Казақстан Республикасының білім және ғылым министрлігі

Коши - Риман шарттарының орындалуы қажетті және жеткілікті.

Комплекс айнымалы функция үшін нақты анализдегі дифференциалдау ережелері сақталады:

(f(z)±g(z))′=f′(z)±g′(z)

(f(z)*g(z))′=f′(z) ∙g(z)+f(z) ∙g′(z)

[f(z)/g(z)]′=[f′(z) ∙g(z)-f(z) ∙g′(z)]/g²(z)

[f(g(z))]′=f′[g(z)] ∙g′(z)

f′ (z)=1/φ′(w)

Соңғы формуладағы f және φ өзара кері функциялар.

Туындының модулінің геометриялық мәні. Егер , онда G облысының кез келген z_o нүктесінде

Соңғы теңдікті мына түрде жазайық:

Аналитикалық функцияның бұл қасиеті шексіз аз шеңберді сақтау қасиеті деп аталады. Осы қасиет бойынша, G облысын w=f(z) функциясы арқылы бейнелеуден туатын осы облыстың нүктесіндегі «Керілу» коэффициенті санына тең болады.

Сонымен, функцияның туындысының модулі │f′(z₀)│қисық сызықтың z₀ нүктесіндегі созылу (сығылу) коэффициентін көрсетеді екен.

Ал (6)

Сонымен, , z-жазықтығындағы z=z₀+∆z нүкте қисық сызық С бойым z₀ нүктесіне жақындағанда сәйкес w жазықтығындағы нүкте w=w₀+∆w қисық сызық Г бойымен w₀ нүктесіне жақындар еді де, шектік жағдайда z₀z векторының бағыты z₀ нүктесіндегі С сызығына жүргізілген жанамамен беттесіп, w₀w векторының бағыты Г сызығына w₀ нүктесінде жүргізілген жанамамен беттесер еді. Сонда (6) қатынастан w=f(z) арқылы бейнеленгенде z₀ нүктесінде С сызығына жүргізілген жанаманы ω= β-α бұршқа бұру керек екені шығады. Сондықтан да ω=β-α бұрышын бұру бұрышы деп атайды. Сөйтіп, argf′(z₀)-дің геометриялық мағынасы: w=f(z) функциясы арқылы бейнеленген z₀ нүктесінде С қисық сызығын бұру бұрышын көрсетуінде екeн.

Анықтама. Егер w=f(z) пен бейнеленгенде қисықтардың арaсындағы бұрыштарының шамасы сақталып және созылу (сығылу) коэффициенті тұрақты болса, онда w=f(z) бейнелеуін конформды бейнелеу деп атайды.

Мысал.

Шешімі. , деп алып , Эйлер формуласын қолданып және туындыларын табамыз, сонда

Ал, мұнан Коши-Риман шартының орындалатынын көреміз. Демек, берілген функция аналитикалық функция болады.

Бізге Г : z =, , сызығы берілсін. [a, b] кесіндісінің кез келген бөлшектеуін құрайық. Осы бөлшектеуге сәйкес келетін нүктелері Г сызығын бөлшектейді.

Егер кез келген T бөлшектеуі үшін болса, онда Г түзуленетін сызық деп аталады.

функциясы жазықтығының D облысында анықталған үздіксіз фугкция болсын. Осы Г сызығын z₁ , z₂ , ... , z_n-1 (z_k =x_k +iy_k) нүктелерімен n бөлікке бөлейік. Бұл жағдайда z=z_n деп есептейміз.

z_k - z_k-1 =Δ z_k = Δ x_k +iΔ y_k, (k=1,2,…,n)

деп белгілейік, мұндағы

Δ x_k = x_{k -} x_k-1 , Δ y_k =y_{k -} y_k-1 , Δ z_k - вектор (1-сурет)

Оның бастапқы нүктесі z_k-1, ал соңғы нүктесі z_k ал - вектордың ұзындығы, яғни k – ші элементар доғаны керіп тұрған хорданың ұзындығы. Әр элементар доға (z_k-1, z_k) бойынан кез-келген нүктесін алып, келесі интегралдық қосынды жасайық: (1)

интегралдық қосындының λ кезде, Г- сызығын бөлу әдісінен және әр элементар доғадан τ_k нүктесін таңдап алудан тәуелсіз шегі бар болса, онда осы шектің мәнін w=f(z) функциясының Г-сызығы бойымен алынған интегралы деп атап, былай белгілейік:

Комплекс айнымалы функция интегралының келесі қасиеттерін атап өтелік.

1. , -тұрақты

2.

3.

мұнда l=l₁ + l₂ +… + l_n.

4.

мұнда l⁺ , l^- - бір сызықтың қарама-қарсы бағыттарын білдіреді.

Енді кез келген екі айнымалыдан х пен у-тен тәуелді функция аналитикалық функцияның нақты және жорамал бөліктері бола ала ма деген сұрақты қарастырайық. f(z)=u(x,y)+iv(x,y) функция D облысында аналитикалық болсын. Онда D облысының барлық нүктелерінде и(х,у) мен ν(х,у) Коши – Риман шартын қанағаттандырады

Осы теңдеудің біріншісін х, ал екіншісін у бойынша дифференциалдап, біріншісін екіншісімен мүшелеп қосып

Лаплас теңдеуі деп аталатын теңдеуді аламыз, ал осы теңдеуді қанағаттандыратын кез келген функция гармониялық деп аталады.

Мысалы, u=x²-y²+2x нақты бөлігі болатын аналитикалық функцияны анықтайық. Берілген функция ∆u=0 теңдеуін қанағаттандыратынын көру қиын емес.

Коши – Риман шарты бойынша

∂v / ∂x=-∂u/ ∂y=2y, ∂v / ∂y=∂u / ∂x=2x+2 (7)

болады. Алғашқы теңдеуді х бойынша интегралдасақ, келесі теңдеуді аламыз:

v=∫2ydx=2xy+ φ(y)

Белгісіз φ(y) функциясын анықтау үшін соңғы теңдіктің екі жағын да у бойынша дифференциалдап, (7) формуладағы екінші теңдікке қойсақ:

∂v/∂y=2x+φ′(y)=2x+2

бұл теңдеуден

Ізделінді аналитикалық функция төмендегідей болады:

1.Түпнұсқа және бейне. Лаплас интегралы. Лаплас түрлендіруінің қасиеттері. Дюамель формуласы. Берілген бейнесі бойынша түпнұсқаны табу. Түпнұсқа мен бейнелер кестесі. Операторлық есептеуді дифференциалдық теңдеуді және теңдеулер жүйесін шешуде қолдану. Операторлық есептеуді электр тізбегін зерттеуде қолдану.

Әдебиет: [2]. 4-64 бет.

Тақырып 5. Ықтималдық теория элементтері

Жоспар:

1.Тәжірибе және оқиға. Оқиғаның ықтималдығы. Ықтималдықтың классикалық анықтамасы. Жиілікті ықтималдық. Ықтималдықтарды қосу, көбейту теоремалары. Геометриялық ықтималдық. Толық ықтималдық формуласы. Байес формуласы. Оқиғаларды қайталау. Бернулли формуласы. Лапластың локалдық және интегралдық формуласы. Дискретті және үздіксіз кездейсоқ шамалар және олардың сандық сипаттамалары, сипаттамаларының қасиеттері. Үздіксіз кездейсоқ шаманың үлестру функциясы, тығыздығы. Көрсеткіштік, бірқалыпты және қалыпты үлестірім заңдары.

Тәжiрибе мүмкін болатын нәтижелерінен тұратын жиынды

элементар оқиғалар деп атайды. Элементар оқиғалардан тұратын күрделі оқиғаны кездейсоқ оқиға деп атайды.Оқиғалар латын алфавитінің А,В,С… сияқты бас әріптерімен белгіленеді.

1) тәжірибе тиынды бір рет лақтыру болсын. Бұл тәжірибенің нәтижесі екі элементар оқиғадан тұрады:

а) А-гербінің түсуі (елтаңба жағының түсуі);

б) В-цифрдің түсуі (сан жағының түсуі);

2) тәжірибе ойын сүйегін бір рет лақтыру болсын. Элементар оқиғалар ойын сүйегінің үстінгі бетінде ί=1,2,…6 цифрларының (сандары) пайда болуы;

3) тәжірибе ойын картасынан бір қарта суыру болса ,онда элементар оқиғаның бірі А-қарға тұзын алу, т.с.с.

Ақиқат оқиға деп тәжірибе нәтижесінде әрқашан пайда болатын оқиғаны айтады.Мүмкін емес оқиға деп тәжірибеде ешқашан пайда болмайтын оқиғаны айтады.Бірікпейтін немесе үйлесімсіз оқиғалар дегеніміз біреуінің пайда болуы басқа оқиғалардың пайда болмауына әсер ететін оқиғалар.Бір ғана мүмкіндікті оқиғалар дегеніміз ең болмағанда біреуінің пайда болуы ақиқат болатын оқиғалар жиынын айтады. оқиғалар толық группа-топ құрады)Тең мүмкіндікті оқиғалар дегеніміз пайда болу мүмкіндіктері бірдей оқиғалар жиынын айтады.

Мысал

А-герб пайда болу

В-цифр пайда болу

Осындай үш қасиеті (бірікпейтін, бірғана мүмкіндікті, тең мүмкіндікті) бар оқиғалар жиынын жағдайлар(шанстар) дейміз.Мысал

Ойын сүйегін лақтырғанда алты жағдай болады. А жұп цифр болу оқиғасы болса, оған қолайлы үш жағдай 2,3,6 цифрларының пайда болулары. Қалған үш жағдай бұл А оқиғасына қолайлы емес.

Анықтама

Белгілі А оқиғасының ықтималдығы дегеніміз осы оқиғаға қолайлы жағдайлар санының барлық жағдайлар санына қатынасы

мұндағы n-барлық жағдайлар саны; m-А оқиғасына қолайлы жағдайлар саны; P - дегеніміз француз тілінде ықтималдықты - probability деп аударғандықтан осы сөздің бірінші әріпін алған.

Оқиғаның ықтималдығы тәжірибеге дейін анықталса, жиіліктік ықтималдық тәжірибеден соң анықталады.

Оқиғаларға қарапайым амалдар қолдану.

Анықтама

А және В оқиғаларының қосындысы деп (бірлестігі) А оқиғасының немесе В оқиғасының пайда болуынан тұратын оқиғаны айтады да былай белгілейді:

A+B=C немесе AυB=C

оқиғаларының қосындысы оқиғасының немесе оқиғасының, т.с.с. немесе оқиғасының пайда болуынан тұратын оқиғаны айтады да былай белгілейді:

немесе

Мысал

А –бірінші рет мылтық атқандағы нысанаға тигізу, В- екінші рет мылтық атқанда нысанаға тигізу C=A+B бірінші немесе екінші рет атқандағы нысанаға тигізу болып табылады.

Анықтама А және В оқиғаларының көбейтіндісі (қилысуы) деп А және В оқиғаларының ортақ пайда болуынан тұратын оқиғаны айтады да былай белгілейді: AB=C немесе A∩B=C

Бірнеше оқиғаның көбейтіндісі сол оқиғалардың барлығының ортақ пайда болуынан тұратын оқиғаны айтады да былай белгілейді немесе .

Бірікпейтін оқиғалардың толық тобы. Қарама-қарсы оқиғалар.

Егер P(A)=ρ, P(Ā)=q деп белгілесек онда ρ+q=1,q=1-ρ шығады.

3 Ықтималдықтарды көбейту теоремасы

Анықтама. Біреуінің пайда болу ықтималдығы екіншісінің пайда болу немесе пайда болмауына байланыссыз болатын екі оқиғаны тәуелсіз оқиғалар дейді.

Анықтама. А оқиғасының В оқиғасы пайда болғаннан кеиінгі ықтималдығын А оқиғасының В оқиғасы пайда болғандағы шартты ықтималдығы деп айтады да былай белгілейді .

Мысал: Жәшікте 4 қара және 6 ақ шар болсын.Бұл жәшіктен екі адам бір-бірден шар алады. А-бірінші адам жәшіктен ақ шар алуВ-екінші адам жәшіктен ақ шар алу болса А оқиғасының ықтималдығы

болса, онда шартты ықтималдық

Теорема. .

Ескерту: Егер А мен В тәуелсіз болса, онда .

Мысал: Жәшікте 15 бірдей бұйым бар. Жәшіктен екі сапалы бұйым алудың ықтималдығы ке тең.Жәшікте қанша сапалы бұйым бар еді?

Шешуі: Белгілеу енгізейік.А-жәшіктен бірінші рет алғанда сапалы бұйым алынды,В-жәшіктен екінші рет алғанда сапалы бұйым алынды. Бұл екі оқиға тәуелді. Сондықтан, егер k-сапалы бұйымдар саны десек, онда

Есептің шарты бойынша

Осыдан

Сонымен , жәшікте 8 сапалы бұйым болды.

Жоруларды былай белгілейік

Ал студенттердің жақсы немесе үздік баға алу ықтималдығы

Толық ықтималдық жалпы формула бойынша былай табылады:

формуланы Байес формуласы дейді.

1. 
   Лапластың локальдық теоремасы мұндағы
   

болатын оқиғаның тура 228 рет пайда болуының ықтималдығын табу к

Мұндағы функциясы тақ функция, яғни .

Муавр-Лапластың интегралдық теоремасын қолданамыз.

1) кітаптың 300 беті бар. Ашқан беттің реттік нөмірінің беске бөліну ықтималдығы қандай?

Жалпы жағдай қолайлы жағдай. Іздеп отырған ықтималдық

2) екі таңбалы сандардан алынған. Санның цифрлары бірдей болу ықтималдығы қандай?

10 нан 99; n=90-жалпы жағдай

K=11,22,33,44,55,66,77,88,99; m=9

11k=99 → k=9. Керекті ықтималдық .

3) дифференциал сөзінен бір әріп алынған. Осы әріптің дауысты, дауыссыз немесе ж әріпі болу ықтималдығын тап.

Шешуі. А-дауысты әріптер В-дауыссыз әріптер С-ж әріпі жоқ . Барлық әріптер саны n=12

Анықтама. Берілген әртүрлі n элементтен m элемент бойынша орналастыру деп, әрқайсысы бір-бірінен не құрамы бойынша, не орналасу реті бойынша ажыратылатын комбинацияларды айтады.

Орналастырулардың жалпы саны мына формуламен анықталады

Сондай-ақ алмастыруларды орналастырулардың жеке түрі ретінде қарастыруға болады, яғни

Комбинаторика формулаларын пайдаланғанда мынадай екі ережені жиі пайдаланамыз.

Расында бірінші группаның бір элементі екінші группаның әрбір элементімен қосақталынады және керісінше,сондықтан қосақтардың жалпы саны көбейтіндісіне тең болады.