Жұмыстың мақсаты

«Ондық» аты мынамен түсіндіріледі: бұл жүйенің түп төркінінде он негізі жатыр. Бұл жүйеде санды жазу үшін он цифры қолданылады: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Ондық жүйе позициялық болып табылады, өйткені ондық санды жазуда цифрдың мәні оның позициясына немесе санда орналасқан орнына байланысты.

Саның цифрына бөлінетін позицияны разряд деп атайды. Мысалы, 526 жазуы 5 жүздіктен, 2 ондықтан және 6 бірліктен тұратын сан екенін білдіреді. 6 цифры-бірліктер разрядында, 2-ондықтар разрядында, 5-жүздіктер разрядында тұрады. Егер осы санды қосынды түрінде жазатын болсақ:

526=5*10²+2*10¹+6*10⁰

Бұл жазбадағы 10 саны санау жүйесінің негіздуішісі. Санның әрбір цифры үшін 10 негіздеуші цифрдың орнына байланысты дәрежеленеді және осы цифрға көбейтіледі. Бірліктер үшін негіздеуші дәреже-нөлге, ондықтар үшін –бірге, жүздіктер үшін-екіге тең және т.с.с. Мысалы, 555,55 ондық саны мынандай қосындымен белгіленеді:

555,55₁₀ = 5*10² + 5*10¹+ 5*10°+ 5*10-¹+5*10-².:

Осылайша, ондық санның кез келген цифрінің салмағы-оның белгілі бір бүтін дәрежесі, ал дәреженің мәнін сәйкес цифрдың позициясы бекітеді.

Бүтін ондық сандарды екілік санау жүйесіне ауыстыру

Ереже: Бүтін ондық санды екілік санау жүйесіне ауыстыру үшін осы санды 2-ге бөлу қажет. Алынған бөліндіні 2-ден кіші болғанша бөлінеді қайтадан 2-ге бөле береді және т.с.с.нәтижеде бір қатарға соңғы бөлінеді және соңғысынан бастап барлық қалдықтарды жазу керек.

Мысалы 891 санын ондық жүйеден екілік санау жүйесіне аудару.

891:2=445, 1

445:2=222, 1

222:2=111, 0

111:2=55, 1

55:2=27, 1

27:2=13, 1

13:2=6, 1

6:2=3, 0

3:2=1, 1

891₁₀=1101111011₂

Ондық бөлшек сандарды екілік санау жүйесіне ауыстыру үшін оны 2-ге көбейтіп, бүтін бөлікті іздеу керек. (үтірден кейін төрт таңбаға дейін)

Мысалы: 0,322₁₀ 8,83₁₀

0.322*2=0.644 0 8:2=4 қалдық 0

0.644*2=1.288 1 4:2=2 қалдық 0

0.288*2=0.576 0 2:2=1 қалдық 0

0.576*2=1.152 1 1:2=0 қалдық 1

Жауабы: 0,3222₁₀=0.0101₂ 0.83*2=1.66 бүтін бөлік 1

0.66*2=1.32 бүтін бөлік 1

0.32*2=0.64 бүтін бөлік 0

0.64*2=1.28 бүтін бөлік 1

Жауабы: 8,83=1000,1101

Ондық жүйеден сандарды сегіздік санау жүйесіне ауыстыру үшін екілік жүйесі сияқты сандарды тек 8 санына бөлеміз. Егер алынған бөлінді 7-ден көп болса, онда оны да, қалдықты сақтап 8-ге бөлуге болады. Мысалы: Ондық жүйедегі 891 санын сегіздік санау жүйесіне келтірейік.

Шешімі: қалдық

891:8=111 3

111:8=13 7

13:8=1 5

Ондық санды он алтылық санау жүйесіне ауыстыру үшін 16-ға бөлу керек.

Шешімі: қалдық

891:16 =55 11

55:16=3 7

3:16=0 3

1. 
   425₁₀ 8. 3678,898₁₀
   
2. 
   256₁₀ 9. 7,29083₁₀
   
3. 
   852₁₀ 10. 0,0032₁₀
   
4. 
   1243₁₀ 11. 2,3589₁₀
   
5. 
   2569₁₀ 12. 48,965₁₀
   
6. 
   4568₁₀ 13. 56,897₁₀
   
7. 
   12568₁₀ 14. 48,975₁₀
   

1. 
   323₁₀ 8. 125₁₀
   
2. 
   150₁₀ 9. 229₁₀
   
3. 
   283₁₀ 10. 88₁₀
   
4. 
   428₁₀ 11. 255₁₀
   
5. 
   315₁₀ 12. 325₁₀
   
6. 
   181₁₀ 13. 259₁₀
   
7. 
   176₁₀ 14. 652₁₀
   

1. 
   0,322₁₀ 8. 37,25₁₀
   
2. 
   150,7006₁₀ 9. 206,125₁₀
   
3. 
   283,245₁₀ 10. 0,386₁₀
   
4. 
   0,428₁₀ 11. 10,103₁₀
   
5. 
   315,075₁₀ 12. 8,83₁₀
   
6. 
   181,369₁₀ 13. 14,125₁₀
   
7. 
   176,526₁₀ 14. 15,75₁₀
   

1. 
   322₁₀ 4. 7006₁₀
   
2. 
   524₁₀ 5. 125₁₀
   
3. 
   283,245₁₀ 6. 229₁₀
   

Компьютерде әдетте ондық емес позициялық екілік санау жүйесі, яғни 2 негіздеуіші бар санау жүйесі қолданылады. Екілік жүйеде кез келген сан екі 0 және 1 цифрлардың көмегімен жазылады және екілік сан деп аталады. Тек қана 0 және 1 цифрларынан тұратын екілік саннан ондық санды ажырату үшін екілік санды жазуда екілік санау жүйесінің индексіне белгі қосылады, мысалы, 110101,111₂. Екілік санның әрбір разрядын (цифрын) бит деп атайды.

Ондық сандар сияқты, кез-келген екілік санды екілік санға кіретін цифрлар салмағының айырмашылығын анық бейнелейтін қосынды түрінде жазуға болады. Бұл қосындыда негіздеуші ретінде 2 санын қолдануға болады. Мысалы: 1010101,101 екілік сан үшін қосынды мына түрде болады:

1010101,101₂ =1*2⁶+0*2⁵+1*2⁴+0*2³+1*2²+0*2¹+1*2⁰+1*2^-1+0*2^-2+1*2^-3

Бұл қосынды ондық сан үшін жазылған қосындының ережесі бойынша жазылады. Берілген мысалда екілік сан жеті санды бүтін және үш санды бөлшек бөліктерінен тұрады. Сондықтан бүтін бөліктің үлкен цифрі, яғни бірі 2⁷-1=2⁶-ға көбейтіледі, бүтін бөліктің нөлге тең келесі саны, 2⁵-ке көбейтіледі және т.с.с., кішкентайға, үшіншіге, дейін екінің дәрежесі кемуі бойынша цифрдың бөлшек бөлігі 2^-3-ке көбейтіледі. Осы қосындыда ондық жүйенің ережесі бойынша арифметикалық операцияларды орындай отырып, 85,625 санын аламыз. Осылайша, 1010101,101 екілік саны 85,625 ондық санына сәйкес келеді, немесе 1010101,101=85,625₁₀

1. 11100011₂=12⁷+12⁶+12⁵+02⁴+02³+02²+12¹+12⁰= 128+64+32+2+1=227₁₀

2.0,10100011₂=12^-1+02^-2+12^-3+02^-4+02^-5+02^-6+12^-7+12⁸=0,5+0,125+0,0078+0,0039=0,6367₁₀

Сандарды екілік жүйеден сегіздік санау жүйесіне ауыстыру

Кез келген цифрды сегіздік сан түрінде жазу үшін үш екілік цифрлар қажет. Сондықтан түрленетін екілік санды оңнан солға қарай екі цифрлар тобына үштен бөледі. Екілік жүйедегі бөлшек санды сегіздік санау жүйесіне аудару үшін санның бүтін бөлігін оңнан сола қарай бағытта, ал бөлшек бөлігін солдан оңға қарай бағытта үш екілік саннан бөліп жазып, кестені пайдаланып, сәйкесінше сегіздік санды жазамыз. Сол жақтан және оң жақтан жетпеген цифр орындарын нөлмен толықтырамыз.

Мысалы:

1. 1011101,10011 санын сегіздік жүйеге ауыстырайық,

1 011 101,100 11 → 001 011 101,100 011 → 125,43₈;

Екілік санау жүйесі	000	001	010	011	100	101	110	111
Сегіздік санау жүйесі	0	1	2	3	4	5	6	7

Сандарды екілік жүйеден он алтылық санау жүйесіне ауыстыру

Екілік жүйеден он алтылық санау жүйесіне түрлендіргенде, екілік сан төрт екілік сан бойынша бөлінеді, өйткені он алтылық санның кез келген цифрын жазу үшін төрт екілік цифр қажет.

Мысалы:

1101111011 екілік саны төрт екілік цифр бойынша топқа бөлгеннен кейін, 11 0111 1011 сияқты жазуға болады. 37B₁₆;

Мысалы: 101111,100011 санын он алтылық жүйеге ауыстырайық,

10 1111,1000 11 → 0010 1111,1000 1100 → 2F8C₁₆;

Екілік санау жүйесі	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111
Он алтылық санау жүйесі	0	1	2	3	4	5	6	7

Екілік санау жүйесі	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
Он алтылық санау жүйесі	8	9	A	B	C	D	E	F

Екілік сандарға арифметикалық амалдар қолдану

Қосу

Екілік сандарды қосу сәйкес разрядтардың цифрларын тасымалды есепке алып қосуға саяды. Екілік санды қосқанда, келесі төрт ереже қолданылады.

0+0=1 1+0=1

0+1=1 1+1=10

Мысал: Екі екілік 101+11 сандарын қосуды (ондық жүйеде бұл: 5+3=8) орындайық.

Жетпеген нөлдерді қосып, қосу амалын бағанда орындаған жөн

101

Қосу процесін кезеңмен қарастырайық.

1. 
   Алдымен қосу кіші разрядта орындалады: 1+1=10. Қосындының кіші разрядына 0 жазылады да бірлік алдыңғы үлкен разрядқа тасымалданады.
   
2. 
   Келесі сол жақ разрядтың цифрлары мен тасымалдың бірлігі қосылады: 0+1+1=10. Қосындыныің бұл разрядына 0 жазылады да, бірлік тағы да келесі разрядқа тасымалданады.
   
3. 
   Енді үшінші сол жақ разрядтың цифрлары мен тасымалдың бірлігі қосылады: 0+1+1=10 Бұл разрядта 1 жазылады, ал бірлік келесі үлкен разрядқа тасымалданады.
   

101

1000

Екілік сандарды азайту кезінде мыналарды есте сақтау керек:

0-0=0 0-1=1

1-0=1 1-1=0

Мысалы: 1010-101 екілік санның айырмасын табу. Кіші разрядтан бастап азайтуды бағанада орындаймыз:

1010

• 
  101 - азайту процесін кезеңімен қарастырайық:
  

1. 
   Кіші разряд үшін 0-1 бар. Сондықтан үлкен разрядтан бірлікті аламыз және 10-1=1 –ді табамыз.
   
2. 
   Келесі разрядта 0-0 =0 болады.
   
3. 
   Сол жақтағы разрядта тағы да 0-1 болады. Үлкен разряжтан 1-ді аламыз және 10-1=1 – ді табамыз.
   
4. 
   Келесі разрядта 0 қалады.
   

5. 
   -101
   

Екілік санды көбейту ережесі:

0*0=0

1*0=0

1*1=1

101 Тексеру: 101₂=1*2²+0*2¹+1*2⁰=5

110 110₂=1*2²+1*2¹+0*2⁰=6

000

11110

Көбейту кестесін кезеңмен қарастырайық:

1.Кіші разрядқа көбейте отырып, кесте бойынша 000 аламыз.

2.Келесі разрядқа көбейткенде, бір разряд солға жылжыған 101-ді аламыз.

3.Үлкен разрядқа көбейткенде де, тағы бір разряд солға жылжыған 101-ді аламыз.

4.Енді екілік сандарды қосу кестесін есепке ала отырып, қосамыз да, 11110₂ нәтижені аламыз.

Екілік жүйедегі көбейту кестесі тым қарапайым болғандықтан көбейту тек көбейгішті жылжыту мен қосудан тұрады.
Оқушылардың өзіндік жұмыстары

1. Тапсырма: Санның негіз дәрежелерінің қосындысы түрінде жазыңыз:

1. 11010101₂= 6. 1101,011=

2. 11111010₂= 7. 0,100101₂=

3. 10101011₂= 8. 11,10101₂=

4. 11100101₂= 9. 111,10100₂=

5. 11101001₂= 10. 101,10001₂=

1. 
   11110110011₂ = 6. 1101010,1100₂=
   
2. 
   110110101₂ = 7. 1010110,0101₂=
   

4. 10100110₂= 9. 1000,1101₂=

5. 1000011₂= 10. 11101,001₂=

3. Тапсырма: Сандарды екілік санау жүйесінен оналтылық санау жүйесіне аударыңыз:

1. 
   111110101010₂ = 6. 101010101,11001₂=
   
2. 
   1101010100111₂ = 7. 101010101,1010101₂=
   
3. 
   10001110101₂ = 8. 1010111,01010₂=
   
4. 
   1010011011₂ = 9. 11111,11000₂=
   
5. 
   1001010011₂ 10. 101,1011011₂
   

1. 0110+0110= 6. 1101+0110=

2. 11001+10111= 7. 1010+011=

3. 10001+11101= 8. 10111+1011=

4. 11001+11100= 9. 111010+1110=

5. 11000+11101= 10. 110011+100011=

1. 
   11010-01101= 6. 10111-1001=
   
2. 
   1101-0110= 7. 111011-11001=
   
3. 
   1101-111= 8. 10111-11100=
   
4. 
   10001-1011= 9. 11110-1001=
   
5. 
   11011-1001= 10. 101011-10111=
   

1. 1011110= 6. 1101101=

2. 11001111= 7. 1010101=

3. 010110= 8. 10001111=

4. 1000101= 9. 11101001=

5. 101111100= 10. 11011100=

Сегіздік санау жүйесінің негізі 8, яғни сегіз цифрдан құралады: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Сегіздік санау жүйесі позициялық санау жүйесіне жатады. Мысалы, 357 сегіздік санда жеті бірлік, бес сегіз және квадраты үш сегіз бар, яғни 357₈=3*8²+5*8¹+7*8⁰, мұнда 357 санының индексі «8» санау жүйесін білдіреді. Жазылған қосындыда ондық жүйенің ережесі бойынша арифметикалық әрекеттерді орындай отырып, 357₈=239₁₀ аламыз, яғни 357 сегіздік саны 239 ондық санға сәйкес келеді.

Сонымен сегіздік санау жүйесіндегі санды ондық санау жүйесіне аудару үшін ол санды негіздеуішінің дәрежелерінің қосындысы түрінде жазып алып, есептейміз.

Мысалдар:

1. 
   461₈ = 4*8²+6*8¹+1*8⁰ = 4*64+6*8+1*1 = 256+49 = 305₁₀.
   
2. 
   172,54₈ = 1*8²+7*8¹+2*8⁰+5*8^-1+4*8^-2 = 64+56+2+5*
   

1. 555₈ 7. 235,43₈

2. 633₈ 8. 731_,45₈

3. 434₈ 9.115,456₈

4. 2555₈ 10. 25,456₈

5. 7411₈ 11. 56,321₈

6. 325₈ 12. 231,44₈

Сегіздік санау жүйесіндегі сандарды екілік санау жүйесіне ауыстыру

Практикада екілік санау жүйесін пайдалану қолайсыз, сол себепті көбіне сегіздік және он алтылық санау жүйелері қолданылады.

2³=8 екенін білеміз, осыдан төменде келтірілген сәйкестікті табамыз: сегіздік санау жүйесіндегі әрбір санға екілік санақ жүйесіндегі үш разрядты (орынды) сан сәйкес келеді.

Екілік санау жүйесі	000	001	010	011	100	101	110	111
Сегіздік санау жүйесі	0	1	2	3	4	5	6	7

Енді осы сәйкестіктерді пайдалана отырып сегіздік санау жүйесіндегі санды екілік санау жүйесіне ауыстыру ережесі шығады:

Мысалдар:

1) 1447₈=001 100 100 111₂=1100100111₂.

2) 256,773₈= 010 101 110, 111 111 011₂ = 10101110,111111011₂;

1. 436₈ 6. 15,423₈

2. 1674₈ 7. 24,55₈

3. 6074₈ 8. 73,23₈

4. 1254₈ 9. 124,32₈

5. 5677₈ 10. 364,45₈

1. 
   124; 6) 4407; 11) 125,64;
   
2. 
   357; 7) 3556; 12) 321,45;
   
3. 
   706; 8) 6754; 13) 654,21;
   
4. 
   235; 9) 3701; 14) 332,21;
   
5. 
   663; 10) 5564; 15) 32,654;
   

1. 
   45; 6) 365; 11) 1657; 16) 741,21;
   
2. 
   73; 7) 321; 12) 2566; 17) 256,74;
   
3. 
   35; 8) 257; 13) 3265; 18) 654,31;
   
4. 
   61; 9) 652; 14) 7415; 19) 257,36;
   
5. 
   72; 10) 234; 15) 3614; 20) 741,32;
   

1. 2322₈ 8. 7006₈

2. 7524₈ 9. 125₈

3. 223,245₈ 10. 224₈

4. 425₈ 11. 47₈

5. 315,075₈ 12. 21,25₈

6. 181,361₈ 13. 206,125₈

7. 176,526₈ 14. 640₈

1. 122₈ 8. 3167₈

2. 450,706₈ 9. 125₈

3. 253,245₈ 10. 224₈

4. 426₈ 11. 13₈

5. 315,075₈ 12. 37,25₈

6. 131₈ 13. 206,125₈

7. 176,526₈ 14. 47,53₈