Раздел 2. Аналитическая геометрия проективного пространства

В репере R = (А₀, А₁, Е) собственная точка М d (М ≠ А₀, М ≠ А₁) имеет координаты

(х⁰, х¹). Доказать, что .

Указание к решению. Пусть ( ) – базис векторного пространства, порождающий репер R, и вектор = . Тогда

.

(А₀А₁, Е) = t = t; (1)

(А₀А₁, М) = λ ; (2)

(1), (2) .

репере R'.

определения координат точки А теперь достаточно

определить координаты направляющего вектора

прямой SА, например вектора SА, в системе (S, е_i).

Так как , то

.

Поэтому .

Следовательно, .

Итак, координаты вектора SА равны 2, . Это и есть координаты точки А в системе R (Е_i): А (2; ) и А (4 ; - 1).

Согласно формуле уравнение прямой Е₂Е₃ имеет вид: .

Подсчитывая определитель, получаем х₁ = 0. Аналогично находятся уравнения других координатных прямых: х₂ = 0, х₃ = 0.
Задача 12. Найдём точку пересечения прямых и (2; -1; 1) и v (1; 3; -2).

Решение. Решая систему: составленную из уравнений данных прямых, находим: . Это и есть координаты точки пересечения.
Задача 13. Найдём точку пересечения прямой и (2; -1; 1) с прямой, проходящей через точки А (2; -1, 0) и В (3; -3; 1).
Решение. Решим задачу при помощи параметрических уравнений прямой АВ, которые согласно формуле имеют вид:

Определим, при каких значениях параметров α и β координаты текущей точки прямой АВ удовлетворяют уравнению прямой и. Имеет: 2 (2α + 3β) – (- α - 3β) + β = 0 или после упрощений: α + 2β = 0. Можно положить α = 2, β= -1 либо взять какие-либо другие, пропорциональные значения α и β. Из параметрических уравнений прямой АВ при этих значениях параметров получаем х₁ = 1, х₂ = 1, х₃ = -1. Следовательно, искомая точка имеет координаты (1; 1; -1).

где (и₁; и₂; и₃) – координаты искомой прямой и, уравнение которой теперь можно записать в следующем виде:

(2λ + μ) х₁ + (-λ + μ) х₂ + (λ - μ) х₃ = 0.

Полученному уравнению удовлетворяют координаты точки А. Поэтому

(2λ + μ) 2 + (-λ + μ)(-1) + (λ - μ) 3 = 0, откуда после упрощений получаем

4λ – μ = 0. Пологая λ = 1, μ = 4, находим . Сократив координаты на 3, получаем уравнение искомой прямой 2 х₁ + х₂ - х₃ = 0.

а) составьте уравнения прямых (О_iО_j), (О_iА).

а) точку пересечения данных прямых;

б) прямую, проходящую через найденную точку и точку (1, 0, 0).
Задача 26.Напишите уравнение прямой, проходящей через точки:

а) (1, 2, -1) и (3, 5, -2);

б) (0, 3, 1) и (-1, 2, 0).
Задача 27. Найдите точку пересечения прямых:

а) х₁ - х₂ + 2х₃ = 0 и 2х₁ + 5х₂ + 4х₃ = 0;

б) -4х₁ + 2х₂ + 2х₃ = 0 и х₁ + х₃ = 0.
Задача 28. Докажите, что точки (5, 1, 3), (-2, 4, -3), (8, 6, 3) лежат на одной прямой. Напишите уравнение этой прямой.
Задача 29. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку пресечения прямых

х₁ + х₃ = 0 и 3х₁ + х₂ – 2х₃ = 0 и точку (3, 5, -1).
Задача 30. Докажите, что прямые х₁ + х₂ = 0, 2х₁ - х₂ + 3х₃ = 0 и 5х₁ + 2х₂ + 3х₃ = 0 проходят через одну точку. Найдите координаты этой точки.
Задача 31. Найдите точку пересечения прямой 7х₁ - 2х₂ + 4х₃ = 0 с прямой, проходящей через точки (3, 1, 5) и (-2, 0, 7).
Задача 32. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку пресечения прямых

х₁ – х₂ + х₃ = 0, 2х₁ + х₂ = 0 и точку (0, 2, 1).
Задача 33. Базисными точками в указанном порядке являются точки А (1, 2, 1), В (1, 1, 0), С (2, 1, 1), D (0, 1, 7). Найдите координаты точки Х (2, 3, 3).

§ 3. Формулы преобразования проективных однородных координат. ( формулы перехода от одного репера к другому.) Формулы преобразования плоскости.
Задача 34. Записать формулы преобразования координат точек проективной плоскости, если матрица перехода от репера R к реперу R' имеет вид:


Решение. Столбцы этой матрицы несогласованны, поэтому сначала запишем формулы преобразования координат для данной матрицы:

2к₁ + 4к₂ = 5, к₁ + 3к₂ = 4, к₃ = 3.

Отсюда получаем к₁ = - , к₂ = , к₃ = 3. Теперь запишем матрицу перехода от репера R к реперу R', затем искомые формулы преобразования:

ρх₁ = - х₁' + 6х₂',

ρх₂ = - х₁' + х₂',

ρх₃ = 3х₃'.
Задача 35. Зная координаты трёх точек и их образов: А (0, 1)→А'(1, 2), В (2, -1)→В' (1, 0), С (1, -2)→ С' (0, 1), найдём уравнения проективного преобразования прямой.
Решение. Используем известные формулы преобразования:

Подставляя в эту систему координаты данных точек, получаем:

В этих шести уравнениях семь неизвестных, но так как неизвестные определены лишь с точностью до множителя, то, придав одному из неравных нулю неизвестных произвольное значение, например λ₁ = 1, получим: р₁₂ = 1, р₂₂ = 2, р₂₁ = 1, р₁₁ = 2.

Таким образом, мы определили все коэффициенты в уравнениях преобразования:


Задача 36. Составить формулы преобразования проективных координат при переходе от репера R = (А₀, А₁, А₂, Е) к реперу R' = (А'₀, А'₁, А'₂, Е'), если в репере R А'₀ (1, 0, -1), А'₁(2, 1, 0), А'₂(0, 0, 1) и

1. 
   Е' (3, 1, 0),
   
2. 
   Е' (1, 1, 2).
   

а) О'₁ (1, 2, 0), О'₂ (4, -1, 1), О'₃ (2, 3, 1) Е' (2, 0, -1),

б) О'₁ (х₁', х₂', х₃'), О'₂ (у₁', у₂', у₃'), О'₃ (z₁', z₂', z₃') Е' (и₁', и₂', и₃').

Указание к решению.
Задача 38. Найдите проективное преобразование проективной плоскости, при котором:

а) точки (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 1) переходят соответственно в точки (2, 3, 8),

(3, -5, -9), (-7, 4, 1), (1, -1, 0);

б) точки (1, 0, 1), (2, 1, 1), (3, -1, 0), (2, 5, 2) переходят соответственно в точки (-1, 0, 3),

(1, 1, 3), (2, 3, 8), (3, 0, -4);

в) точки (2, 1, 0), (0, 1, 1), (1, -1, 1), (1, 3, 0) переходят соответственно в точки (1, 0, 0),

(0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 1);

г) точки (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) неподвижны.

а) образы точек (2, 1, 0), (1, 1, 2), (0, 0, 1);

б) прообразы точек (3, 0, 4), (0, 1, -1);

в) образ прямой х₁ + 2х₂ - х₃ = 0;

г) прообраз прямой х₂ + х₃ = 0.
Задача 40. Найдите неподвижные точки и инвариантные прямые проективного преобразования:

а) λх₁' = 4х₁ - х₂, λх₂' = 6х₁ - 3х₂, λх₃' = х₁ - х₂ - х₃;

б) λх₁' = х₂, λх₂' = х₃, λх₃' = х₁.
Задача 41. Найдите образы точек (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 1) при проективном преобразовании

λх₁' = 2х₁ – 3х₂ + х₃, λх₂' = 3х₁ – х₂ + 4х₃, λх₃' = 3х₁ – 2х₂ + 5х₃.

§4. Перспективное и проективное отображения прямых и пучков. Инволюция.

а) В пучке S' постройте прямую d', соответственную произвольной прямой d [S].

б) Постройте образ и прообраз общей прямой данных пучков.



Задача 43. Проективное преобразование прямой l (π: l → l) задано тремя парами соответственных точек: (А, А'), (В, В'), (С, С').

а) Постройте образ произвольной точки Х прямой l в этом преобразовании.

б) Постройте двойную точку этого преобразования.
Задача 44. Проективное преобразование π: [S] → [S'] – в пучке прямых с центром S задано тремя парами соответственных прямых: (а, а'), (b, b'), (с, с'). Постройте образ произвольной прямой х пучка S в этом преобразовании.
Задача 45. На прямой g даны двойные точки М, N проективного преобразования π: g → g и пара соответственных точек (А, А').

а) Постройте образ произвольной точке В g в этом преобразовании.

б) Докажите, что существует проективное преобразование, при котором А →А', В→В', М→М, N→N.
Указание к решению. Через точку М проведите произвольную прямую с, а через точку N – произвольную прямую n. На прямой n возьмите произвольную точку S и постройте А₀ = с ∩ (AS) и S' = n ∩ (A'A₀).
Задача 46.Проективное преобразование π: g → g задано двойной точкой М и двумя парами соответственных точек (А, А') и (В, В'). Постройте вторую двойную точку этого преобразования.
Указание к решению. Через точку М проведите произвольную прямую u и на ней возьмите две произвольные точки S и S'. Пусть А₀ = (SA) ∩ (S'A'), (SB) ∩ (S'B'), v = A₀B₀. Рассмотрите композицию перспективных отображений относительно центра S и относительно центра S'.
Задача 47. Составьте формулы проективного преобразования прямой по трём парам соответственных точек:

а) М (1) и М' (-4); N (0) и N' ( ); Р (3) и Р' (10);

б) А (1, 0) и А' (2, 1); В (0, 1) и В' (1, 0); С (1, 1) и С' (1, -1);

в) А (1, 1) и А' (1, 0); В (1, 2) и В' (-1, 1); С (1, -3) и С' (1, 3).

а) б) .

а) ; б) х' = -2х + 6;

в) г)
Указание к решению.

а) Точки с координатами (2) и (-1).

б) точки с координатами (∞) и (2).

в) точки с координатами (1, , -1) и (1, - , -1).

г) неподвижных точек нет.
Задача 50. При каком значении коэффициента h проективное преобразование прямой, заданное уравнением: , будет параболическим?
Ответ. h = 8 или h = -4.

Задача 51. Инволюция задана двумя парами соответственных точек:

φ: А (1, 1) ↔ А' (5, -3), В (1, 0) ↔ В' (2, -1). Найдём уравнения инволюции.

Полагая с = 1, находим сначала λ'' = -1, а = -2, а затем λ' = -1, а = -3. Получаем уравнения инволюции φ:

а) А (1, 1) и А' (1, 3); В (1, -2) и В' (-7, 3);

б) А (2, 1) и А' (1, 0); В (3, -1) и В' (-1, 1);

в) А (1, 2) и А' (1, 0); В (2, 3) и В' (8, 1);

г) А (2, 1) и А' (7, 6); В (1, 3) и В' (11, -2).
Ответ. а) ; б) ; в)
Задача 54. Составьте формулы инволюции на прямой, заданной своими двойными точками:

а) А (1, 1), В (2, -1);

б) А (0, 1), В (1, -1);

в) А (0), В (∞). Как называется такое преобразование на аффинной расширенной прямой?

а) ; б)

в) г)
Ответ.

а) Гиперболическая инволюция с неподвижными точками М (1) и N .

б) Эллиптическая инволюция.
§ 5. Сложное отношение четырех точек на плоскости. Свойства.
Задача 56. В репере R = (А₁, А₂, А₃, Е) задана прямая параметрическими уравнениями

х₁ = λр₁ + μq₁, х₂ = λр₂ + μq₂, х₃ = λр₃ + μq₃,проходящая

через две точки Р (р₁, р₂, р₃) и Q (q₁, q₂, q₃). Доказать, что если две точки М₁ и М₂ этой прямой имеют параметры М₁ (λ₁, μ₁), М₂ (λ₂, μ₂), то

(PQ, М₁М₂) = . (1)
Решение. Предположим, что прямая PQ не проходит через точку А₃. Обозначим через P', Q', М₁', М₂' проекции точек P, Q, М₁, М₂ на прямую А₁А₂ из центра А₃. По теореме о координатах проекции точки на координатную прямую эти точки имеют следующие координаты на прямой А₁А₂ в репере R₃ = (А₁, А₂, Е₃), где Е₃ – точка пересечения прямых А₃Е и А₁А₂:

P' (р₁, р₂), Q' (q₁, q₂), М₁' (λ₁ р₁ + μ₁ q₁, λ₁ р₂ + μ₁ q₂), М₂' (λ₂ р₁ + μ₂ q₁, λ₂ р₂ + μ₂ q₂).

(P'Q', М'₁М'₂) = .

Как известно, что (P'Q', М'₁М'₂) = (PQ, М₁М₂), поэтому справедливо равенство (1).

Равенство (1) верно также и в том случае, когда прямая PQ проходит через точку А₃. В этом случае одна из точек А₁ и А₂, например А₂, не лежит на этой прямой. Тогда точки

P, Q, М₁, М₂ проектируем из центра А₂ на прямую А₁А₃ и аналогично предыдущему приходим к формуле (1).
Задача 57. Вычислить сложное отношение четырёх точек А (1, 0, 1), В (1, 1, 3), С (2, 1, 4), D (0, 1, 2) по их проективным координатам на плоскости.
Ответ. (АС, ВD) = -1.
Задача 58. Каковы проективные координаты середины С отрезка [АВ] в репере

R = (А, В, D_∞) на расширенной прямой (АВ)?
Ответ. С (1, -1).
Задача 59. Даны четыре точки евклидовой плоскости своими неоднородными аффинными координатами: А (0, 2), В (1, 4), С (2, 6), D (4, 10). Убедимся в их коллинеарности и найдём (АВСD).
Решение. Через данные точки проведём прямые, параллельные оси ОУ (см. рис.). Они пересекают ось ОХ в точках А₁ (0, 0), В₁ (1, 0),

С₁ (2, 0), D₁ (4, 0) соответственно. По следствию

основного свойства и по формуле

(АВСD) = (АВС) : (АВD) = (АС/СD) : (АD/DВ)

получаем

(АВСD) = (А₁В₁С₁D₁) = (А₁С₁/С₁В₁) : (А₁D₁/D₁В₁).

Но . Поэтому

(АВСD) = .
Задача 60. А, В, С, D, Е попарно различные точки проективной прямой. Покажите, что (АВСD)( АВDЕ)( АВЕС) = 1.
Указание к решению. Используйте определение сложного отношения четырех точек.
Задача 61. Даны точки А, В, С, D. Докажите их коллинеарность и найдите сложные отношения (АВСD), (АВ DС), (АС ВD):

а) А (1, 1, 2), В (-2, 1, 3), С (1, 0, -5), D (-3, 2, 1),

б) А (2, 1, 0), В (0, -1, 3), С (2, 2, -3), D (4, 1, 3).
Указание к решению. А) Убедитесь в коллинеарности точек А, В, С, а затем А, В, D. Координаты данных точек будем считать координатами векторов, их порождающих . В силу коллинеарности точек А, В, С, D, вектора компланарны, а потому . Учитывая координаты векторов , решая соответствующую систему, получим . Тогда по определению

(АВ, СD) = = -1.

Б) (АВ, СD) = -2
Задача 62. Убедившись, что точки А, В, С лежат на одной прямой, найдите координаты точки D, лежащей на той же прямой и удовлетворяющей соотношению (АВ СD) = к, если:

а) А (1, -2, -1), В (1, 0, -2), С (-3, -4, 8), к = ,

б) А (2, 0, -1), В (-2, 1, 0), С (2, 2, -3), к = .
Указание к решению. Смотрите указания к задаче 64. Ответ: а) D(2: -2: -3),

б) D(2: 1: -2).

(АВСD) = (АВС) : (АВD) = - 2 : = .

Из этого анализа вытекает следующий способ построения искомой точки. Пусть Р, Q, М – данные точки на прямой d (см. рис.).

Через точку Р проведём какую-нибудь прямую, не совпадающую с прямой d, и возьмём на этой прямой две точки А и В. построим прямые QА, QВ, МА и обозначим через С точку пересечения прямых МА и QВ. Построим затем прямую РС и обозначим через D точку пересечения этой прямой с прямой АQ(на рис. прямые, которые мы строим, обозначены цифрами, причём цифры соответствуют той последовательности, в которой проводятся прямые). Построив, наконец, прямую ВD, получаем искомую точку Х как точку пересечения прямых ВD и d.

Задача решена правильно, так как АВСD – полный четырёхвершинник в диагональными точками Р, Q и R, где R – точка пересечения прямых АС и ВD. По доказанной теореме (РQ, МХ) = -1.

(АВ, С D_∞) = - 1.

Для построения искомой прямой воспользуемся теоремой о свойстве полного четырёхвершинника. Построим какой-нибудь полный четырёхвершинник МNРQ так, чтобы точки А и В были его диагональными точками, а точка С лежала на стороне, проходящей через третью диагональную точку К

(см. рис.).

Проведем прямые АМ и ВМ и какую-нибудь

прямую, роходящую через точку С, но

не проходящую через точки А и М. Пусть

эта прямая пересекает прямые АМ и ВМ

соответственно с точках N и Q. Затем

проводим прямые АQ и ВN, которые

пересекаются в точке Р. Прямая МР искомая.

Задача решена правильно, так как МNРQ – полный четырёхвершинник, а А и В – его диагональные точки,

поэтому если Х = АВ ∩ МР, то по теореме о свойстве полного четырёхвершинника (АВ, СХ) = - 1. По условию задачи С – середина отрезка АВ, следовательно, Х – несобственная точка D_∞ прямой . Отсюда следует, что АВ║МР.
Задача 67. Даны параллельные отрезок АВ и прямая р. с помощью одной линейки построить середину отрезка АВ.
Решение. Задача решается аналогично предыдущей.

Обозначим через d прямую расширенной плоскости Ē₂,

проходящую через точки А и В, а через D_∞ несобственную

точку этой прямой. Задача сводится к построению точки С

прямой d, удовлетворяющей условию (АВ, СD_∞) = -1.

Здесь А и В – данные точки, а D_{∞ -} недоступная точка, в

которой пересекаются прямые АВ и p.

Возьмем точку N, не лежащую на прямых АВ и р, проведем прямые АN и ВN (см. рис.). Обозначим через М и Р точки пересечения этих прямых с прямой р. Затем проводим прямые АР и ВМ и находим точку Q = АР ∩ ВМ. Прямая NQ пересекает прямую АВ в искомой точке С.

Возьмём какую-нибудь точку S, не лежащую на прямых а и а', и построим два трёхвершинника АВС и А'В'С' так, чтобы прямые АА', ВВ', СС' проходили через точку S, причём В, С а, В', С' а' и М = АВ ∩ А'В' (см. рис.).

Тогда точки М, N и D_∞, где N = АС ∩ А'С', лежат на одной прямой х, т. е. МN – искомая прямая.

Через точку S проведём две произвольные прямые и обозначим точку пересечения этих прямых с данными прямые ВМ и В'М и через то прямыми а и а' через В, С, В', С' (см. рис.). Затем строим чку S проводим прямую, которая пересекает эти прямые в точках А и А'. Если N = АС ∩ А'С', то прямая МN искомая. В самом деле, так как прямые АА', ВВ', СС' лежат на одной прямой.Значит, прямая МN проходит через точку D_∞, т. е. на Евклидовой плоскости прямые а, а' и МN параллельны.

Рассмотрим данный параллелограмм

как фигуру плоскости А₂. Так как АС║ВD и

АD║ВС, то на проективной плоскости Р₂

точки R_∞ = АВ ∩ СD и S_∞ = АD ∩ ВС

лежат наодной прямой d_∞ (рис.).

Таким образом,на плоскости Р₂

с диагональными точками Е, R_∞ и S_∞.

Если М_∞ = АС ∩ d_∞,то сложное отношение четырех точекА, С, Е, М_∞ является гармоническим,т. е. (А, С, Е, М_∞) = -1, поэтому и (АС, Е) = -1.Таким образом, Е – середина отрезка АС. Точно также доказывается, что Е – середина отрезка ВD.
Задача 70. Дана произвольная трапеция АВСD с основаниями АВ и СD. Доказать, что прямая, проходящая через точку S пересечения прямых АD и ВС и через точку М пересечения диагоналей, проходит через середины Е и F оснований трапеции (рис. ).
Решение. Рассмотрим данную трапецию АВСD. Так как АВ║СD, то на проективной плоскости Р₂ точка N_∞ = АВ ∩ СD лежит на расширенной прямой d_∞. Таким образом, на проективной плоскости Р₂ АВСD – полный четырехвершинник с диагональными точками М, S и N_∞ (рис. ). Как известно, (АВ, ЕN_∞) = -1 и (СD, FN_∞) = -1, поэтому

(АВ, Е) = -1 и (СD, F) = -1. Таким образом, Е – середина отрезка АВ, а F – середина отрезка СD.

угла треугольника имеем: , где

; так как векторы АК и КВ сонаправлены,

то (АВК) = λ. Аналогично по свойству биссектрисы

внешнего угла (АВL) = - λ. Поэтому

(АВКL) = λ : (- λ) = - 1.

1) середину отрезка, заданного на одной из данных прямых;

2) прямую, проходящую через данную точку и параллельную данным прямым.
Задача 75. Доказать, что точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины её оснований лежат на одной прямой.
Указание к решению. На расширенной плоскости рассмотреть полный четырёхвершинник с вершинами в вершинах трапеции.
Задача 76. Найдите три гармонические четвёрки точек, лежащие на диагоналях данного четырёхвершинника АВСD.
Задача 77. Пользуясь только линейкой, постройте четвёртую гармоническую точку D к точкам А, В, С в следующих случаях:

а) АВ СD;

б) АС ВD;

в) АD ВС.

KM ∩ PL = C. Тогда с помощью четырех вершинника KLMP нетрудно проверить, что СD АВ.

(А, В; С, D) = 5.

искомая.

(аbсd) = (АВСD_∞). Но С – середина отрезка АВ, так как

четвёрки а, b, с, d.

а) а: х₁ –2х₂ + х₃ = 0, б) а: х₂= 0,

а) а: 2х₁ + х₂ = 0, б) а: х₁ – х₂ + х₃ = 0,

Вычитая второе уравнение из первого, получим а₁₃ = 0; вычитая четвёртое из третьего, получим а₂₃ = 0, так что система сводится к следующей:

Из первых двух уравнений имеем

Подставляя эти значения в последнее, получим, а₁₂ = 0. Итак, окончательно:

или

1. 
   
   жүктеу/скачать 1.71 Mb.
   
   Достарыңызбен бөлісу: