Комплекс айнымалылы функцияны интегралдау. Комплекс облыстағы анықталмаған интеграл



Дата02.02.2020
өлшемі68.33 Kb.

Дәріс 6. Комплекс айнымалылы функцияны интегралдау.
Комплекс облыстағы анықталмаған интеграл.

w=f(z) функциясы z айнымалысының жазықтығындағы кейбір G облысында анықталған, z комплекс айнымалысы кез келген үзіліссіз функция болсын жəне

осы облыста жататын басы

z0 нүктесінде жəне соңы Z нүктесінде болатын кез

келген тегіс сызық болсын (Cурет 1).



Сурет 1

С сызығының доғасын соңы сызықтың оң бағытында тізбек пен орналасқан
z0 ,

z1 ,

z2 , ... ,

zn1

нүктелері арқылы кез келген n бөлікке бөлейік. Əрбір доғаға



сəйкестікке осы доғаның сол жақ соңындағы берілген функцияның мəнін осы доғаға сəйкес келетін

z :zk zk1 zk

айнымалысының

zk

өсімшесіне көбейткенде пайда болған

f(zk ) zk

санын


келтіреміз. Əрі қарай оны барлық дербес доғаларға бөліп мынадай көбейткіштердің қосындысын құрамыз:

kn  1



f

k 0

( zk

) z k
(1)


Барлық дербес доғалардың ұзындықтарының максимумын нөлге ұмтылдырып, (1) теңдіктің барлық дербес доғалардың нөлге ұмтылу заңына бағынбайтын анықталған ақырлы шекке ұмтылатынын дəлелдейміз. Осы мақсатпен мына белгілеулерді енгізіп,

zk xk yki,

f(zk )u(xk ,yk )v(xk ,yk )iuk vki,

zk xk iyk




    1. өрнекті мына түрге келтіреміз:

kn1
kn1

f(zk)zkukvkixkiyk

k0

kn1



k0


  
kn1




  

. (2)

ukxk

k0

vkyk

i vkxk

k0

ukyk

Барлық дербес доғалардың максимум ұзындықтарын нөлге ұмтылдырып, соңғы (2) теңдіктің оң жағындағы екі қосындыныңда мына шектерге ұмтылатынын көреміз:

udxvdy

C

жəне

ivdxudy;

C

демек, (2) теңдіктің сол жағы барлық дербес доғалардың ұзындықтары кез келген заң бойынша нөлге ұмтылғанда анықталған ақырлы шекке ұмтылады. Бұлшекті біз

С сызығының бойындағы

fzdz

бойынша интегралы деп атаймыз жəне


f( z ) dz

C

деп белгілейміз.Сонымен,


f(z)dzudxvdyivdxudy

(3)


C C C

теңдігін аламыз. Бұл формула екі нақты қисық сызықты интеграл арқылы комплекс айнымалысы бойынша интеграл өрнегін береді. Егер (3) формуланы мына түрде жазатын болсақ,



оны есте сақтау оңай болады.



f(z)dzuvidxidy

C C

(3’)


Комплекс айнымалысы бойынша интегралды есептеуге қатысты С сызығының теңдеуін z=z(t) (t) деп алып, мынаны аламыз:



fzdz

С

uztxtvztytdt




(4)



немесе


ivztxtuztytdt

fztztdt,







f(z)dzR(t)dtiI(t)dt, (4’)

мұндағы


Rt
жəне

It

С

сəйкесінше fz(t)z(t)өрнегінің нақты бөлігі жəне

жорамал бөлігіндегі коэффициенті. (4’) формуласының негізінде комплекс айнымалысы бойынша интегралды есептеу қарапайым анықталған интегралдарды есептеуге келтіріледі.
1. Вейерштрасстың бірінші теоремасы.

Барлық мүшелері кейбір G облыста аналитикалық функцияның мəні болатын шексіз қатарды алайық:



f1 zf2 z ... fnz ... (44)

(44) қатарды G облыстың əрбір z нүктесінде жинақталады деп ұйғарып, оның

жиынтығын fzарқылы белгілейік. Қандай жағдайларда аналитикалық функцияның

жинақты қатарының қатарының қосындысы аналитикалық функцияның өзі болады? Бұндай жағдай болып G облыстағы (44) қатардың бір текті жинақталу жағдайы алынады

немесе кем дегенде толықтай тұйық G облыста жатқан барлық тұйық G' облыстағы

жағдай алынады. Бұл екі бөліктен тұратын Вейерштрасс теоремасымен анықталады.



Теорема.Түгелдей G облыста жатқан барлық G' тұйық облыста қатар (44) біртекті жинақталады. Онда:

Біріншіден, (44) қатар G облыста аналитикалық болатын функцияны

fzбейнелейді.

Екіншіден, (44) қатарды дифференциалдағаннан кейін G- ға ішкі болып саналатын кез

келген тұйық G' облысты біртекті жинақталатын жаңа қатар еркін санды мəрте пайда

болады жəне сəйкесті туынды fzфункцияны бейнелейді, немесе, қысқаша айтқанда,


  1. қатарды қанша рет болса да мүшелеп дифференциалдауға болады.

Ескерту: Нақты айнымалының біртекті жинақты қатарын мүшелеп дифференциалдауға болмайтындықтан, мұндай қарапайым теореманы нақты облыста қолдана аламыз.

Теореманың бірінші бөлігін дəлелдеу үшін қатардың (44) біртекті жинақтылығына

орай, оның қосындысы fzG облысқа ішкі болатын кез келген тұйық G'облыстағы

үзіліссіз функция болатынын атап өтуіміз керек, демек, ол G облыстың барлығындада

осылай болады. Бізге G облыстың кез келген z0 нүктесінде fzфункциясының ақырғы


туындысының болатынын дəлелдеу жетіп жатыр.

z0 нүктесін оның ішкі нүктелері

алыңғалы отырған контурдың өзінің нүктелерімен бірге G облысқа тиісті болатындай етіп тұйық, кесекті- тегіс С контурымен қоршаймыз. (3сурет)

C

Шарт бойынша бұл (44) қатар С контурында біртекті жинақталады. С контурының еркін нүктесін арқылы, С - ның ішіндегі кез келген нүктені z арқылы белгілей отырып, (44) қатардың барлық мүшелерін 1- ге бөлеміз.Алынған


f

z



f1

z



f2...

z



fn...

z


(45)


С - ға тиісті барлық нүктелер үшін біртекті жинақты болып табылады. Бұндай қатарды С сызығының маңайында мүшелеп интеграциялауға болады.

С - ның маңынан интеграция жүргізе отырып, нəтижесінде алынғанның барлық

мүшелерін 2i- ға бөле отырып, мынаны аламыз:



1f d

1f1 d 1f2 d ... 1fn d ...


(46)



2i C

z



2iC

z



2iC

z



2iC

z




Шарт бойынша,

fnz

функциясы С контурдың өзінің нүктелерін қосқанда С- ның



барлық өз ішіндегі аналитикалық мəні болғандықтан, Коши формуласын пайдалана отырып, (46) қатарды мына түрде қайтып жазамыз:

12iC



fd

z

f1zf2

z ... fn


z ...
46'

46'
қатардың бірінші бөлігінде қосындысы

fz- ге тең (44) қатар тұр, демек, біз

мынаны аламыз:
fz 1fd
46''

2iCz
fzфункциясы С контурына ішкі болып табылатын барлық z нүктелер үшін Коши

46''типті интегралымен бейнелейтін болғандықтан, z- ның барлық нүктелерінде оның

қосындысы болады. Көп жағдайда, fzфункциясы zz0 нүктесінде ақырғы қосындысы

болуы керек. z0 деп біз G облыстың кез келген нүктесін алатынымызды ескерсек, fz-



ның G облыстағы аналитикалық функция болатынын қорытындылау қиын емес.

Достарыңызбен бөлісу:




©dereksiz.org 2020
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет