Кафедра геометрии

1. Кафедра геометрии

• Введение.

Учебник предназначен для студентов механико-математических факультетов университетов.

1. 
   Подбор и систематизация научного материала для лекционных занятий.
   
2. 
   Разработка системы задач и упражнений, соответствующих теоретическому материалу.
   
3. 
   Разработка и апробирование приёмов контроля знаний.
   

1. 
   Разработать электронный учебник по проективной геометрии для студентов физико-математических факультетов.
   

геометрия проективного пространства в векторном изложении по схеме Вейля.

Электронный вариант учебника по проективной геометрии.

1. 
   Теоретический метод. Анализ и обобщение научной и методической литературы по проективной геометрии.
   
2. 
   Диагностический метод, включающий в себя разработку и апробирование тестов, анализ результатов деятельности студентов.
   

• О возникновении проективной геометрии.

В XVI веке французский архитектор Ж. Дезарг (1593-1602) внес существенный вклад в создание основ проективной геометрии. Ж. Дезарг развил теорию перспективы и разработал аппарат изображений пространственных фигур на плоскости. Дезарг присоединил к евклидовой прямой несобственную точку ( бесконечно удаленную). Так появилась расширенная прямая. На плоскости параллельные прямые он изображал пересекающимися. Аналогично параллельные плоскости изображались им пересекающимися плоскостями. Дезарг получил модель проективной плоскости, дополнив плоскость несобственной прямой.

Сама же проективная геометрия, как наука, возникла в первой половине XIX века. Ее возникновение связано с именем известного французского математика Понселе (1788-1867).Он выделил как объект изучения некоторые особые свойства геометрических фигур, которые названы им проективными.

В начале своего возникновения проективная геометрия имела довольно ограниченную область приложений, связанную, главным образом, с теорией проектирования фигур в евклидовом пространстве. Несмотря на это, она привлекла к себе внимание многих геометров. Серьезный вклад в эту теорию, помимо Пенселе, внесли Шаль (1793-1880) и Штейнер(1793-1863).По мере накопления фактов эта ветвь геометрии постепенно освободилась от метрических понятий и превратилась в самостоятельную дисциплину. В конце XIX века исследования по основаниям геометрии объединились с исследованиями по проективной геометрии, и в рамках последней возникла глубокая теория, включающая в единую схему геометрии Евклида, Лобачевского и Римана.

Пусть F- произвольная фигура в некоторой плоскости a, b – какая-либо другая плоскость, т.о. –произвольная точка пространства, не принадлежащая ни одной плоскости (a и b). Точка, отсоединенная с любой точкой М фигуры F, определяет прямую (ОМ), пересекающую плоскость b в некоторой точке М^/, которую мы будем называть проекцией точки М (на плоскости b из центра О).

Проекции всех точек фигуры F на плоскость b составят некоторую фигуру F^/, которая называется проекцией фигуры F. Операция, с помощью которой в данной задаче из фигуры F получена фигура F^/ ,носит название центрального проектирования из точки О. Если изменить положение точки О и плоскости b мы получим бесконечное множество фигур (или иначе говоря, центральных проекций фигуры F), которые в чем-то будут похожи на фигуру F, но в чем-то и отличаться. Например, проектируя правильный треугольник, получим тоже треугольник, но произвольной формы. Проектируя окружность, можем получить эллипс или параболу, или даже гиперболу. При таком проектировании не сохраняются метрические характеристики фигур (длина, площадь и т. д. ).

Какие же свойства сохраняются? Они обычно называются инвариантами преобразования, каковым в данном случае является преобразование проектирования. Именно эти свойства фигур, инвариантные по отношению к такому проектированию, Понселе назвал проективными свойствами, а предмет, их изучающий - проективной геометрией.
Примеры инвариантных свойств.

1. 
   Если фигура или объект - прямая, то после проектирования получим также прямую.
   
2. 
   Если фигура F – коническое сечение, т.е. описывается квадратичной формой
   

Важной предпосылкой превращения проективной геометрии в самостоятельную дисциплину, было введение в употребление бесконечно удаленных геометрических элементов. Займемся их определением.

Установим соответствие между прямыми пучка, проходящего через А и точками на прямой а. Например, лучу m соответствует точка M. Очевидно, что какую бы точку на прямой a мы ни выбрали, ей всегда соответствует определенный луч. Однако, нельзя утверждать, что любому лучу соответствует точка прямой a. Действительно, возьмем луч a^/, соответствующей точки на a мы не найдем. Таким образом, соответствие между лучами пучка и точками прямой a не является взаимно однозначными. Это не всегда удобно при операциях проектирования. Чтобы устранить это неудобно, условимся считать параллельные прямые, пересекающими на бесконечности. Тогда луч а^/ из пучка А, параллельный а, будет иметь на этой прямой соответствующую точку ,но не обычную ,а называемую бесконечно удаленной точкой. Это новый геометрический объект. Все параллельные друг другу прямые в плоскости a имеют одну общую бесконечно удаленную точку, поэтому систему параллельных прямых называют пучком с бесконечно удаленным центром (рис.3).

Бесконечно удаленные точки непараллельных прямых в плоскости считаются различными. Таким образом, каждая плоскость содержит бесконечно много различных бесконечно удаленных точек. Совокупность всех бесконечно удаленных точек плоскости называется бесконечно удаленной прямой.

Таким образом, каждая плоскость содержит одну бесконечно удаленную прямую.

Вполне логично совокупность всех бесконечно удаленных прямых назвать бесконечно удаленной плоскостью.

Выводы:

множество объектов обычного евклидова пространства дополняется новыми элементами:

1. 
   К множеству точек каждой прямой добавляется одна бесконечно удаленная точка;
   
2. 
   К множеству прямых каждой плоскости добавляется одна бесконечно удаленная прямая;
   
3. 
   К множеству всех плоскостей пространства R₃ добавляется бесконечно удаленная плоскость.
   

Проективную прямую следует представлять в виде замкнутой линии. Плоскость, дополненная бесконечно удаленной прямой называется проективной плоскостью. Пространство, дополненное бесконечно удаленной плоскостью называется проективным пространством.

Термин бесконечности иногда употребляется и в обычной, элементарной геометрии (например, что параллельные прямые сходятся в бесконечности),но это лишь словесное выражение, в проективной же геометрии бесконечно удаленные элементы играют такую же роль, как и обыкновенные геометрические образы. В обычной геометрии большую роль играет изучение метрических свойств фигур (длины, площади, углы, объемы).

В проективной, процесс измерения теряет смысл, т. к например, один конец отрезка может оказаться в бесконечности. Таким образом, метрические свойства фигур не являются проективными свойствами.

• 
  
  жүктеу/скачать 1.71 Mb.
  
  Достарыңызбен бөлісу: