Часть 2. Слоистая структура идеально-числовой сферы s

7. Очертив внешние границы идеально-числовой сферы, перейдем теперь к анализу ее внутренней структуры. Т.е. наш анализ теперь сосредоточен на выявлении различных онтологических слоев и видов числового. При этом нас интересуют не столько различные типы чисел с математической точки зрения: как-то различие между натуральными, целыми, рациональными, действительными и комплексными числами, сколько онтологические различия между числами, в том числе и вышеперечисленными. Более того, современная математика существенно обогащает количество числоподобных объектов, вопрос об онтологическом статусе которых остается открытым. Особый интерес здесь представляет концепция числа Фреге, в которой, по сути, вводится отличный от обычных измерительных чисел принципиально новый класс счетных (мета)чисел [11].

Исходя из концепции Н. Гартмана [19] о том, что бытие в целом и область идеального, в частности, имеет слоистую структуру, наш тезис таков: идеально-числовая сфера имеет свою собственную слоистость (ср. с теорией типов Рассела^t).

Разработка концепции слоистого бытия числовой сферы восходит к Платону, который различал первичные эйдосные числа и вторичные математические числа^u, а в «Тимее» намечает различие между геометрией и арифметикой. Прокл в комментарии к Евклиду проводит уже четкое онтологическое различение на умопостигаемую арифметику и чувственную геометрию. Позже Августин начинает отличать пространственные и временные числа. Но четкого критерия различения разных онтологических типов математических объектов (чисел) здесь пока нет. Не может быть таковым привязка «гносеологическая» геометрии к воображению, а арифметики к интеллекту: например декартовский хилигионом и, тем более, абстрактные объектов современной геометрии (топологии) показывают, что геометрия, как и арифметика, также относится к сфере умопостигаемого.

Для прояснения онтологических различий возьмем в качестве критерия пространственно-временную пару, варьирование которой задает четыре сферы бытия: пространственно-временную (физическая реальность); пространственно-вневременную (область геометрии); непространственно-временную (область вычислительной (алгоритмической) математики; виртуальная реальность^v); и, наконец, непространственно-вневременную (область арифметики; метафизическая реальность).

Внутри непространственно-вневременной сферы выделим две подобласти.

Во-первых, это область количественно-измерительных чисел, к которой принадлежат основные типы арифметических чисел. Более точной характеристикой этой области было бы следующее: это область не чистого количества, а качественного количества. В данном случае числа функционируют как измерительная мера физических качественных величин, а областью их применения является мир вещей (поэтому эти числа можно назвать вещными). Различия же между натуральными, целыми, рациональными, иррациональными, комплексными числами имеют не онтологический, а операциональный характер: каждый из последующих типов чисел обеспечивает полноту применения соответствующей арифметической операции: сложения и умножения, вычитания, деления, извлечение корня. Интересная попытка «логического» структурирования чисел принадлежит Лосеву [3], которая в общем и целом справляется с поставленной задачей.

Во-вторых, это область порядковых (счетных) чисел, которые являются метачислами, поскольку функционируют как средства счета (пересчета) количественно-измерительных чисел. Этот тип чисел вводится в работах Фреге [6], который рассматривает их как признаки «предметов» метауровня — объемов понятий]^w. Тем самым он отказывается от вещной трактовки числа как атрибутов вещей, что позволяет прояснить смысл ноля.

Различие измерительных и счетных чисел покажем путем выявления двух сосуществующих смыслов математического аналога Единого — числовой Единицы. С одной стороны, Единица — это количественно-качественный один, т.е. начало вещного измерительного числового ряда, или бытийная единица. С другой стороны, Единица является первым элементом счетного ряда чисел — нолем, т.е. ничтойной единицей (ноль как мера пустого понятия соотносится с ничто). В грамматике это смысловое различие фиксируется различением количественных и порядковых числительных: единица — это и количественный один, и порядковый первый ноль^x.

Если сферой применения измерительных чисел, как развертки единицы, является пространственно-временная реальность, то сфера же применения счетных чисел, как развертки ноля, гораздо шире и представляет собой область возможного, которая включает в себя помимо реальных, также и фиктивные объекты, не имеющих денотата, но имеющих смысл типа золотой горы, кентавра и круглого квадрата. Это позволяет высказать тезис о возможности ничтойной математики, основанием которой является возможность упорядочивания пустых понятий. Пусть, например, выражение «не-круглый круг» является выражением абсолютного противоречия. Помимо этого противоречия существуют еще и относительные противоречия типа «круглого квадрата». Согласно логическому закону обратного соотношения объема и содержания понятия ряд «книга — учебник — учебник по логике — учебник по логике Черча» завершается единичным понятием. Следующим членом этого ряда должно быть пустое понятие с нулевым объемом, например не-черчевский учебник по логике Черча. Согласно тому же закону это пустое понятие должно обладать всеми признаками этого рода. Однако возникает вопрос: принадлежит родовому понятию «книга» другое пустое понятие, например круглый квадрат? Семантические соображения подсказывают отрицательный ответ: разные пустые понятия хотя и имеют нулевой объем, однако различны и, более того, можно задать их определенный порядок, а абсолютно пустое понятие, или абсолютный ноль (например, не-круглый круг), есть предельный случай пустого понятия, которое содержит все предикаты, т.е. является начальным элементом любого понятийного ряда.

8. Выделенные выше три сферы бытия (1, 3 и 4^y; ср. с тремя мирами Поппера) указывают на возможность развития не-физических математик. Из-за их непространственности применение физической математики в ментальной и метафизической сферах неадекватно^z, хотя, как и в случае обычной математики, условием их развития является введение особых квазипространственных сред.

Что можно измерять в области ментального? Видимо, интенсивность и временной порядок ментальных процессов. С этой задачей вполне может справиться вычислительная математика. Как и любая другая математика, она не может претендовать на познание внутренней природы ментальных процессов. Но вычислительная математика может выявить числовые закономерности только внешнего плана этих процессов, используя свои базовые понятия алгоритма и информации, последнее из которых и выполняет роль квазипространственной среды. Онтологическая специфика ментального предопределяет ее отличие от классической физической математики, и поэтому сейчас происходит активный процесс конституирования вычислительной математики в самостоятельную сферу гуманитарных исследований computer science, тяготеющую к логике и психологии. Одним из отличий ментальной математики должно стать то, что она должны научиться работать с интенсивными величинами. Приведем в этой связи примечательный пассаж из работы Т. Рибо: «Сознание походит на фреску, в которой переход одного цвета достигается благодаря употреблению разных степеней света и тени. Идея пера, чернильницы не есть что-либо постоянное, резко очерченное, как резко очерчены сами эти предметы» [23, 194]. Указанная расплывчатость объектов ментальной сферы (сознания) ограничивает возможности применения здесь стандартной математики экстенсивных величин.

Развитой метафизической математики пока не существует. На роль основных средств анализа идеального сегодня претендуют логика и диалектика, которые представляют собой скорее качественный уровень анализа, в то время как математика должна исследовать его количественный аспект. Однако логика и диалектика определенным образом упорядочивают эту область: первая выстраивает родо-видовые иерархии понятий, а вторая строит их линейно-спиралевидные смысловые цепочки. Тем самым создается определенная гомогенная среда смыслового пространства, что является предпосылкой для последующего (возможного) применения математики. Трудность, с которой придется столкнуться метафизической математике состоит в том, что числовые характеристики идеальных абсолютных предметов имеют вырожденный характер и, как замечает Н. Кузанский, не поддаются обычному числовому измерению (см. его пример выше).

Подведем помежуточный итог (пп. 7 — 8): различение измерительных и счетных чисел — лишь первый подход к различению слоев этой области. Дальнейший анализ может привести к выявлению еще более тонких различий, на основе которых могут развиваться другие онтологические типы математик.

Часть 3. Генезис основных математических объектов (структур)

Ранее мы отвергли натуралистические концепции возникновения числа как несостоятельные. Не устраивает нас и платоновское придание математической сфере особого онтологического статуса, промежуточного между миром вещей и миром идей, поскольку этим вводится слишком сильное онтологическое допущение, неоправданно усложняющее онтологию мира. Предлагаемая нами концепция состоит в увязывании генезиса числа с определенными механизмами сознания, т.е. мы определяем специфику математики скорее не онтологически, а эпистемологически. Тем самым мы развиваем деятельностный подход, который восходит, прежде всего, к трансцендентальному методу Канта (и отчасти к феноменологии Гуссерля). Ключевым механизмом для генезиса математических структур (числа) в кантовской модели познавательного акта выступает синтез схватывания. При этом надо учесть еще два важных момента. Во-первых, конечность человека, которая специфицирует акт схватывания как синтез, осуществляемый конечным существом. Во-вторых, процедуру рефлексивного переключения (акт рефлексии), которая превращает схватывание в сложный иерархический акт, благодаря чему и происходит генезис от простейших типов чисел к более развитым числовым объектам.

9. Прежде чем переходить к проблеме генезиса числовых (математических) структур, опишем в общих чертах кантовскую схему познавательного процесса^aa. Вслед за Аристотелем, Кант рассматривает сознание как систему познавательных способностей, из которых «двумя основными стволами [познания]» выступают чувственность/воображение (чувственность в широком смысле) и рассудок/способность суждения (рассудок в широком смысле)^bb. Познавательный процесс мыслится Кантом как рассудочное оформление чувственной материи, а его итоговый результат описывается формулой «знание = чувственная материя + рассудочная форма». Любой же познавательный акт является системой (иерархией) синтезов, т.е. последовательной серией оформлений поступающих на чувственных данных с помощью имеющихся априорных форм^cc. В структуре познавательного акта Кант выделяет следующие синтезы: синтез схватывания; синтез апперцепции; фигурный синтез; схематический синтез; образно–понятийный синтез «Это_j — A_i» (где «Это_j» — образ, а «A_i» — понятие); пропозициональный синтез «A_j — B_i» (где «A_j» и «B_i» — понятия). Поскольку нас интересует механизмы сознания, ответственные за генезис числовых структур, то обратим более пристальное внимание на синтез схватывания, который составляет фундамент нашей чувственной способности (математическая деятельность человека, по Канту, связана с его чувственностью). В общем он определяется Кантом так: «Всякое созерцание содержит в себе нечто многообразное, которое… может быть только абсолютным единством. Чтобы из этого многообразного получилось единство созерцания, необходимо, во-первых, обозреть многообразие и, во-вторых, собрать его вместе; этот акт я называю синтезом схватывания…» [10, 501].

Начинается познание с чувственного восприятия, когда внешняя для сознания вещь–в–себе вос-принимается вовнутрь и помещается на внутренний экран сознания. При этом объект познания выступает пассивной материей последующих оформлений; а познающий субъект изменяет свою интенциональность: он как бы отворачивается от внешнего мира и начинает работать со своими собственными представлениями (соответственно, вся дальнейшая познавательная активность разворачивается на этом экране сознания). В зависимости от пропускной способности органов восприятия и мощности нашей «оперативной памяти» на экране сознания располагаются вос-принятые перцепции, которые, с одной стороны, отличены друг от друга, а, с другой стороны, из-за их совместного расположения в этой однородной среде могут теперь соотноситься друг с другом и синтезироваться в различные типы представлений. Этот процесс (восприятия) сопровождается синтезом схватывания, который является тройственным актом (1) схватывания эмпирического содержания, (2) апперцептивного синтеза и (3) первоначально-синтетического единства апперцепции. Первичным здесь, по Канту, выступает синтез единства чистой апперцепции, ответственного за формирование на экране сознания особого представления «Я [мыслю]» как «начала системы координат», относительно которого координируются все остальные вос-приятия. Это единство чистой апперцепции (resp. самосознание) выступает как наблюдатель расположенных на темпорально структурированном экране сознания (ср. с гуссерлевским «временем-сознанием» [Zeitbewußtsein]) и промаркированных временными метками представлений Это₁, Это₂, Это₃ (время Кант характеризует как «чистый образ всех предметов чувств вообще» [10, 125]). Апперцептивный синтез заключается в простом сопровождении всякого представления сознанием (парафраз Канта), т.е. в маркировке воспринятых перцепций как моих путем присовокупления к схваченному Это_x представления «Я мыслю [Это_x]». Собственно акт схватывания заключается в формировании из воспринимаемого чувственного многообразия некоторого единого протообраза Это_x^dd. Тем самым в ходе восприятия чувственные ощущения (материя познания) структурируются в протообраз Это_x; а благодаря первоначально-синтетическому единству апперцепции, схватываемое в Это_x многообразие получает форму единства^ee.

10. Теперь попробуем дать более детальное описание синтеза схватывания для выявления генезиса числовых форм, которых изначально у субъекта познания еще нет. Как было показано выше начальный акт схватывания начинается с (пред)полагания неопределенного предмета х. Это неопределенное нечто, во-первых, есть до всякого акта мышления (сознания) и даже до всякого чувственного акта, и, во-вторых, оно воздействует на нас. И вот когда мы бросаем взгляд на это нечто (т.е. наша мысль нацеливается на него), то это первоначальное нечто схватывается нами: мы что-то выхватываем из этой серой массы, синтезируя его как Это. Заметим, что в силу нашей конечности, мы можем схватить только какую-то часть (конечный квант) первоначального нечто: Это схватывается как что-то одно (Это₁) т.е. полагается как единица. Но единица содержит в себе ограничение, поскольку помимо одного есть и другое: этому всегда противостоит неопределенное то (иное), представляющее собой фон, на котором происходит акт схватывания. В этом ином и содержится последующая множественность, или двоица (как противо-аналог единицы). В последующих актах схватывания из неопределенной двоицы синтезируется весь числовой ряд, т.к. в результате следующих актов схватывания из оставшегося после первого схватывания иного будет выделено Это₂, Это₃ и т.д.^ff.

Правда, пока, в точном смысле слова, говорить о синтезе числового ряда нельзя: для этого необходимо совершить новый (мета)акт схватывания. Вспомним, что процесс познания начался с полагания неопределенного многообразия. В результате совершения последовательных актов схватывания произошло его определенное упорядочивание, но вместе с этим появляется новое многообразие отдельных, хотя и схваченных нами единицы (Это₁), двойки (Это₂), тройки (Это₃)… Это новое многообразие выступает (в рефлексии) как основа для нового синтеза схватывания. Тем самым из отдельных единиц полагается новый числовой (мета)объект: натуральный числовой ряд (resp. континуум, который образуется путем синтеза первоначально положенных точек).

Задержимся на первом результате схватывания — Этом₁, которое является истоком математического. Чем математика отличается от содержательных познавательных практик естествознания (физики, химии…)? Возьмем в качестве примера радугу или цветовой спектр. Т.е. радуга выступает сейчас как первоначально-неопределенное нечто, которое предшествует акту схватывания. Первому акту полагания соответствует выделение какого-либо цвета, например красного. Оказывается, что схватывание красного можно осуществить двумя типами актов. Первый из них представляет собой содержательное схватывание, т.е. выделение красного на основании его качественных характеристик. Такого рода акты и приводят к развитию физических (в широком смысле этого слова) практик. Однако, вместе с ним (или параллельно с ним, или вместо него (?)) возможен полагающий акт другого типа, а именно формальное выделение вот этого красного как одного из цветов спектра. При этом, конечно, не схватывается его качественная краснота, зато с помощью Это₁ фиксируется его количественная характеристика как первого левого члена данного ряда. Это и есть собственно математический акт, спецификой которого является фиксация «внешнего» местоположения схватываемого предмета.

Заметим, что помимо двух вышеописанных здесь совершается и третий познавательный акт, который предшествует первым двум. Если при схватывании мы отвлекаемся как от качественной, так и от количественной специфики предмета, то мы совершаем максимально абстрактный метафизический акт, фиксируя простое наличие Этого, т.е. полагаем сущее как сущее, а не сущее как таковое (физический акт) и не сущее как одно (математический акт). Здесь мы следуем Аристотелю, который выделял три возможных модуса познания сущего: физический, математический и метафизический [25, 374]^gg).

11. Вернемся к нашему анализу математического познавательного акта. Выше мы выделили три основные бурбакистские математические структуры. Каким образом они конституируются в ходе акта схватывания? Различие между алгеброй и топологией задается так. Первым математико-полагающим актом схватывается Одно, причем в процессе его полагания надо различить два момента. Во-первых, внимание субъекта может быть сосредоточено на центре Одного, как бы сфокусировано на нем самом — и тогда Одно полагается в качестве арифметической единицы. Так возникает арифметика (алгебра), которая основана на обособлении единиц друг от друга, т.е. является существенно дискретной. Во-вторых, наше внимание может быть как бы расфокусировано, т.е. направлено на края Одного. Тогда мы фиксируем не арифметическую единицу, а геометрическую точку как внешнее место Одного. В этом модусе внимания для нас важна уже не единичность Одного, а его взаимосвязь с другими положенными точками. Тем самым мы совершаем топологический (геометрический) математический акт, в ходе которого постулируется не дискретность, а континуальность: граница Этого₁ выступает здесь не как фактор его обособления, а как его место встречи с Другими. Т.е. геометрическая точка выступает как инобытие (арифметического) числа, как его пространственное место. Для прояснения этого различия можно привлечь кантовский подход к сочетанию метафизического и геометрического из его «Физической монадологии»: каждая монада помимо своего арифметического центра (как интенсивного средоточия), обладает и геометрической сферой влияния (местом) ^hh, причем синтез этих мест и составляет непрерывный континуум в отличие от дискретного ряда (арифметических) единиц.

Структуры порядка имеют более «поздний» генезис. Они возникают в ходе схватывания второго порядка, а также предполагают акт анализа. В этом случае мы, наряду с синтезом Этого₁, … Этого_n в арифметический ряд или геометрическую прямую, совершаем анализ их местоположения относительно друг друга, т.е. наше внимание схватывает находится ли Это₁ правее или левее (выше – ниже) Этого₂ (других Этих_n).

12. В заключение коротко коснемся еще одной важной проблемы. Согласно Канту, возможность математического знания основана на априорных формах пространства и времени. Можно ли, по аналогии с проблемой генезиса числа, поставить вопрос о механизме конституирования этих важнейших для математической деятельности концептов? Заметим, что здесь мы выходим за пределы кантовского анализа, т.к. внимание самого Канта сосредоточено в основном на синтезах формального типа, которые осуществляются с помощью априорных форм. Мы же ставим вопрос не о синтезе с помощью априорных форм, а вопрос о генезисе самих априорных форм. В текстах Канта содержится определенный подход к решению этой проблемы. В главе «О схематизме чистых рассудочных понятий» КЧР Кант дает определение своих важнейших категорий через их трансцендентальные схемы, в основе которой лежит концепт времени. Однако концептуальный генезис самих априорных форм пространства и времени у Канта отсутствует. На наш взгляд решение этой проблемы связано с более детальным анализом синтеза схватывания, а именно с выявлением, во-первых, его перцептивно-апперцептивной структуры, а также учета его иерархического устройства. Ранее мы сосредоточили анализ на перцептивной составляющей схватывания. Но в этом акте есть также апперцептивный момент, который отвечает за внутреннее самосхватывание субъекта познания, т.е. на самом деле в процессе познания конституируются и субъект познания, и его объект. Говоря в общем, выявленная выше иерархическая структура акта схватывания в перцептивном синтезе приводит к конституированию пространства (дискретно-арифметического или континуально-геометрического), особенностью которого является координация (рядоположенность) его элементов как Это₁ … Это_n и, соответственно, к конституированию пространственных чисел; а в апперцептивном синтезе (за счет рефлексивного подъема от сознания к само— с само-само-сознанию и т.д.) — к конституированию временности, особенностью которого является субординация его элементов, т.е. к конституированию временных чиселⁱⁱ. Однако детальное развертывание этой темы — выявление генезиса пространства и времени — в духе кантовского трансцендентализма отложим до наших следующих статей.