берілген талаптар бойынша күмбезді жобалау үшін биквадратты түрлендіру әдісін қолдану, қойылған міндеттің қарапайым және түсінікті түрде жүзеге асуына мүмкіндік беретіні айқындалды. Күмбез бетінің әр қимасының бір теңдеумен берілуі күмбезді дербес компьютерде жобалауды жеңілдетеді.

2. А. А. Савелев. Плоские кривые. – М.: физматизд. 1961.-294с.