Комплексные числа, арифметика комплексных чисел Комплексные числа получаются из действительных чисел
жүктеу/скачать 26.89 Kb.
|
| Комплексные числа, арифметика комплексных чисел
Комплексные числа получаются из действительных чисел  .
Число  называется мнимой единицей. При этом добавлении предполагается, что сохраняются все арифметические операции, и что все они сохраняют свои свойства. Отсюда следует, что вместе с  новому множеству чисел принадлежат, во-первых, все числа вида  , а во-вторых, и все числа вида  . Множество всех таких чисел называется множеством комплексных чисел (комплексной плоскостью) и обозначается 
 .
Условие, что сохраняются все арифметические операции и их свойства, приводит к следующему определению арифметических операций с комплексными числами. Пусть  и  . Тогда
 .
Это вычисление показывает, что сумма двух комплексных чисел тоже является комплексным числом. Аналогично  . Чуть сложнее вычисляется произведение
 ,
и остается только заменить  на –1, чтобы получить окончательный результат
 .
И последнее  . Поскольку – это по сути дела квадратный корень из –1, избавление от в знаменателе происходит как в школьной арифметике, умножением на 
 .
Итак, мы видим, что результаты арифметических операций, производимых с комплексными числами, являются тоже комплексными числами. Резюмируем
С каждым комплексным числом
Все эти функции есть в Mathcad. Хочу подчеркнуть, что правильное вычисление аргумента выполняется именно функцией  ,
а не  . Ни в коем случае не употребляйте арктангенс для вычисления аргумента, иначе можете получить ошибочный результат.
Существует комбинация горячих клавиш для вычисления сопряженного числа  , для постановки черты над  , – это Shift + " (кавычки латинские).
Используя комплексные числа, мы теперь можем решить любое квадратное уравнение, в числе и те, у которых дискриминант отрицателен. Формула 
теперь работает и в случае  , так как с помощью мнимой единицы корень из отрицательного числа  извлекается
 .
Итак, решается любое квадратное уравнение, только в случае отрицательного дискриминанта его корни комплексные. На самом деле после введения комплексных чисел решается любое алгебраическое уравнение  .
Выполняется утверждение у любого многочлена степени  имеется корней,
которое называется основной теоремой алгебры. 
Множество всех комплексных чисел называется еще и комплексной плоскостью, потому что имеется удобное геометрическое представление комплексных чисел, когда каждое число  представляется точкой или вектором с координатами  на плоскости.жүктеу/скачать 26.89 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|
добавлением нового числа 
.
– 
– действительная часть
– мнимая часть
– аргумент, угол между осью абсцисс и вектором с координатами 
– комплексное число, сопряженное к