Раздел 1. Синтетическая геометрия проективного пространства

Раздел 1. Синтетическая геометрия проективного пространства.

1. Глава 1. Проективное пространство в схеме Вейля. Взаимное расположение прямых и плоскостей.

1. §1.Понятие проективного пространства. Взаимное расположение

2. прямых в Р² и Р³.

1. 
   Отображение f сюръективно, т.е. любой элемент из Р имеет хотя бы один прообраз.
   
2. 
   Равенство f (x) = f (y) выполняется тогда и только тогда, когда векторы x и y коллинеарны.
   

Элементы множества Р называются точками проективного пространства и обозначаются прописными буквами латинского алфавита: A, B, C, …..,X, Y, …. Если f (x) = X, говорят, что вектор x порождает точку X.

Взаимное расположение точек, прямых и плоскостей при n = 1, n = 2, n = 3.

Рассмотрим свойства взаимного расположения точек, прямых и плоскостей трехмерного проективного пространства. Эти свойства называются свойствами связи.

Докажем теперь, что l - единственная прямая, проходящая через точки А и В. Действительно, пусть l' - произвольная прямая, проходящая через точки А и В, а L' – двумерное пространство, которое порождает прямую l'. Так как А l' и В l', то a L' и b L' , поэтому L' – подпространство, натянутое на векторы . Таким образом, L' и L – одно и тоже векторное подпространство, и, следовательно, прямые l и l' совпадают. ■

Аналогично можно доказать следующее утверждение.
Свойство 2. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит одна и только одна плоскость.
■ Проективное пространство P₃ порождается четырехмерным векторным пространством V₄. В пространстве P₃ произвольным образом выберем три различные точки А, D, Е, которые порождаются соответственно векторами ā, đ, ē векторного пространства V₄.

Так как точки А, D, E – различны, то векторы ā, đ, ē являются некомплонарными. Эти векторы образуют трехмерное векторное пространство, которое порождает проективную плоскость P₂.

Таким образом, векторы ā, đ, ē порождают точки А, D, Е, которые лежат в плоскости PІ.

Докажем единственность такой плоскости.

Предположим, что точки А, D, E принадлежат плоскости P₂', отличной от плоскости P₂. Плоскость P₂' порождается трехмерным векторным пространством V₃', являющимся подпространством четырехмерного векторного пространства V₄.

Точки А, D и E порождаются соответственно векторами ā, đ и ē, которые принадлежат трехмерному векторному пространству V₃'. Но так как векторы ā, đ, ē образуют векторное пространство V₃, то V₃ = V₃'. Таким образом, плоскости, порождаемые данными векторными пространствами, совпадают.■

Пусть М – произвольная точка прямой АВ, а m – вектор, порождающий эту точку. Так как m L (a, b), то m W. Отсюда следует, что М – точка плоскости π. ■

Две прямые a и b не могут иметь более чем одну общую точку, так как через две точки проходит только одна прямая. ■

Таким образом, на каждой проективной прямой имеется не менее трех точек. ■

т. е. не лежат в одной плоскости, тогда точки А, В и С различны и не лежат на одной прямой.

Таким образом точки А, В, С – точки общего положения. ■
Свойство 7. В проективном пространстве любая плоскость и не лежащая в ней прямая имеют одну и только одну общую точку.
■ Пусть Ω – проективное пространство, которое порождается четырехмерным векторным пространством V₃ . Пусть а – прямая, а Ј - плоскость, которые порождаются соответственно двумерным векторным подпространством L и трехмерным векторным подпространством W. Прямая а и плоскость Ј принадлежат проективному пространству Ω. В пространстве Ώ пересечение подпространств L и W дает одономерное векторное подпространство V'. V' порождает точку, которая принадлежит как прямой а так и плоскости Ј .

Таким образом, плоскость и не лежащая в ней прямая имеют одну и только одну общую точку. ■

1. § 2. Модели проективного пространства.

Если найдено конкретное множество Р и конкретное отображение f: V'→P, удовлетворяющие аксиомам проективного пространства, то говорят, что построена интерпретация ( реализация ) данной системы аксиом. Само множество Р называется моделью проективного пространства.

точке О). Рассмотрим отображение f : V → PІ по следующему закону: ненулевому вектору ā из V поставим в соответствие прямую, проходящую через точку О и параллельную вектору ā. Отображение f, очевидно, удовлетворяет аксиомам проективного пространства, поэтому РІ - модель проективной плоскости. В этой модели проективными точками являются прямые связки с центром О, а проективными прямыми – множество всех прямых, проходящих через точку О и лежащих в некоторой плоскости.

Аналогично можно построить модель трехмерного проективного пространства.
Модель № 2. Пусть А⁴ четырехмерное аффинное пространство над векторным пространством V. Обозначим через Рі множество всех прямых пространства А⁴ проходящих через некоторую точку О. Рассмотрим отображение f : V' → Рі по следующему: при котором ненулевому вектору ā ставится в соответствие прямая, проходящая через точку О и параллельная вектору ā. Это отображение удовлетворяет аксиомам проективного пространства, поэтому Рі - модель трехмерного проективного пространства. Проективными точками, как и в модели РІ, являются прямые пространства А⁴ проходящие через точку О. Проективными прямыми

( плоскостями ) является множество всех прямых, проходящих через точку О и лежащих в двумерной ( трехмерной ) плоскости пространства А⁴

Точке А прямая а отображение U относит точку А' прямой а'; однако здесь имеется исключение: если ОD║а', то точка D не имеет образа в отображении U.

Обозначим, далее, через Е' ту точку прямой а', для которой ОЕ'║а; каждая точка В' прямой а, отличная от Е', имеет в преобразовании U прообраз В на прямой а; точка же Е' прообраза не имеет. Мы видим, что отображение U не является взаимно однозначным.

Для устранения этого дефекта мы добавим к точкам каждой прямой ещё одну несобственную точку, принимая при этом, что две параллельные прямые имеют одну и ту же несобственную точку. Пусть D'_∞ есть несобственная точка прямой а', а Е_∞ - несобственная точка прямой а; в силу указанного соглашения в отображении U точка D'_∞ будет служить образом для точки D, а Е_∞ - прообразом для точки Е': D'_∞ = U(D), Е' = U(Е_∞); отображение U стало взаимно однозначным.

Читатель не должен думать, что тем самым мы сделали параллельные прямые евклидовой плоскости пересекающимися; введена лишь своеобразная терминология: вместо слов « прямые параллельные » мы будем говорить « прямые имеют общую несобственную точку ». Как мы убедимся дальше, это соглашение оказывается весьма целесообразным.

Две параллельные прямые имеют одно и то же направление; поэтому можно считать также, что несобственная точка прямой есть не что иное, как её направление. Таким образом, утверждение « две прямые имеют общую несобственную точку » означает, что эти прямые имеют одно и то же направление, т. е. параллельны.

[ Несобственную точку прямой иногда называют бесконечно удалённой. Причина этого названия в следующем: если на рис.5 мы будем удалять точку D в бесконечность, то прямая РD будет неограниченно приближаться к прямой РК, параллельной а.]

проходит через точку О, параллельно вектору .

Рассмотрим отображение π, которое двумерному векторному пространству ставит в соответствие проективную прямую Р₁ по следующему закону любому вектору ставится в соответствие точка Х, которая является точкой пересечения расширенной прямой d₁ и прямой l = . Таким образом любому вектору , неколлинеарному направляющему вектору прямой d₁, ставится в соответствие собственная точка расширенной прямой d₁.

А вектору, коллинеарному направляющему вектору прямой d₁, ставится в соответствие несобственная точка расширенной прямой d₁.

Проверим выполнимость аксиом проективного пространства.

1⁰. Докажем, что π – сюрьекция.

На самом деле, через любую точку Х расширенной прямой d₁ и точку О проходит единственная прямая l =(ОХ). Таким образом, всегда существует вектор , коллинеарный вектору (т.е. прямой l).

2⁰. Докажем, что если ║ , то π( ) = π( ).

Пусть ║ , тогда прямые l = и m = совпадают. Тогда совпадают и точки, в которых эти прямые пересекают расширенную прямую d₁, таким образом, π( ) = π( ). ■.

Б) Обратимся теперь к перспективному отображению Т плоскости ω на плоскость ω' из центра О (рис.7). проведём через точку О плоскость β, параллельную плоскости ω'; она пересечёт плоскость ω по прямой l. Если точка L лежат на прямой l, то прямая ОL параллельна плоскости ω'; образом точки L в отображении Т служит несобственная точка L'∞ прямой ОL; точка L'∞ принадлежит всем тем прямым плоскости ω', которые параллельны прямой ОL, и, следовательно, принадлежит и самой плоскости ω'.

Пусть LK плоскости ω перейдёт при отображении Т в прямую КN, по которой плоскость ОLК пересекает плоскость ω'; так как ОL║ω', то по известной теореме стереометрии прямая КN параллельна прямой ОL. Следовательно, пучок прямых плоскости ω с центром в точке L преобразуется в множество М прямых плоскости ω', параллельных прямой ОL. Прямые множества М проходят все через точку L'∞; поэтому множество М надлежит назвать пучком прямых плоскости ω' с несобственным центром L'∞. Итак, в отображении Т пучку прямых плоскости ω с центром L соответствует в плоскости ω' пучок прямых с центром L'∞ = Т(L).

Прямая l не имеет образа в отображении Т; поэтому мы должны дополнить множество всех прямых плоскости ω' ещё одной, несобственной прямой l'_∞, принадлежащей также и плоскости β, и принять, что l'_∞ = Т(l). По указанной причине мы присоединяем к прямым каждой плоскости пространства несобственную прямую. Параллельные друг другу плоскости имеют общую несобственную прямую; иначе говоря, несобственная прямая есть направление плоскости. В отображении Т образы всех точек, лежащих на прямой l, будут несобственными точками, принадлежащими несобственной прямой l'_∞.

Аналогичным образом плоскость, проведенная через точку О параллельно плоскости ω, пересечет плоскость ω' по прямой m', для которой прообразом в отображении Т будет служить несобственная прямая m_∞ плоскости ω; прообразы всех точек прямой m' будут несобственными точками, принадлежащими несобственной прямой m_∞.Только теперь, после введения несобственных точек и плоскостей, отображение стало, как легко проверить, взаимно однозначным.

В результате присоединения к евклидову пространству всех перечисленных несобственных элементов оно превращается в проективное пространство.

Зададим отображение φ, которое любому вектору V₃ ставит в соответствие точка плоскости, в которой пересекает прямая связки с данным направляющим вектором. Проверим выполнимость аксиом проективного пространства. Покажем, что φ- сюрьекция.

Для любой собственной точки Х плоскости Ј и точки О существует вектор V₃ ,коллинеарный вектору . Для любой несобственной точки Х_∞ плоскости Ј и точки О существует хотя бы один вектор V₃ ,коллинеарный вектору . Также не сложно доказать выполнимость второй аксиомы: когда .

Таким образом, плоскость Ј является моделью проективной плоскости, и обозначается как Р₂. ■

Рассмотрим трехмерное векторное пространство V₃ без

нулевого вектора и S(О) – сферу. Построим сферическую модель проективного пространства.

■ Точка А'- диаметрально противоположная точке А..

Рассмотрим множество Р₂ пар диаметрально

противоположных точек сферы., т. е. такие как (А ; А'). Введем отображение по закону: для любого вектора существует единственная прямая l, проходящая через точку О параллельно вектору . Эта прямая пересекает сферу в двух диагонально противоположных точках.

Докажем, что сюрьекция. Для этого рассмотрим такие точки В, В₁, что прямые (ОВ) и (ОВ₁) совпадают. Тогда существует единственный вектор ║(ВВ₁). ■.

1. §3. Принцип двойственности. Малый принцип двойственности.

Принцип двойственности на плоскости заключается в следующем:

Рассмотрим расширенную плоскость Р₂, полученную путем присоединения к аффинной плоскости А₂ расширенной прямой d_∞. В аффинной плоскости верно утверждение о том, что две различные точки определяют единственную прямую. Данное утверждение верно и на расширенной плоскости Р_2. Если на Р₂ даны две бесконечноудаленные точки М_∞ и N_∞, то через них всегда проходит расширенная прямая d_∞, причем единственная. Если на расширенной плоскости дана действительная точка М и бесконечноудаленная точка В, то через них всегда проходит прямоя (МВ), и только одна. Если в данном утверждении заменить слово «точка» на слово «прямая», а «прямую» - на «точку», то получим двойственное утверждение: две различные прямые определяют единственную точку. Как известно, данное утверждение также является верным. ■.

и большой принцип двойственности.

Принцип двойственности в пространстве заключается в следующем.

1. §4. Теорема Дезарга.

В проективной геометрии важную роль играют доказываемые ниже теоремы Дезарга. Предварительно необходимо договориться о некоторых терминах и обозначениях.

Обозначается так: АВС .

(рис.9). Обе прямые ВС и В'С' принадлежат плоскости ОВС; по аксиоме связи они имеют общую точку Р, которая расположена в обеих плоскостях α и α', а следовательно, и на прямой s =α X α'. Аналогично убедимся в существовании точек Q= АС X А'С' и R=АВ X А'В',

а также и в том, что они обе принадлежат прямой s. Теорема Дезарга для случая 1) доказана.

2) Оба трехвершинника АВС и А'В'С' лежат в одной плоскости α (рис.10).

А) Если точка О лежит на одной из прямых АВ, ВС, СА, то утверждение теоремы очевидно. Если какие-нибудь из соответственных вершин трехвершинников АВС и А'В'С' совпадают, то утверждение теоремы также очевидно. В самом деле, если, например, точки А и А' совпадают, то в этом случае точки Р и N совпадают с точкой А, поэтому точки М, N и Р лежат на одной прямой (рис.10).

Б) Докажем теорему для случая, когда А и А₁, В и В₁, С и С₁ – различные точки.

Берем точку S, не принадлежащую плоскости α, и на прямой ОS- точку О₁, отличную от точек S и О, после чего проводим прямые О₁А, О₁В, О₁С и SА', SВ', SС'. Прямые О₁А и SА' обе принадлежат плоскости SОА и, следовательно, пересекаются в точке А₁=О₁А х SА'. Таким же образом убеждаемся в том, что существуют точки В₁=О₁В Х SВ' и С₁=О₁С х SС'. Точки А', В', С' являются проекциями точек А₁, В₁, С₁ на плоскости α из точки S.

Трехвершинники АВС и А₁В₁С₁ лежат в различных плоскостях и имеют центр перспективы О₁; по доказанному в случае 1) точки Р = ВС х В₁ С₁,

Q = АС х А₁С₁, R= АВ х А₁В₁ лежат на одной прямой s, принадлежащей плоскости α. При проектировании из точки S на плоскости α прямые В₁С₁, А₁С₁, А ₁В₁ перейдут соответственно в В'С', А'С', А'В', точки же Р, Q, R и

прямые ВС, АС, АВ, как лежащие в плоскости α, останутся при этом

неизменными; поэтому Р= ВС Х В'С', Q= АС Х А'С', R= АВ Х А'В'. Так как эти три точки Р, Q, R принадлежат прямой s, то теорема доказана для случая 2).

По малому принципу двойственности следует обратная теорема Дезарга:

Теорема Дезарга. (обратная).

Если соответственные стороны трехвершинников АВС и А'В'С', лежащих в одной плоскости, пересекаются попарно в трех точках, принадлежащих одной прямой, то прямые, соединяющие соответственные вершины обоих трехвершинников, проходят через одну и ту же точку.

Обратной теореме Дезарга можно дать также следующую, более краткую формулировку: если два трехвершинника имеют ось перспективы, то они имеют и центр перспективы.

Теоремы не требуют доказательства, так как их справедливость устанавливается по принципу двойственности.

1. 
   
   жүктеу/скачать 1.71 Mb.
   
   Достарыңызбен бөлісу: