Кантор тектес жиындар мен функциялардың ерекше қасиеттері және олардың қолданылуы

№ 8 қазақ гимназиясы, Жезқазған қаласы

Кантор жиыны келесі тәсәлмен құрылады: кесіндісі өзара тең үш бөлікке бөлінеді. Ортасындағы интервалы алынып тасталады; содан кейін, қалған екі сегменттен центрі сол сегменттердің ортасында, ұзындығы болатын интервалдар алынып тасталады; одан кейін, қалған төрт сегменттерден центрі сол сегменттердің ортасында, ұзындығы болатын интервалдар алынып тасталады, т.с.с. бұл процессті ақырсыз жалғастыра береміз.

Нәтижесінде сегментінен мынадай ашық жиыны алынып тасталады

([3], 50-бет):
.

Нәтижесінде сегментінде қалған жиыны кантор жиыны деп аталады. Ал жиыны кантор жиынына іргелес интервалдардан тұрады. ([4], 34-бет)

Кантор жиынының арифметикалақ сандар жүйесімен байланысын көрсетейік. Ол үшін үштік санау жүйесін қолданайық.

Ең бірінші алынып тасталған интервалдың ішіне, яғни интервалына қай нүктелер кіреді деген сүрақты қояйық. Сол нүктелерді үштік санау жүйесінде жазсақ , екені анық. Екінші қадамда алынып тасталатын екі интервалдың нүктелері үшін үштік санау жүйесінде . Яғни сегментінің қалған нүктелерін үштік санау жүйесінде қарастырғанда үтірден кейін бірінші орнында 1 цифрі түрмайтыны анық және үтірден кейін екінші орында 1 цифрі тұрмайды, т.с.с.

Сол интервалдардың шеткі нүктелерін екі түрде көрсетуге болады
;
Кантор жиынын құру кезіндегі бірінші қадамда сегментінен бірінші үштік таңбасы 1 болатын нүктелер ғана жойылады және жойылуы қажет.

Дәл солай екінші қадамда екінші үштік таңбасы 1 болатын нүктелер ғана жойылатының және жойылуы қажет екенін орнатамыз, т.с.с. жалғстырамыз.

Бұл процессті аяқтағаннан кейін үштік санау жүйесінде үштік таңбаларының ешқайсысы 1-ге тең болмайтын сандар ғана жойылмай қалады да үштік санау жүйесінде үштік таңбаларының ең болмаса біреуі 1-ге тең болатын сандар жойылады. Яғни егер болса, онда оның үштік санау жүйесіде жіктелуі мынадай түрде болады:

Қысқаша айтсақ, жиыны үштік санау жүйесінде 1 цифрінсіз жазыла алмайтын сандардан, ал жиыны үштік санау жүйесінде 1 цифрінсіз жазыла алатын нүктелерден тұрады. ([3], 50-51-бет)

1. Кантор жиыны кемел жиын. Яғни ол тұйық және оңашаланған нүктелері жоқ жиыны болып табылады.

Белгілі теорема бойынша, кез келген шенелген бос емес кемел жиын сегмент, немесе белгілі бір сегменттен қиылыспайтын және сол сегментпен де, бір бірімен де ортақ шеттері жоқ интервалдар жиынын шығарып тастау нәтижесінде пайда болатын жиын болып табылады. Керісінше, сол әдіспен құрылған жиын кемел жиын болады. ([3], 50-бет)

2. Кантор жиыны кесіндісінде еш жерде тығыз емес. Яғни кез келген интервалының ішінде кантор жиынымен ортақ нүктесі жоқ басқа интервал табылады.

3. Кантордың жиыны континуум () қуатына ие. Яғни кантор жиыны саналымсыз жиын.

Осы қасиетті дәлелдейік. Бір жағынан жиынының нүктелері үштк жазылуда тек мен цифрларын қолданатын сандармен өзара бірмәндік сәйкестікте орналасады, сондықтан, жиынының нүктелерін екілік жазылуда мен цифрларын қолданатын сандармен өзара бірмәндік сәйкестік орнатуға болады. Мысалы, санына сәйкес санын сәйкес қоямыз. Екінші жағынан, шексіз екілік сандар жүйесіндегі жазылулар жартылай ашық интервалының нүктелерімен, бұдан нақты сандар жиынымен, өзара бірмәндік сәйкестікте тұр. Бұл, екілік жазулар жиыны (бұдан жиыны да) саналымсыз және оның қуаты -дан кем емес екенін көрсетеді. Ал енді екенін ескерсек, жиынының қуаты -ға тең екені анық. ([5], 113-бет)

4. Кантордың жиынының өлшемі нольге тең.

Берілген шенелген кесіндіден (жазықтықтан, кеңістіктен) үнемі қандай да бір қйылыспайтын бөліктерді алып тастау нәтижесінде пайда болатын жиындарды кантор типтес жиындар деп атайық. Ондай жиындарға көптеген мысалдар келтіруге болады. Мысалы, кесіндісінде жататын, ондық жазуда 4 пен 5 цифрларынсыз жазылатын нүктелер жиыны, немесе бестік жазуда 5 цифрынсыз жазылатын нүктелер жиыны, т.с.с. шексіз көп жиындар бар.

Осы жиындардын қасиеттері кантор жиынының қасиеттеріне ұқсас деп болжам жасауға болады. Бірақ кейбір қаиеттер үшін бұл болжам жалған. Бұған дәлел ретінде келесі өлшемі оң болатын кантор типтес жиынын қарастырайық:

кесіндісін тең интервалдарға бөліп, соңғы интервалды шығарайық. Қалған интервалдардың әрқайсысын интервалдарға бөліп, әрқайсысынан жаңа құрылған интервалдардың соңғысын алып тастайық. Енді, қалған интервалдарды бөліктерге бөліп, сол бөліктердің соңғысын шығарайық, содан кейін бөліктерге боліп т.с.с. ақырсыз жалғасырамыз. Нәтижесінде қандай да бір жиыны қалады.

Оның ұзындағы нольден үлкен екенің дәлелдейік:

Бірінші қадамда кесіндісін бөліктерге бөліп, сол бөліктердің соңғысын шығардық. Қалғаны: ұзындықтары -ге тең сегмент. Екінші қадамда қалған сегменттердің әрқайсысынан ұзындықтары -ке тең болатын интервалдар алынады. Екі қадамнан кейін алынған интервалдар саны . Бұл интервалдар ұзындықтарының қосындысы
.
Үшінші қадамда жойылатын интервалдар саны екінші қадамнан қалған интервалдар санына тең, яғни . Жойылған интервалдардың арқайсысының ұзындығы . Енді үшінші қадамнан кейін интервалдар жойылды. Бұл интервалдар ұзындықтарының қосындысы

Бұдан, қадамнан кейін шығарылатын интервалдар саны -ға тең екені анық. Және олардың ұзындығы былай өрнектеледі:
.
Енді : .

екені анық. Яғни .

Енді барлық оң өлшемді кантор жиындарды құрудың бір тәсілі бар ма деген сұрақ туады. Бұл сұраққа біз жауап тауып, келесі барлық оң өлшемді кантор жиындарын құрудың тәсілін ұсынып отырмыз.

Кемімелі оң сандардан құрылған тізбек берілсін. Және ол келесі шартты қанағаттандырсын: .

Бірінші қадамда кесіндісінен центрі сол кесіндінің ортасында орналасатын, ұзындығы болатын интервалды шығарып тастайық; екінші қадамда қалған кесінділердің әрқайсысынан центрі сол кесіндінілердің ортасында орналасатын, ұзындығы болатын интервалдарды шығарып тастайық; үшінші қадамда қалған кесінділердің әрқайсысынан центрі сол кесіндінілердің ортасында орналасатын, ұзындығы болатын интервалдарды шығарып тастайық, т.с.с. жалғастырамыз. Нәтижесінде қалған нүктелер жиының деп белгілейік. Енді сол жиынның қасиеттерін қарастырайық:

жиыны кемел және еш жерде тығыз емес екенін дәлелдеу қиын емес (бұл дәлелдеулер кантор жиынының кемел және еш жерде тығыз емес екенінің дәлелдеулеріне ұқсас). жиынының ұзындығы , өйткені . жиынының қуаты -ға тең екенің кейін дәлелдейміз.

Енді кемел және еш жерде тығыз емес иррационал сандардан құрылған кантор типтес жиынын қарастырайық.

Ол үшін элементтері интервалына тиісті барлық рационал сандардан құрылған тізбегін қолданайық. Бірінші қадамда центрі нүктесінде жататын, шеттері иррационал сан болатын және нүктесін қамтитын ең кіші ашық интервалды алып тастаймыз. Екінші қадамда центрі сәйкес интервалдардың ортасында орналасқан, шеттері иррационал сан болатын және алдыңғы қадамдарда жойылмаған келессі нүктесін қамтитын ашық интервалды алып тастаймыз. Бұл қймылды шексіз орындап, нәтижесінде қлаған жиынын аламыз. мен арасында орналасқан барлық рационал сандар жойылғандықтан жиыны мен сандарынан басқа иррационал сандардан ғана тұрады. Егер бастапқы интарвалдағы шеткі нүктелерін иррационал деп алсақ, онда жиыны тек иррационал сандардан тұратын болады.

Бұл мысалдан барлық иррационал сандар жиыны кантор типтес жиын деп болжам жасауға болады. Бірақ бұл болжам қате, себебі ирроционал сандар жиыны екінші категориялы, яғни бұл жиынды еш жерде тығыз емес саны санамалы жиындардың бірігуі ретінде көрсетуге болмайды, ал кантор жиыны бірінші категориялы, яғни оны еш жерде тығыз емес жиндардаң бірігуі ретінде қарастыруға болады, және бұл тұжырым анық. Олай болса да, иррационал сандар мен кантор жиыны гомеоморфты жиындар. ([5], 117-бет)

Бұның оң жағы - мен цифрлары арқылы жазылатын бір санның екілік жазылуы.

Бұл функция бір мәнді сәйкес емес. Шынымен, және екі санды қарастытайық. Біріншіден , екіншіден . Яғни жиынының екі тең емес нүктелерінің бейнесі бір нүкте. Жалпылатсақ, жиынының белгілі бір екі нүктесі жойылған бір интервалдың шеткі нүктелері болса ғана бұл нүктелердің бейнесі тең болады. Бұдан, функциясы монотонды өспелі, ал егер айтылған жұптарды қарастырмасақ, онда ол қатаң монотонды өспелі болады. [3, 124-125-бет]

Енді бар жерде дерлік туындысы нульге тең болатын үзіліссіз монотонды функцияны құрайық.

3-сурет

Кантор функциясын құру әдәсән пайдаланып, кантор типтес жиындар арқылы басқа да кантор типтес функцияларды құруға болады. Мүмкін, бұндай функцияларды құру тәсілдерінің ең қарапайымы мынау: біріншіден, функциясы каниор жиынын құрғанда жойылатын интервалдардың тұйықтамы (замыкание) анықталған, екіншіден, бірінші болып жойылатын интервалда -ге тең; екінші боллып жойылатын интервалдарда сәйкесінше және -ке тең; үшінші болып жойылатын интервалдарда сәйкесінше , , , ге тең; т.с.с. Сонда, кесіндісінде тығыз орналасқан, мәндер жиыны -мен сәйке келетін, кесіндісінде өспелі және үзіліссіз болатын функциясы пайда болады.

Бірінші бөлімде көрсетілген ирроционал сандардын құрылған кантор типтес жиынын пайдаланып, немесе өлшемі бірден үлкен болатын кантор типтес жиыны арқылы мәндер жиыны -мен сәйке келетін, кесіндісінде өспелі және үзіліссіз болатын функцияларын құруға болады. [3, 126-127-бет]

2.3. Кантор типтес функциялардың ерекшеліктері

Бұл бөлімде біз негізінен кантор жиыны мен кантор типтес жиындардың бейнелерін қарастырамыз.

Бұл функйияның мәндер жиыны кесіндісі екені анық. функциясы кесіндісінде өспелі және үзіліссіз болғандықтан, функциясы кесіндісінде қатаң өспелі және топологиялық (яғни үзіліссіз, бір мәнді сәйкес және -ның мәндер жиынында анықталған кері бейнесі бар). жиынын құрған кезде жойылған интервалдардың әрқайсысы ұзындығы өзінің ұзындығына тең болатын қандай да бір кесіндісінің бір бөлігіне бейнеленеді. Сонда . Яғни, функциясының мәндер жиыны кесіндісі болғандықтан, . Бірақ, екенің біз бірінші болімде дәлелдедік. Сүйтіп, біз, өлшемі нульге тең болатын жиынның өлшемі қандай да бір оң сан болатын жинға бейнелейтін топологиялық бейнені құрдық. Кез келген өлшемді жиынның өлшембейтін ішкі жиыны бар [2]. жиыны жиынның өлшембейтін ішкі жиыны болсын. Сонда жиыны жиынның қандай да бір ішкі жиыны, яғни оның өлшемі нуль. Бұдан - өлшемді жиынды өлшембейтін жиынға бейнелейтін функция. [3, 128-бет]

Еді, кантор жиыны мен кез келген өлшемі нуль немесе оң болатын кантор типтес жиындар арасында интервалын интервалына бейнелейтін гомеорфтық бар екенің дәлелдейік. Бұдан біздің алатынымыз: барлық кантор типтес жиындар гомеоморфты, яғни барлық кантор типтес жиынбар арасында бір мәнді сәйкестік орнатуға болады, яғни барлық кантор типтес жиындардың ққуаты .

4-сурет

Енді кез келген интервалының ішкі жиыны болатын, өлшемі нульге тең жиынын құрайық: .

1. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики – Москва, Наука, 1990.

2. Глейзер Г.И. История математики в школе – Москва, Просвещение, 1983.

3. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной – Москва, Наука, 1974.

4. Наурызбаев Қ.Ж. Нақты анализ – Алматы, Қазақ университеті, 2004.

5. Гелбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе – Москва, Мир, 1967.

6. Тумаков И.М. Анри Леон Лебег – Москва, Наука, 1975.

7. Очан Ю.С. Сборник задач и теорем по теории функций действительного переменного – Москва: Просвещение, 1965.

8. Окстоби Дж. Мера и категория – Москва, Мир, 1974.

9. Уэлстид С. Фракталы и вейвлеты для сжатия изображений – Москва, Триумф, 2003

10. Терехин А.П. Лекции по теории функций действительного переменного – Издательство Саратовского университета, 1972.

11. Гамкрелидзе Р.В. Итоги науки и техники – Москва, ВИНИТИ, 1987.