Как развивать пространственное воображение обучающихся

учитель математики МОУ гимназии №1 г. Липецка

Не секрет, что многие учащиеся не обладают достаточно развитым пространственным во­ображением. Проблема старая, но актуальная. Если учитель не решает ее еще тогда, когда ведет младшие и средние классы, то через несколько лет его уроки стереометрии с теми же учениками будут терять большую часть своей эффективности.

Все психические процессы, в том числе и пространственное воображение, совершенст­вуются в результате деятельности. Эта деятель­ность должна чем-то стимулироваться и на­правляться, т. е. необходима система упражнений.

В этой статье предлагаются нестандартные и занимательные задачи для развития пространственного воображения. В квадратных скобках даны ответы, краткие решения, указания.

Для решения многих из этих задач не надо специальных знаний, т. е. их можно предлагать уже в V классе, а неко­торые — и в начальной школе. Решение наибо­лее сложных задач можно поощрять отметкой.

Первую серию задач можно назвать «выход в пространство».

Это устные за­дачи, в которых, казалось бы, ничего не сказано о пространстве. Даже наоборот, упоминание о треугольниках в задаче 2 и о расположении монет в задаче 3 (учащиеся сразу думают, что монеты должны лежать на плоскости) навязы­вает «плоскостные» образы. Нужно преодолеть это, «вывести» мысль «в пространство», чтобы правильно выполнить предложенные за­дания.

1. Разделите круглый сыр тремя разрезами на 8 частей. [Ответ на рис.1].

2. Из шести спичек сложите четыре правильных треугольника так, чтобы стороной каждого была целая спичка. [Треугольная пирамида с ребром, равным спичке].

3. Расположите 5 одинаковых монет так, чтобы каждая из них касалась четырех осталь­ных. [Ответ на рис. 2].

4. Можно ли расположить 6 одинаковых карандашей так, чтобы каждый касался пяти остальных? [Можно, ответ на рис. 3].

5. Вырезать из целого листа бумаги такую же фигуру, как на рис. 4а. [Прямоугольный лист разрезать по отрезкам а, b, с (рис. 4б), заштрихованную часть повернуть около прямой l на 180°].

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3

Рис. 4

Часто советуют сопровождать изучение аксиом стереометрии и их следствий изображениями многогранников, решением за­дач на построение сечений и т. д. Но ученики должны «видеть» этот многогранник. Поэтому еще до изучения стереометрии надо предлагать учащимся задачи с кубом, параллелепипедом и некоторы­ми другими фигурами. Эта серия заданий связана с иллюзиями и невозможными объектами.

На рис. 5 любой математик видит куб, а не только два квадрата, вершины которых попарно соединены. А нарисованы все-таки квадраты...

Рис. 5 Рис. 6

Видеть куб нам позволяет хорошо развитое пространственное воображение. Но удивитель­но: один раз мы видим этот куб как бы сверху и справа (рис. 6а), а другой — снизу и слева (рис. 6б). Это уже казусы иллюзии, которыми надо уметь управлять, подчиняя свое воображение той реальности, о которой говорится в конкретной задаче. Но многие учащиеся долго не могут этому научиться. Помочь им овладеть этим умением надо еще в средних классах школы, предлагая упражнения 6 – 10.

6. 
   Закройте листом цветной бумаги переднюй грань куба, и опишите свои впечатления. [Более четко просматривается такой куб, как на рис. 6а.]
   
7. 
   Закройте листом цветной бумаги заднюю грань куба и постарайтесь передать свои впечатления рисунком. На что похож рисунок: на шкафчик? полочку?
   
8. 
   Что вы видите на рис. 7? [Брусок с углублением (задняя стенка углубления – плоскость АВ), или брусок с выступающим шипом, где АВ – его передняя грань, или открытую часть пустого ящика с прилегающим к стенкам изнутри кирпичом].
   

Рис. 7

6. 
   На рис. 8а фигура не дорисована (верхняя часть изображения закрыта листом бумаги.) Дорисуйте ее.
   

Рис. 8

6. 
   Поясните, может ли существовать не на бумаге, а в жизни фигура, показанная на рис. 9.
   

Рис. 9 Рис. 10

Третья серия заданий использует развертки куба, цилиндра.

11. Сколько граней у шестигранного карандаша? [Восемь, если карандаш не отточен. Часто отвечают «шесть»].

12. Из бумаги склеили куб. Ясно, что его мож­но разрезать на шесть равных квадратов. А можно ли его разрезать на двенадцать квадратов? [Нетрудно доказать, что фигура, состоящая из объединения треугольников А и В на рис. 10, расположенных в одной плоскости, есть квадрат].

13. На рис. 11 слева показана развертка какого-то куба. Какие кубы из тех, что даны справа на том же рисунке, можно сложить из этой развертки? [Кубы на рис. 11, b, с, f].

Рис. 11

14 . На рис. 12а изображен куб, на гранях которого написаны числа 1, 2, 3, 4, 5, 6.(Мы видим только три первых числа.) Сумма чисел, стоящих на противолежащих гранях, равна 7. На четырех развертках куба (рис. 12б) напи­шите пять чисел – одно уже написано – так, чтобы это соответствовало нашему кубу.

Рис. 12

15. На рис. 13а изображен кусок бумаги. Можно ли оклеить в один слой, этим куском бу­маги, не разрезая его, какой-нибудь кубик? [Можно, если грань куба такая, как заштрихо­ванная на рис. 13б].

Рис. 13

Рис. 14
Задания на проекции фигур.

17. Какую форму имеет тень куба на плоскость, перпендикулярную его диагонали, от пучка лучей света, параллельных этой диаго­нали? [Правильный шестиугольник].

18. На рис. 15а жирной линией показаны фигуры, согнутые из проволоки. Изобразите три их проекции: на переднюю грань куба, на боковую его грань и на верхнюю грань. [Ответы на рис. 15б под изображениями со­ответствующих фигур].

19. Согните из мягкой проволоки фигуру, при параллельном проектировании которой на разные плоскости получаются буквы: С, Л, О, Г. [См. рис. 16. Есть и другие решения, если вписывать проволочную фигуру в куб].

Рис. 16

Рис. 17

Дощечку с отверстиями к задаче 20 тоже можно рассмотреть в натуре – вырезать из картона, фанеры или пенопласта.