Классикалық механикадан лекциялық материалдар Лектор: ф м.ғ. к., аға оқытушы Б.Қ. Рахашев
Ең аз әсер принципі Лагранж теңдігін қорытып алу
жүктеу/скачать 1.97 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Лагранж фунциясының қасиеттеріне тоқталайық
- 5.3 Еркін тербеліс үшін Лагранж функциясы
| 5.2 Ең аз әсер принципі Лагранж теңдігін қорытып алу.
Механикалық жүйенің қозғалыс заңының жалпы тұжырымын ең аз әсер принципі деп аталатын (Гамильтон) ережемен тағайындалады. Ол былай айтылады: механикалық жүйенің бір күйден екінші күйге көшкенде әсер мүмкіндігінше минимум болатын траекторияны таңдайды. Бұл принципке сәйкес әрбір механикалық жүйенің Лагранж функциясы деп аталатын (L) жалпылама координата, жалпылама жылдамдық және уақытқа тәуелді функциямен сипатталады. Лагранж функ\циясының мағынасы жүйенің кинетикалық энергиясы мен потенциялдық энергиясының айырмасы болып табылады. Айталық, механикалық жүйе және уақыт мезеттерінде белгілі бір кеңістікте орынға ие болсын және оның күйі координатамен сипатталсын. Осы екі жағдайға сәйкес жүйенің жүріп өтетін траекториясы ең аз әсер принципіне сәйкес: (1) S - әсер Гамильтон принципіне сәйкес әсер минимум болуы шарт - түзу траекторияның ауытқуы Суретте бірінші уақыт мезетіндегі Осыны ескеріп, (1) өрнекті интергралдасақ: (2) (2) интеграл әсер деп аталадыб ал интеграл таңбасының астындағы функциясы Лагранж функциясы болып табылады. - варияция деп аталады. (2) теңдеуді бөлшекиеп интегралдасақ және ең аз әсер принципі бойынша әсердің өзгерісін 0 – ге тең деп алсақ: (3) (3) өрнек 0 – ге тең болуы үшін теңдіктің оң жағындағы интеграл астындағы өрнек 0 – ге тең болуы шарт, олай болса: (-1 – ге көбейтсек) (4) (4) теңдеу Лагранж теңдеуі деп аталады. Егер еркіндік дәрежесі бірінші болған жағдайда (4) өрнек былайша жазылады: i=1.2.3…S Лагранж фунциясының қасиеттеріне тоқталайық: Егер механикалық жүйенің Лагранж жүйесі белгілі болса, онда Лагранж теңдеуі жүйе қозғалысының теңдеуі болып табылады және жүйенің үдеуі, жылдамдығы, координатасы аралығы байланысыт тағайындайды. Лагранж функциясы үшін адеттивтік қасиет орындалады, яғни механикалық жүйе А және В бөліктерден тұратын болса, сәйкесінше ол бөліктердің Лагранж фукциясы болса, онда бүкіл механикалық жүенің Лагранж функциясынан алынған шек: Лагранж функциясына кез келген тұрақты санды көбейткенде Лагранж функциясының мәні өзгермейді. Уақыт бойынша толық дифференция болатын функцияны Лагранж функциясын тастап немесе қосып жазуға болады. Одан Лагранж функциясының мәні өзгермейді. 5.3 Еркін тербеліс үшін Лагранж функциясы Кеңістіктің біртектілік қасиетін және уақыттың біртектілігінен еркін бөлшектің Лагранж функциясы координатаға да, уақыты да тікелей тәуелді болмайды. Олай болса, Лагранж функциясы жылдамдық вектроына тәуелді болуы қажет. Бірақ, Лагранж функциясы кеңістіктің изотроптылық қасиетіне сәйкес, жылдамдықтың бағытына да тәуелді болмауы шарт. Олай болса, еркін бөлшектің Лагранж функциясы тек жылдамдықтың квадратына ( ) ғана тәуелді болады деп қарастыруымыз шарт. (1) функцияның мағынасын Галелейдің салыстырмалық принципі негізінде анықтауға болады. (*) жылдамдықтарды қосу заңы Галейлей принципі Яғни, (2) (3) (3*) (3*) теңдеудің оң екінші құраушы уақыттың толық дифференциялы болып табылатындығын Логранж функциясының қасиетіне сәйкес оны қалдырып жазға болады. Яғни; (4) Мұнда сонда (5) Егер жүйе өзара әсерлеспейтін n- бөлшектен тұратын болса ондай бөлшектік Лагранж функциясын (6) Сонымен еркін бөлшектің Логранж функциясы оның кинетикалақ энергиясы болып табылады. 5.4 Өзара әсерлесетін , бірақ тұйықталған жүйедегі n- бөлшектен тұратын жүйе үшін Лоранж функциясын жазайық. Мұндай жүйедегі Логранж функциясы жүйенің кинетикалық энергиясы мен потенциялдық энергиясының айырмасымен анықталады. Сонымен өзара әсерлететін n-бөлшектен тұратын механикалық жүйенің күйін сипаттайтын Логранж функциясы жүйенің кинетикалық энергиясы мен потенциялдық энергиясының айырмасына тең. Осы айтылғаны пайдаланып осы жүйе үшін Логранж теңдеуін жазайық Бір өлшемді қозғалыс деп Декарттық координатаны жазсақ: (1) Осы екеуін (1) теңдеуге қойсақ Ньютонның ІІ-заңы жүктеу/скачать 1.97 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|